北京专家2024年数学高三上期末统考试题含解析.pdf

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,再代入球的体积公式求解.【题目详解】设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为S?2?R2?2?R?2R?54?,解得R?3,44所以该球的体积为V??R3????33?36?.33故选:C【题目点拨】本题主要考查组合体的表面积和体积,还考查了对数学史了解,、A【解题分析】:..lnxlnylnt0?x?y?4xy?yxi?ih?t???0?t?4?h?t?由题可知:,且ii可得,构造函数求导,通过导函数求出iiiixytii的单调性,结合图像得出t?2,即2?x?e得出3x?3e,minin从而得出n的最大值.【题目详解】因为0?x?y?4,xyi?yxiiiii则lnxyi?lnyxi,即ylnx?xlnyiiiiiilnxlny整理得i?i,令t?x?y,xyiiiilnth?t???0?t?4?设,t1?t?1?lnt则t1?lnt,h??t???t2t2h??t??00?t?eh??t??0e?t?4令,则,令,则,1h?t??0,e??e,4?h?e??故在上单调递增,在上单调递减,则,ex?yh?x??h?y?因为,,iiii1h?t??ln4t?22?t?e由题可知:时,则,所以,4min所以2?x?e?y?4,ii当x无限接近e时,满足条件,所以2?x?e,nn所以要使得x?x??x?3x?3e??1n故当x?x?x?x?2时,可有x?x?x?x?8?,12341234故n?1?4,即n?5,所以::A.【题目点拨】本题主要考查利用导数求函数单调性、极值和最值,以及运用构造函数法和放缩法,、A【解题分析】:..?1??a?1f?x?4f(a)?f(b)a,blogab首先的单调性,由此判断出?,,由2?1?b?2?此求得ab的最小值.【题目详解】?1?2?logx,?x?1?1?f(x)?18f?x?,1?1,2?f(a)?f(b)(a?b)由于函数?,所以在??上递减,,2?8??x?2,1?x?2?1?1?11??a?1??22?logx?42?loga?2bf???2?log?5,f2?2?4,令1,解得x?,所以?4,且,化简11?8?8242?1?b?22?loga?2?2blogab?loga?logb?2?2b?logbg?x??2?2x?logx?1?x?2?得,所以,构造函数,22222211?x?2x?ln22'??xh?x??1?x?2x?ln22?1?x?2?gx??2ln2??.构造函数,xln2xln2h'?x????1?xln2??2x?ln22?0h?x??1,2?h?1??1?2ln22?1?2???0,所以在区间上递减,而,h?2??1?8ln22?1?8????0x??1,2?h?x??0g'?x??1,x?,所以存在,,在000?x,2?g?x??1,x??x,2?g?1??0,g?2??2?22?log2??,,所00021g?x??1,2?logab2?1?以在区间上的最小值为?1,也即的最小值为?1,:A【题目点拨】:..本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查分段函数的图像与性质,考查化归与转化的数学思想方法,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、36010【解题分析】列出所有租船的情况,分别计算出租金,由此能求出结果.【题目详解】16当租两人船时,租金为:?90?720元,216当租四人船时,租金为:?100?400元,4当租1条四人船6条两人船时,租金为:100?6?90?640元,当租2条四人船4条两人船时,租金为:2?100?4?90?560元,当租3条四人船2条两人船时,租金为:3?100?2?90?480元,当租1条六人船5条2人船时,租金为:130?5?90?580元,当租2条六人船2条2人船时,租金为:2?130?2?90?440元,当租1条六人船1条四人船3条2人船时,租金为:130?100?3?90?500元,当租1条六人船2条四人船1条2人船时,租金为:130?2?100?90?420元,当租2条六人船1条四人船时,租金为:2?130?100?360元,综上,租船最低总费用为360元,:360,10.【题目点拨】本小题主要考查分类讨论的数学思想方法,考查实际应用问题,、8【解题分析】?21?x?2y?x?2y??利用1的代换,将写成??,然后根据基本不等式求解最小值.?xy?【题目详解】?21?4yx?x?4x?2y??x?2y???4???8x?2y因为??(即?取等号),?xy?xy?y?2所以最小值为8.【题目点拨】:..ab已知??c,求解mx?ny(a、b、c、m、n?0)的最小值的处理方法:利用xyabab??1,得到mx?ny?(?)(mx?ny),展开后利用基本不等式求解,、-5【解题分析】画出,满足的可行域,当目标函数经过点时,最小,求解即可。【题目详解】画出,满足的可行域,由解得,当目标函数经过点时,取得最小值为-5.【题目点拨】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想。需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得。16、5【解题分析】5mOA?OB?2x?y,可行域如图,直线2x?y?m与圆x2?y2?1相切时取最大值,由?1,m?0?m?55:..三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1n17、(1)证明见解析,a?;(2)n3n?23n?1【解题分析】11(1)利用a?a?3aa?0,推出??3,然后利用等差数列的通项公式,即可求解;n?1nn?1naan?1n111(2)由(1)?(?),利用裂项法,?133n?23n?1【题目详解】?a?a?0a?a?3aa?0(1)由题意,数列满足且nnn?1nn?1n1111可得??3?0,即??3,aaaann?1n?1n?1?11所以数列??是公差d?3,首项??1的等差数列,aa1??1n11故?1?3(n?1)?3n?2,所以a?.an3n?2n1111(2)由(1)??(?),nn?1(3n?2)(3n?1)33n?23n?1??所以数列的前n项和:nn?11??11??11??11??s?????????...???n??3??3?1?23?1?1??3?2?23?2?1??3n?23n?1??1??1??11??11??11??=?1-???-???-??...??????3??4??47??710??3n?23n?1??:..11n=(1-)?33n?13n?1【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式,以及“裂项法”求解数列的前n项和,其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式,合理利用“裂项法”求和是解答的关键,??18、(Ⅰ)直线AB的方程为y??x?2(Ⅱ)22【解题分析】P?0,y??y?0?y(1)设点,利用中点坐标公式表示点B,并代入椭圆方程解得,从而求出直线AB的方程;(2)000??m?ly?kx?m?k?0,m?0?M,022设直线的方程为:,表示点??,然后联立方程,利用相切得出m?2k?1,然?k???2k1???后求出切点B?,?,再设出设直线AQ的方程,求出点Q0,?2k,利用A,B两点坐标,求出直线AB的方?mm??1?程,从而求出P0,,最后利用以上已求点的坐标表示面积,根据基本不等式求最值即可.???2k?m?【题目详解】x2??解:(Ⅰ)由椭圆C:?y2?1,可得:A2,02????2由题意:设点P0,yy?0,当B为PA的中点时,可得:x?00B23?23?代入椭圆方程,可得:y?所以:B?,?B?22?2??3266??所以k???.故直线AB的方程为y??x??22(Ⅱ)由题意,直线l的斜率存在且不为0,y?kx?m?k?0,m?0?故设直线l的方程为:?m??m?令y?0,得:x?,所以:M?,0?.k?k??y?kx?my?2?22联立:?,消,整理得:2k?1x?4kmx?2m?2??2y2?2?0?:..????因为直线l与椭圆相切,所以??16k2m2?42k2?12m2?2??2k2?1.?2km?2km1B?x,y?x??y?kx?m??设,则,,1112k2?1m112k2?1m??2k1?所以B?,?.?mm???又直线AQ//直线l,所以设直线AQ的方程为:y?kx?2.??令x?0,得y??2k,所以:Q0,???,AB?2k?2k?2m?2m1??所以直线AB的方程为:y?x?2.?2k?2m1?1?令x?0,得y?,所以:P0,.??2k?m?2k?m?12k2?2km?1m2?2km所以PQ??2k????m2k?m2k?m11?2k又因为S?PQx?m??m11S?OMy??.22B2km2k111k?2所以S?S?k??2(当且仅当,即k??时等号成立)122k22k2?S?S??【题目点拨】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程以及求椭圆中的最值问题,最值问题一般是把目标式求出,结合目标式特点选用合适的方法求解,侧重考查数学运算的核心素养,本题利用了基本不等式求最小值的方法,运算量较大,?0,2????,0??2,???c??19、(1)单调增区间,单调减区间为,;(2)有2个零点,证明见解析;(3)2e3【解题分析】:..?1?f?x?f'?x?f?x?对函数求导,利用导数的正负判断函数的单调区间即可;x2?2?g(x)??m,(x?0);ex1x21?3?F(1)?F(2)?0记函数F(x)?f(x)?(x?)??x?,x?0,求导后利用单调性求得,由零点存在性定理及单xexxx?(1,2)F(x)?0h?x?x?x调性知存在唯一的,使,求得为分段函数,求导后分情况讨论:①当时,利用函数的单0002c?u?x?0?x?xc?0h?(x)?0(0,x)c调性将问题转化为的问题;②当时,当时,在上恒成立,从而求得的取min00值范围.【题目详解】2x?ex?x2?exx(2?x)(1)由题意知,f?(x)??,列表如下:(ex)2exx(??,0)(0,2)?2,???02f?(x)?0?0?f(x)?极小值?极大值?f?x??0,2????,0??2,???所以函数的单调增区间为,单调减区间为,.x2(2)函数g(x)??m,(x?0):ex44因为0?m?时,所以g(2)??m?0,e2e2x?2?x?'??g'?x??0?0,2?g(x)?0,2?因为gx?,所以在恒成立,在上单调递增,exg(2)?0g(0)??m?0g(x)?0,2?由,,且在上单调递增且连续知,g(x)?0,2?函数在上仅有一个零点,x?0f?x??f?2??f?x?由(1)可得时,,maxx24即??1,故x?0时,ex?x2,exe2:..16164164?mem?em4mmm2g()??m??所以444,memememm244164由ex?x2得em?,平方得em?,所以g()?0,mm2mx?2?x?'??g'?x??0?2,???因为gx?,所以在上恒成立,ex44g(x)?2,???0?m??2所以函数在上单调递减,因为,所以,e2m4g(2)?0g()?0g(x)?2,???由,,且在上单调递减且连续得mg(x)?2,???在上仅有一个零点,x2综上可知:函数g(x)??m,(x?0)(3)记函数F(x)?f(x)?(x?)??x?,x?0,下面考察F(x)(2?x)1求导得F?(x)??1?,x??2时F?(x)??(2?x)当0?x?2时,因为x(2?x)?[]2?1,2x(2?x)11111所以F?(x)??1???1??1?1????∴F?(x)?0在(0,??)上恒成立,故F(x)在(0,??)∵F(1)??0,F(2)???0,∴F(1)?F(2)?0,又因为F(x)在[1,2]上连续,ee22所以由函数的零点存在性定理得存在唯一的x?(1,2),使F(x)?0,00∴x?(0,x),F(x)?0;x?(x,??),F(x)?0,00?1x??cx2,0?x?x?01?xF?x??x??f?x?h(x)?因为,所以?xx2?2?cx,x?x????ex0:..?11??2cx,0?x?x????20x∴h?(x)??x(2?x)??2cx,x?x????ex01x2h(x)(0,??)F?x??x??0?0因为函数在上单调递增,,00xex00所以h?(x)?0在(0,x),(x,??)(2?x)2?x①当x?x时,?2cx?0在(x,??)上恒成