复旦大学附中2023-2024学年高三上学期期中数学试题卷附答案解析.pdf

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又,??????????2sin12cos12????????cos1cos2?sin1sin2?2??2?e?2222???????????????2sin12cos12cos1cos2?sin1sin2?2??2?????,3sin??1?cos???2sin??1?cos??又1221,??????6sin1cos1?2sin22?4sin2cos2?2cos21所以有222222,??3??cos1cos2?sin1sin2所以有22222,????3????cos1cos2?sin1sin2sin1sin2?sin1sin22222222221e???????3????5cos1cos2?sin1sin2sin1sin2?sin1sin2222222222所以,,c1?a5a?5cb?a2?c2?26c所以有,所以,,b26c26??,10:..故选:.(1)证明见解析2.(2)3BE?BC【分析】线面垂直的判定,先证11,再结合已知可得.(2)常规方法求棱锥的体积,先求EF,再由体积公式可得.【详解】(1)BC?ABB?A?,?BE?平面ABB?A?,证明:由长方体的性质可知,11平面?BE?BC,?BE?EC111BC,EC?EBC因为111平面11,BC?EC?C所以1111EBC∴BE⊥?C?F,(2)取棱的中点F,连接EF、EF//AB,EF?AB?2,则?BEB??90?,Rt?ABE?Rt?A?B?E,由(1)知,由题设可知,??AEB??A?EB??45?,?AE?AB?1,AA??2AE?2,ABCD?A?B???CDAA?//BB?C?C,E?AA?,∵在长方体中,平面AB?平面BB??CC,BB??CCd?EF?AB?2,∴点E到平面的距离11:..112V??d?S??1?2?1?.E?BB??CC3棱锥侧BB1C1C33∴四棱锥的体积?a?18.(1)数列n不为“回归数列”,详见解析(2)详见解析a?a?a【分析】(1)由“回归数列”的概念,结合nn?2n?1的结果可判断;b?b?b?bb?b?0(2)设nn?2n?1m,结合nn?*xxxx?x??,??【详解】(1)对于任意nn?2n?1仍为数列n中的项,则称数列n为“回归数列”.a?3n?n?N*?,a?a?a?3n?3n?2?3n?1?7?3n己知n则nn?2n?1,?a??a?7?3nnn显然不是数列中的项,故:数列不为“回归数列”.?n?Nm?N*b?b?b?bb?b?0(2)由题意知:,必存在,使得:nn?2n?1m由题意可知:nn?1,b?b?0b?b?bm?n?1b?b?b?bn?2n?1,故nmn?2因此,即:nn?2n?1n?1bbbb?b?整理得:???,?2n?1n?1n319.(1)证明见解析,231(2)32【分析】(1)利用余弦定理,整理等式,可得答案;(2)利用三角形面积公式,结合三角函数恒等式,可得答案.△ABDBD2?AD2?AB2?2AD?ABcosA?5?4cosA【详解】(1)在中,△BCDBD2?CD2?CB2?2CD?CBcosC?2?2cosC,在中,32cosA?cosC??4cosA?3?2cosC,?S2?AB2?AD2?sin2A?BC2?CD2?sin2C?sin2A?sin2C12444(2)111132?????sin2A??cos2C?1?cos2A??2cosA???4444?2?311??2cos2A?cosA?216,A??0,??,t?cosA???1,1?因为设12:..3113231????y??2t2?t???2t??,t??1,1??216?8?32则,331131t????1,1?y??2t2?t?所以,当8时,216取得最大值32,331cosA?8S2?,12的最大值为x2y2??120.(1)16415?(2)10(3)4【分析】(1)根据题意及椭圆定义知识求解;????1????MP?PNl2PMN(2)设出直线的方程,然后联立椭圆方程,再根据求出点为的三等分点,从而可求解;l(3)设出直线的方程,然后联立椭圆方程,利用根与系数关系求出弦长,再利用基本不等式从而求解.?c?23?a2?b2??313?a2?16???1??a24b2b2?4【详解】(1)由题意得解得:?,x2y2??:椭圆C的标准方程为:M?x,y?N?x,y?y?kx?11122l(2)设,,直线的方程为:,与椭圆的方程联立得:?y?kx?1??x2y2??1???y1?4k2x2?8kx?12?0?164消去得:,?12?8kxx?x?x?121?4k2?1121?4k2?2由根与系数关系得:?1x?x?122?0?1?1??2?1?y?y?122?1????1?????1MP?PN1??x??2x2?2?1?2又因为:,得:,得:21,代入得:13:..??12?2x2??3????114k2??8k??x???4????11?4k2?3?42,所以:将与相除?12?12?1?4k2??2x214k21?2?????x?28k264k2???151???k???1?4k2?10则得:,解得:;15?:M?x,y?N?x,y?y?kx?m1122l(3)设,,直线的方程为:,与椭圆的方程联立得:?y?kx?m??x2y2??1???y1?4k2x2?8kmx?4m2?16?0?164,消去得:,4m2?16?8kmxx?x?x?121?4k2?1121?4k2?2由根与系数关系得:,???8km?2?4?1?4k2???4m2?16??016k2?m2?4由,解得:,1S??xy?xy?MON22112所以:1mm??x?kx?m??x?kx?m??·x?x?·?x?x?2?4xx22**********?3,2m2?16k2m24?m2?16k2m24??????S???4?1?2?3?MON1?4k21?4k2?4把和代入得:?????????OM?ON?4?x?x?2??y?y?2?16又因为:,所以:1212,16k2m2?m2?4?1?4k2?y?kx?m,y?kx?m又因为:1122,所以:,?1?k2??8m2??16k2?m2?4???4m2?3中当且仅当,即:?时,等号成立,?:的面积的最大值为14:..【点睛】本题第(2)(3)问中主要应用直线与椭圆联立后,利用根与系数的关系求出相应的等式关系,然后(3)中又利用基本不等式求出面积的最大值.???,0?21.(1)?10???(2)e?630?2ln2?,4ln2??517?(3)??【分析】(1)直接由导数求出参数的范围即可.(2)由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题,?p??g?q?(3)根据驻点得出导函数为零的的两根,用韦达定理将双变量换成单变量带入,?x??h??x?????0,???xx2x2【详解】(1)易得定义域为,,h??x??0当且仅当??0时,恒成立,y?h?x?是定义域上的单调递增函数,符合题意;??0h??x?而当时,既不恒正,也不恒负,y?h?x?即不是定义域上的单调函数,不符合题意,舍去;???,0?所以,由题意得实数λ的取值范围为;y?h?x?(2)?函数有两个不同的零点,y?h?x???0所以不是定义域上的单调函数,即;y?h?x??0,????,????在上为单调递减函数,在上为单调递增函数,15:..y?h?x?且当x趋近于0和??时,趋近于??,y?h?x??函数有两个不同的零点1h(x)=h(l)=lnl+1<0T0<l<mine.???g?x??h?x???x?lnx???x?p,qp?qx(3)为的两个驻点,1l??g￠(x)=--l=0?p,q0?p?qxx2为的两根,?1?p?q????pq?1?x2?x???0?即一元二次方程有两个不同的正根,即,?11?42?????,?pq1?175??p???????p??1pq11????p??p则?,解得42,骣1骣11骣1骣2-2p2\g(p)-g(q)=g(p)-g琪=lnp+l琪-p-ln-l琪p-=2lnp+l琪琪p琪pp琪p琪p桫桫桫桫1?2?2p2?4?2lnp???2lnp??21??p1?p2p???p,4?11?m?p??2lnp??2,p?,1p2?42????令,2(1p2)228p-?m￠(p)=-=30p(1p2)2p(1p2)2++轾11轾306p?犏,m(p)?犏-4ln2+,-2ln2+\m(p)42175犏臌犏臌犏臌犏臌在上为单调递增函数,则,轾630\g(p)-g(q)=m(p)?犏2ln2-,4ln2-犏臌犏臌517.【点睛】关键点睛:第二问是零点问题,转化为方程根的个数问题;第三问较难,首先将双变量转化为单变量需用驻点这一条件,再用韦达定理表示出来,注意新变量的取值范围,