北京市朝阳区人大附中2024届高三数学试题下学期第四次月考试题5107.pdf

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k?0h??x??0h?x??0,???当时,,故在上为增函数,h?x??0,???在上至多一个零点,?0时,?1??1?x?0,h??x??0h?x?0,若??,则,在??上为增函数;?k??k??1??1?x?,??h??x??0h?x?,??若??,则,在??上为减函数;?k??k??1?1h?x??h?ln故??,max?k?k1h?x?ln?00?k?1因为有两个不同的零点,所以,?1?k?1?0?k?1?h???0h?x?0,又当时,且??,故在???e?e?k??e?ee1又h???ln?+1?2?2lnt?et,其中t??1.?k2?k2kk2?etg?t??2?2lnt?etg??t??令,则,tt?1g??t??0g?t??1,???当时,,故为减函数,?e?g?t??g?1??2?e?0h?0所以即??.?k2?e11?1???h?x?,??因为,所以在???k?0?k?1h?x?综上,当时,:B.【题目点拨】本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,【解题分析】进行交集的运算即可.:..【题目详解】A?{0,1,2,3},B?{x|?2x2},?AB?{0,1,2}.故选:A.【题目点拨】本题主要考查了列举法、描述法的定义,考查了交集的定义及运算,考查了计算能力,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。【解题分析】由题可得2S?a(a?t)?2a,解得t?1,所以2S?a(a?1),2S?a(a?1),1111nnnn?1n?1n?1上述两式相减可得2S?2S?2a?a(a?1)?a(a?1),即(a?a)(a?a?1)?0,n?1nn?1n?1n?1nnn?1nn?1n因为a?0,所以a?a?1?0,即a?a?1,nn?1nn?1n所以数列{a}是以1为首项,1为公差的等差数列,n10?9所以S?10?1??1?.①②③④【解题分析】取CD中点G,中点N,先利用中位线的性质判断点F的运动轨迹为线段MN,平面BMN即为平面1111?,画出图形,再依次判断:①利用等腰三角形的性质即可判断;②直线BF与直线BC所成角即为直线BF与直线BC1111所成角,设正方体的棱长为2,进而求解;③由MN//EG,取F为MN中点,则MN?CF,MN?BF,则?BFC即为?1111与平面CDDC所成的锐二面角,进而求解;④【题目详解】:..取CD中点G,连接EG,则EG//CD,所以EG//AB,所以平面ABE即为平面ABGE,1111中点N,连接BM,BN,MN,则易证得BM//BG,BN//AE,11111111所以平面BMN//平面ABGE,所以点F的运动轨迹为线段MN,平面BMN即为平面?.111①取F为MN中点,因为△BMN是等腰三角形,所以BF?MN,又因为MN//CD,所以BF?CD,故①正确;11111②直线BF与直线BC所成角即为直线BF与直线BC所成角,设正方体的棱长为2,当点F为MN中点时,直线BF111112CF2与直线BC所成角最小,此时CF?,tan?CBF?1?;111211BC4111当点F与点M或点N重合时,直线BF与直线BC所成角最大,此时tan?CBF?,111112?21?所以直线BF与直线BC所成角的正切值的取值范围是?,?,②正确;142??③?与平面CDDC的交线为EG,且MN//EG,取F为MN中点,则MN?CF,MN?BF,??BFC即为?与平111111BC面CDDC所成的锐二面角,tan?BFC?11?22,所以③正确;1111CF1④正方体ABCD?ABCD的各个侧面中,平面ABCD,平面ABCD,B,平面ADDA与平面?所成的角1**********相等,所以④:①②③④【题目点拨】本题考查直线与平面的空间位置关系,考查异面直线成角,二面角,考查空间想象能力与转化思想.?n,n为奇数15.??n?1,n为偶数【解题分析】a?a?2(n2)a?1?a?n由题意可得,又,数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,对分奇数和n?1n?11n?n,n为奇数a?a?a?偶数两种情况,分别求出,从而得到数列的通项公式?.nnnn?1,n为偶数?【题目详解】解:∵a?2n?a,n?1n∴a?a?2n①,a?a?2(n?1)(n2)②,n?1nnn?1:..①﹣②得:a?a?2(n2),又∵a?1,n?1n?11?a?∴数列的奇数项为首项为1,公差为2的等差数列,n∴当n为奇数时,a?n,n当n为偶数时,则n?1为奇数,∴a?2(n?1)?a?2(n?1)?(n?1)?n?1,nn?1?n,n为奇数?a?a?∴数列的通项公式?,nnn?1,n为偶数??n,n为奇数故答案为:?.?n?1,n为偶数【题目点拨】本题考查求数列的通项公式,解题关键是由已知递推关系得出a?a?2(n2),从而确定数列的奇数项成等差n?1n?1数列,求出通项公式后再由已知求出偶数项,【解题分析】由三视图还原原几何体,该几何体为四棱锥,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,AD?AB,侧棱PA?底面ABCD,由棱锥体积公式求棱锥体积,由勾股定理求最长棱的长度.【题目详解】由三视图还原原几何体如下图所示:该几何体为四棱锥,底面ABCD为直角梯形,AD//BC,AD?AB,侧棱PA?底面ABCD,1?1?2??2?3?则该几何体的体积为V???2?2cm,32PB?22?22?22?cm?,PC?22?22?22?23?cm?,因此,该棱锥的最长棱的长度为23cm.:..故答案为:2;23.【题目点拨】本题考查由三视图求体积、棱长,关键是由三视图还原原几何体,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。417.(1);(2)AB?【解题分析】(1)由两角差的正弦公式计算;(2)由正弦定理求得AD,再由余弦定理求得AB.【题目详解】22?2?72(1)因为cos?ADB??,所以sin?ADB?1?????.10??1010????因为?CAD?,所以?C??ADB?,44?????722224所以sinC?sin??ADB???sin?ADB?cos?cos?ADB?sin?????.?4?44102102574?ADACAC?sinC25(2)在?ACD中,由?,得AD???22,sinCsin?ADCsin?ADC7210在?ABD中,由余弦定理可得???2?2AB2?BD2?AD2?2BD?ADcos?ADB?52?22?2?5?22?????37,?10???所以AB?37.【题目点拨】本题考查两角差的正弦公式,考查正弦定理和余弦定理,.(1)(2)23【解题分析】2?0,1?(1)求曲线yx和曲线y?x围成的图形面积,首先求出两曲线交点的横坐标0、1,然后求x?x2在区间上的定积分.????????(2)首先利用二倍角公式及两角差的余弦公式计算出cos20?1?sin20?cos10?sin10,:..2??cos35??cos10??sin10?2然后再整体代入可得;【题目详解】解:????y?x2(1)联立?解得x?0,x?1,所以曲线yx2和曲线y?x围成的图形面积12????y?x231231211?1231131S?(x?x)dx?(x2?x)|?x2|?x|???.03303030333?2???????(2)cos20?1?sin20?1?sin201?sin20????00?2?1?sin20?cos10?sin10????????1?sin20?cos10?sin10?????????cos35?cos45?10?cos45cos10?sin45sin102???cos10??sin10?2???????cos20?1?sin20?cos10?sin10??2∴cos35?1?sin20?2??cos10??sin10?1?sin20?2【题目点拨】本题考查定积分求曲边形的面积以及三角恒等变换的应用,.(1)见解析;(2)证明见解析.【解题分析】:..?1?a?1f'?x?f'?1??ln1?1?1?0当时,求函数的导数,判断导函数的单调性,计算即为导函数的零点;?2?a?0h?x??ex?cosx?xlnx?1当时,分类讨论x的范围,可令新函数,计算新函数的最值可证明f?x??ex?cosx?1.【题目详解】f?x?(0,??)(1)的定义域为1a=1f?x?=?x?1?lnxf??x?=lnx?1?当时,,,x1f??x?=lnx?1?(0,??)易知为上的增函数,xf??1?=ln1?1?1=0又,x=1f?x?所以是的唯一零点;a=0f?x?=xlnx(2)证明:当时,,①若0<x?1,则ex?cosx?1>0,xlnx?0f?x?<ex?cosx?1所以成立,x>1h?x?=ex?cosx?xlnx?1h??x?=ex?sinx?lnx?1②若,设,则,1m?x?=h??x?m??x?=ex??cosx令,则,xx>1m??x?>e?1?1>0因为,所以,m?x?(1,??)从而在上单调递增,m?x?>m?1?=e?sin1?1>0所以,m?x?=h??x?>0h?x?(1,??)即,在上单调递增;h?x?>h?1?=e?cos1?1>0x所以,即xlnx<e?cosx?1,f?x?<ex?cosx?1故.【题目点拨】本题主要考查导数法研究函数的单调性,单调性,.(1)证明见解析,a?;(2)n3n?23n?1【解题分析】:..11(1)利用a?a?3aa?0,推出??3,然后利用等差数列的通项公式,即可求解;n?1nn?1naan?1n111(2)由(1)?(?),利用裂项法,?133n?23n?1【题目详解】?a?a?0a?a?3aa?0(1)由题意,数列满足且nnn?1nn?1n1111可得??3?0,即??3,aaaann?1n?1n?1?11所以数列??是公差d?3,首项??1的等差数列,aa1??1n11故?1?3(n?1)?3n?2,所以a?.an3n?2n1111(2)由(1)??(?),nn?1(3n?2)(3n?1)33n?23n?1??所以数列的前n项和:nn?11??11??11??11??s?????????...?????n3?3?1?23?1?1??3?2?23?2?1??3n?23n?1???1??1??11??11??11??=??1-???-???-??...?????3??4??47??710??3n?23n?1??11n=(1-)?33n?13n?1【题目点拨】本题主要考查了等差数列的通项公式,以及“裂项法”求解数列的前n项和,其中解答中熟记等差数列的定义和通项公式,合理利用“裂项法”求和是解答的关键,.(1)见解析;(2)能够满足.【解题分析】1“—2014”x“?257”y()根据表中数据,结合以年份为横坐标,需求量为纵坐标的要求即可完成表格;(2)根据表中及所给公式可求得线性回归方程,由线性回归方程预测2020年的粮食需求量,即可作出判断.【题目详解】(1)由所给数据和已知条件,对数据处理表格如下:年份—2014?4?2024:..需求量—257?21?1101929yx(2)由题意可知,变量与之间具有线性相关关系,由(1)中表格可得,x?0,y?,?4???21????2????11??0?0?2?19?4?29?5?0???b???,a??y?bx???4?2???2?2?02?22?42?5?0240知,所求回归直线方程为y???,利用回归直线方程,可预测2020年的粮食需求量为:??2020?2014???257?(万吨),?300,故能够满足该地区的粮食需求.【题目点拨】本题考查了线性回归直线的求法及预测应用,【解题分析】根据相似三角形的判定定理,已知两个三角形有公共角?P,题中未给出线段比例关系,故可根据判定定理一需找到另外一组相等角,结合平面几何的知识证得?PFD??OCP即可.【题目详解】证明:∵AE?AC,所以?CDE??AOC,又因为?CDE??P??PFD,?AOC??P??PCO,所以?PFD???PDF与?POC中,?P??P,?PFD??OCP,故?PDF~?POC.【题目点拨】本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想;分析图形,找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.