2024学年辽宁省葫芦岛市高二上册期末数学模拟试题(含解析).pdf

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与抛物线y2?8x相切,B错;对于C选项,设点M为第一象限内的点,若MNF的垂心在抛物线上时,设点H?2,t?,其中t?0,HH?2,4?将点H的坐标代入抛物线方程可得t2?8?2?16,可得t?4,即点,yyy?04?002yy4由题意可知,M、E、三点共线,2y,k??0?0?,Hk20EM2???x2xyyEH24000044yk?k可得2??0y2?8y?16?0,解得y?4由,整理可得,EHEMy40000:..y2??1所以,x?0?2,即点M2,4,所以,MN?2?2?4,?S?MN?y?8,C对;08△MNF20对于D选项,当MNF的垂心在抛物线上时,点M?2,4?,则轴,则,MF?xMF?MN此时,MNF为直角三角形,:、:x2?y2?1和圆D:?x?1?2??y?2?2?2的相交弦所在的直线方程为______.【正确答案】x?2y?2?0【分析】将两圆方程作差可得出相交弦所在直线的方程.【详解】将圆C和圆D的方程作差,消去x2、y2项可得2x?4y?5??1,即x?2y?2?,圆C和圆D相交弦所在直线的方程为x?2y?2??2y?2?(Vogager2)于1977年8月20日在肯尼迪航天中心发射升空,迄今为止已经造访四颗气态巨行星(木星、土星、著名演员星、海王星)及其卫星,它的运行轨道x2y2为双曲线,假设其方程为??1,【正确答案】??1(??1???0,??1?的方程均可)864?3?【分析】【详解】与双曲线??1渐近线相同的双曲线的方程为??1???0,??1?.434?3?x2y2x2y2故??1(??1???0,??1?的方程均可).864?3?A??1,2,3,4,5???,集合B?0,1,2,则以集合A为定义城,集合B为值域的函数的个数为____________.(用数字作答)【正确答案】150【分析】分两种情况讨论:①当集合B中有一个元素对应集合A中的三个元素;②②.:..【详解】分以下两种情况讨论:①将集合A中的元素分三组为{3,1,1}与集合B分别对应时,此时,满足条件的函数个数为C1C3A2?60;352②将集合A中的元素分三组为{2,2,1}与集合B分别对应时,此时,满足条件的函数个数为C2C235A3?,满足条件的同函数的个数为60?90?,在正方形ABCD中,点M,N分别是线段AD,BC上的动点,且MN∥AB,MN从AB向CD滑动(与AB和CD均不重合),MN与AC交于E,在MN任一确定位置,将四边形MNCD沿直线MN折起,使平面MNCD?平面ABNM,则在滑动过程中,下列说法中正确的有____________.(填序号)16①?AEC的余弦值为②AC与MN所成的角的余弦最小值为23③AC与平面ABNM所成的角逐渐变小④二面角E?AC?B的最小值为120?【正确答案】③【分析】令AB??x(0?x?2),利用余弦定理计算判断①;确定AC,MN所成角,计算判断②;确定AC与平面ABNM所成角,计算判断③;当E为MN中点时,求出二面角E?AC?B大小判断④作答.【详解】在正方形ABCD中,令AB??x(0?x?2),则EN?x,ME?AM?BN?2?x,EC?2x,AE?2(2?x),如图,连接AN,AN?4?(2?x)2,:..?MN,而平面MNCD?平面ABNM,平面MNCD?平面ABNM??平面MNCD,则CN?平面ABNM,而BN,AN?平面ABNM,??AN,AC?2?2x2?4x?8,BC?2?2x2?4x?4,AE2?EC2?AC22(2?x)2?2x2?(2x2?4x?8)1对于①,cos?AEC????,①错误;2AE?EC2?2(2?x)?2x2对于②,显然AB2?BC2?AC2,即有AB?BC,因为AB//MN,则?BAC是AC与MN所成的角,AB226cos?BAC????x?1,当且仅当时取等号,②错误;AC2x24x8(x1)233????对于③,?平面ABNM,则?CAN是AC与平面ABNM所成的角,CNx1tan?CAN???111ANx24x8111,令t??,函数t?对x?(0,2)递减,??8()2??x2xx4212111121????函数y?8t??对t?(,??)递增,则函数y?8??对x?(0,2)递减,1??22???4?2?x4?21y?因此函数111对x?(0,2)递增,而MN从AB滑向CD的过程中,x逐渐减小,8(?)2?x42π则tan?CAN随着x的减小而减小,又tan?CAN对?CAN?(0,)递增,2所以AC与平面ABNM所成的角逐渐变小,③正确;对于④,令点E为MN的中点,取AC中点O,连接EO,BO,BE,则16BE?AE?CE?2,AC?6,BO?AC?,2211于是EO?AC,EO2?AE2?(AC)2?,即有EO2?BO2?2?BE2,则EO⊥BO,22由于BO?AC?O,BO,AC?平面ABC,则有EO?平面ABC,又EO?平面AEC,因此平面AEC?平面ABC,此时二面角E?AC?B的大小为90?,④错误,:..所以正确的序号有③.故③思路点睛:平面图形翻折问题,在翻折过程中,始终位于同一平面内的点线位置关系和数量关系不变,、解答题?2??的展开式中,?x???(1)若n?6,求展开式中的有理项;(2)若第4项的系数与第6项的系数比为5:6,求:①二项展开式中的各项的二项式系数之和;②二项展开式中的各项的系数之和.【正确答案】(1)T?x2,T??160x?2,T?64x?6147(2)①64;②1【分析】(1)根据已知得出二项展开式的通项,即可根据条件列式得出r的值,即可代入通项得出答案;n(2)根据通项结合已知得出的值,??4【详解】(1)若n?6,则TCrx6?r?2?rxr?2?rCrx2?r,(r?0,1,2,……,6)?3????3r?166?4?2?r?Z由3,得r?0,3,6,??0?r?6??有理项为:T?x2,T??160x?2,T?64x??nr?n?4r(2)TCrx3??2?rx?r?2?rCrx3,????r?1nn??2?3C3:??2?5C5?5:6n2?7n?6?0,解得n?6或n?1(舍)由题意得,即nn①二项式系数之和为26?64;②令x?1,得各项的系数之和为(?1)6?①圆心C在直线y?x?1上;②圆的半径为2;③圆过点M(2,3),在这三个条件:..中任选一个,补充在下面的问题中,并作答(注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)(1)圆C过点A(1,2)且圆心在x轴上,且满足条件____________,求圆C的方程;(2)在(1)的条件下,直线:l:y?k(x?2)?1与圆C交于P,Q两点,求弦长PQ的最小值及相应的k值.【正确答案】(1)(x?1)2?y2?4(2)k??1,22【分析】(1)选择条件①或②或③,求得圆心和半径,由此求得圆的方程;(2)首先求得直线过定点D(1,2),根据CD?PQ求得最短弦长以及此时a的值.【详解】(1)若选①,?y?x?1由题意知,圆心是方程组?的解,y?0??x?1解得,所以C(1,0),?y?0?设半径为r,则r?|AC|?:(x?1)2?y2?②,设圆心C(a,0),由题意知r?|AC|?(1?a)2?4?2,所以a?(1,0),半径为2,则圆的方程为:(x?1)2?y2?③,设圆心C(a,0),由题意知|AC|?|MC|,即有(1?a)2?4?(2?a)2?3,解得a?1,所以圆心C(1,0),半径为2,则圆的方程为:(x?1)2?y2?4.(2)由(1)知圆的方程为:(x?1)2?y2?4,圆心C(1,0),半径r?2,:..直线l过定点D(2,1),显然点D在圆C内,要使弦长|PQ|最短,则CD?PQ,1?0?k?k??1,?k??1,?k??1,CDPQCD2?1PQ?k??|CD|=2,?|PQ|?24?(2)2?22,?ABCD中,AB?2,AD?AA?4,M为BC的中点,且11111BE?BM,垂足为E,(1)求证:BE?平面ABM;11(2)【正确答案】(1)证明见解析π(2)3【分析】(1)证明出BE?AB,结合BE?BM以及线面垂直的判定定理可证得结论成立;111AAxyz(2)以A为坐标原点,AB、AD、所在直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐1标系,【详解】(1)证明:因为ABCD?ABCD为长方体,所以AB?,11111111又BE?,所以BE?AB,1111又BE?BM,且AB?BM?B,AB、BM?平面ABM,1111111111所以BE?:..AAxyz(2)解:以A为坐标原点,AB、AD、所在直线分别为轴、轴和轴,建立如下1图所示的空间直角坐标系,??A?0,0,4?B?2,0,4???D?0,4,4???则A0,0,0、、、D0,4,0、、M2,2,0111????????????????所以,AB??2,0,0?,AD??0,4,?4?,DM??2,?2,?4?,1111???????????AB?n?2x?0ABDn??x,y,z?11设平面的一个法向量,则???????,11ADn4y4z0????????1?取y?1,可得n??0,1,1?,设直线DM平面ABD所成的角为?,111??????????????n?DM63sincosn,DM1则??????????????,1nDM2262??1?π?ππ又??0,,所以??,即直线DM平面ABD所成的角为.?2?31113??:l:y?kx?1恒过抛物线C:x2?2py(p?0)的焦点F,(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l与抛物线C交于A,B两点,且|AB|?12?|AF|?|BF|,求直线l的方程.【正确答案】(1)x2?4y(2)x?2y?2?0或x?2y?2?0【分析】(1)由已知列方程求p,可得抛物线方程;(2)联立方程组,利用设而不求法表示关系|AB|?12?|AF|?|BF|,求k即可.【详解】(1)因为直线l:y?kx?1恒过点(0,1),即抛物线C的焦点为F(0,1),p所以?1,解得p?2,2:..所以抛物线C的方程为x2?4y.?y?kx?1(2)联立方程组?,整理得x2?4kx?4?0,x2?4y???16?k2?1??0A?x,y?,B?x,y?,则,设1122则x?x?4k,x?x??4,1212因为AB?12?AF?BF,所以|AB|?|AF|?|BF|?|AF|?|BF|?|AF|?|BF|?y?y?2??y?1??y?1?1212?k?x?x??4??kx?2??kx?2??3k?x?x??k2xx?8?12,1212121212即12k2?4k2?8?12所以k2?,解得k??,22所以直线l的方程为x?2y?2?0或x?2y?2?,在四棱锥S?ABCD中,底面ABCD是矩形,AB?1,AS?AD?3,侧棱SA?底面???????ABCD,与BD交于E,SP?2PD.(1)求证:PE//平面SAB;(2)求平面APC与平面SAB的夹角的余弦值;(3)若Q为棱SC的中点,则棱SA上是否存在一点M,使得SC?,求线段SM的长;若不存在,请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析14(2)14(3)棱SA上不存在点M,使得SC?平面PQM,理由见解析:..【分析】(1)利用中点,找中位线平行,通过线面平行的判定定理证明.(2)建立空间直角坐标系,利用法向量求二面角.(3)SC与PQ不垂直,则SC不可能垂直平面PQM,进而即可判断.【详解】(1)证明:取BC中点G,连接AG,因为N为AD的中点,由题意,AN?GC,AN//GC,故ANCG为平行四边形,则AG//CN,在△BEC中GF为中位线,则BE?2BF,同理可得DF?2DE,所以BE?2ED,又SP?2PD,所以PE//SB,又PE?面SAB,SB?面SAB,所以,PE//(2)以A为坐标原点,AB,AD,AS所在直线分别为轴、轴和轴,建立如图所示的空间直角坐标系,由已知可得?133?A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,3,0),D(0,3,0),S(0,0,3),P(0,2,1),Q,,?222???????????????则AC?(1,3,0),AP?(0,2,1),AD?(0,3,0).由题意AD?平面SAB,?????所以平面SAB的法向量m?AD?(0,3,0)??????AC?n?0?x?3y?0??设平面APC的一个法向量n?(x,y,z),则?????,即?,?2yz0?AP?n?0?????令y?1,可得n?(?3,1,?2),????m?n314设面APC与面SAB的夹角为?,则cos??cosm,n?????,m?n3?:..?????????111?????????5(3)由已知SC?(1,3,?3),PQ?,?,,SC?PQ???0?222?2???平面PQM,所以棱SA上不存在点M,使得SC?,已知双曲线C:1?a0?C的左、右顶点恰是椭圆CF、???,的左、右焦点1a24121FCy??xC1CFF,的渐近线方程为,的离心率为,分别过椭圆的左右焦点、的弦PQ、2122