广西百色民族高级中学2024年下学期高三数学试题5月月考考试试卷5644.pdf

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弦弦定理求cosA,再用平方关系求解.【详解】11已知S?,a?3,b?2,21c2?a2?b2代入S?[a2c2?()2],42:..1c2?3?411得[3c2?()2]?,422即c4?12c2?45?0,解得c2?5,c2?9,b2?c2?a23555当c2?5时,由余弦弦定理得:cosA??,sinA?1?cos2A?.2bc1010b2?c2?a2511当c2?9时,由余弦弦定理得:cosA??,sinA?1?cos2A?.2bc66故选:C【点睛】本题主要考查余弦定理和平方关系,还考查了对数学史的理解能力,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、1【解析】作出不等式组所表示的可行域,利用平移直线的方法找出使得目标函数z?x?2y取得最小时对应的最优解,代入目标函数计算即可.【详解】?y?3?作出不等式组?x?y?2所表示的可行域如下图所示:??x?3y?6?x?y?2?x?3A?3,?1?联立?,解得?,即点,?x?3y?6?y??1z?x?2yz?x?2yA?3,?1?xz平移直线,当直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,z?3?2???1??:1.:..【点睛】本题考查简单的线性规划问题,考查线性目标函数的最值问题,考查数形结合思想的应用,、1【解析】由题意得出展开式中共有11项,n?10;再令x?1求得展开式中各项的系数和.【详解】2n??由?x??的展开式中只有第六项的二项式系数最大,?x2?所以展开式中共有11项,所以n?10;令x?1,可求得展开式中各项的系数和是:(1?2)10?:1.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,考查二项式展开式各项系数和的求法,、231,321,301,1【解析】分个位数字是1、3两种情况讨论,即得解【详解】0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有:(1)当个位数字是1时,数字可以是231,321,301;(2):231,321,301,1【点睛】本题考查了分类计数法的应用,考查了学生分类讨论,数学运算的能力,、3?1【解析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标,求出对称圆的圆坐标到抛物线上的点的距离的最小值,减去半径即可得到MN的最小值.【详解】?0,2?x?y?0?x,y?假设圆心关于直线对称的点为,00:..?y?20??1?x?2?x?则有?0,解方程组可得?0,xy?2?y?0?00?0?0????22C??22C?2,0?所以曲线的方程为x?2?y?1,圆心为,M?x,y?(x?0)MC2??x?2?2?y2设,则,y2?2xMC2??x?2?2?y2=x2?2x?4??x?1?2?3又,所以,?MC2?3,即MC?3,所以MN?3?1,minminmin故答案为:3?1.【点睛】该题考查的是有关动点距离的最小值问题,涉及到的知识点有点关于直线的对称点,点与圆上点的距离的最小值为到圆心的距离减半径,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。y217、(1)y?xtan??1,x2??1(y0)(2)02【解析】(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去,即可得到普通方程;(2)把直线的参数方程代入C的普通方程,化为关于t的一元二次方程,再由根与系数的关系及此时t的几何意义求2解.【详解】?x?tcos?(1)由曲线C的参数方程为?(t为参数),消去参数t,可得y?xtan??1;1y?1?tsin???x?sin??y2由曲线C的参数方程为?(?为参数),消去参数?,可得y?2?2x2,即x2??1(y0).2y?1?cos2?2?????x?tcos?y2(2)把?(t为参数)代入x2??1,y?1?tsin?2?得(1?cos2?)t2?2tsin??1?0.?2sin??1?t?t?,tt?.121?cos2?121?cos2??2sin?4?|AB|?|t?t|?(t?t)2?4tt?()2???cos2?1?cos2?:..解得:cos2??1,即cos???1,满足△?0.?sin??0.【点睛】本题考查参数方程化普通方程,特别是直线参数方程中参数t的几何意义的应用,?x??0,???x?1,a?118、(1)在区间单调递增;(2);(3)【解析】f'?x??0,???f'?x??0g'?x??0(1)求出,在定义域内,再次求导,可得在区间上恒成立,从而可得结论;(2)由,x2?2xlnx?a?0g?x??2x2?x?lnx?2?2x?a?0可得,由可得,联立解方程组可得结果;(3)由(1)知0000000012k?1f?x??x2?2xlnx?0,???x??lnxx?,k?N*在区间单调递增,可证明,取,可得x2k?12k?12k?12k?12k?12??ln(2k?1)?ln(2k?1),而??,利用裂项相消法,结合放缩法可得2k?12k?12k?12k?14k2?1结果.【详解】f?x??0,???f?(x)?2x?2lnx?2(1)由已知可得函数的定义域为,且,2?x?1?h?x??f'?x?h'?x??0x?1令,则有h'(x)?,由,可得,xh'?x?,h?x?可知当x变化时,的变化情况如下表:x?0,1??1,???1h'?x?-0+h?x?极小值?h?x??h?1??0f'?x??0f?x??0,???,即,可得在区间单调递增;a2lnxg?x??0,???g?(x)?1??(2)由已知可得函数的定义域为,且,x2xg'?x??0x2?2xlnx?a?0由已知得,即,①000g?x??2x2?x?lnx?2?2x?a?0由可得,,②00000:..2x??lnx?2?2lnx?2?0联立①②,消去a,可得,③0002lnx22(x?lnx?1)令t(x)?2x?(lnx)2?2lnx?2,则t'(x)?2???,xxxx?lnx?1?0t'?x??0?t?x??0,???由(1)知,,故,在区间单调递增,t?1??0x?1注意到,所以方程③有唯一解,代入①,可得a?1,0?x?1,a?1;0f?x??x2?2xlnx?0,???(3)证明:由(1)知在区间单调递增,x2?2xlnx?1f(x)?1x??1,???f?x??f?1??1?故当时,,g(x)???0,x2x2g?x??1,???可得在区间单调递增,12?1?x?1g?x??g?1??2x??(lnx)2?2x??(lnx)2因此,当时,,即,亦即??,x?x?112k?1这时x??0,lnx?0,故可得x??lnx,取x?,k?N*,xx2k?12k?12k?12k?12k?12可得??ln(2k?1)?ln(2k?1),而??,2k?12k?12k?12k?14k2?1n2n???(ln(2k?1)?ln(2k?1))?ln(2??1)故4k2?1k?1k?1n11???ln(2x?1)(n?N?).4k2?12i?1【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明,,利用导数证明不等主要方法有两个,一是比较简单的不等式证明,不等式两边作差构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出函数的最值即可;二是较为综合的不等式证明,要观察不等式特点,结合已解答的问题把要证的不等式变形,并运用已证结论先行放缩,?119、(1)个;(1)存在,(,2].4【解析】试题分析:(1)设,对其求导,及最小值,从而得到的解析式,进一步求值域即可;(1)分别对和两种情况进行讨论,得到的解析式,进一步构造,通过求导得到最值,得到满足条件:..?x?1??x?1?2试题解析:(1)设F?x??x2?1?2lnx,F??x??2x??,.............1分xxF??x??0x?1,F?x?F??x??00?x?1,F?x?令,得递增;令,得递减,.................1分F?x??F?1??0F?x??02f?x??x2?1∴,∴,即x?1?2lnx,∴.............3分min?1?G?x??3x??x?1?2f?x?G?x??0,1??0,1?设??,结合与在上图象可知,这两个函数的图象在上有两个交点,即?2?h?x??0,1?在上零点的个数为1...........................5分f?x??G?x??0,1?(或由方程在上有两根可得)3a???2,???g?x??x?4ax??a?2,???(1)假设存在实数,使得对恒成立,23x?lnx?x?4a2{x??a?2,???则,对恒成立,?1?3?x2?a2?x?2a2?4a?x?4a???2?21lnx?x?4a{2x??a?2,???即,对恒成立,................................6分???2?x?2x?a?01112?xH?x??lnx?x,H??x????①设,2x22xH??x??00?x?2,H?x?H??x??0x?2,H?x?令,得递增;令,得递减,H?x??h?2??ln2?1∴,maxln2?1?ln2?1?当0?a?2?2即?2?a?0时,4a?ln2?1,∴a?,∵a?0,∴4a??,0?.4?4??ln2?1?1a?,0lnx?x?4ax??a?2,???故当??时,对恒成立,.......................8分?4?21a?2?2a?0H?x??a?2,???H?x??H?a?2??ln?a?2??a?1当即时,在上递减,∴.21?11??????∵ln?a?2??a?1???0,∴Ha?2?H0?ln2?1?0,???2?a?221a?0lnx?x?4ax??a?2,???故当时,对恒成立............................10分2:..???2?????②若x?2x?a?0对x?a?2,??恒成立,则a?2?a2,∴a??1,2...........11分?ln2?1?由①及②得,a??,2.??4?3a???2,???g?x??x?4ax??a?2,???故存在实数,使得对恒成立,2?ln2?1?且a的取值范围为?,2................................................11分??4?考点:导数应用.【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题;利用导数来判断函数的单调性,进一步求最值;:可利用数形结合的办法判断交点个数,如果函数较为复杂,,可参变分离,,往往可利用参变分离的方法,.?2m??2m?20、(Ⅰ)单调递减区间为??1,?1?,单调递增区间为??1,???;(Ⅱ)2.?2??2?????【解析】y?f?x?f??x?(Ⅰ)求出函数的定义域以及导数,利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间;11x2?2x?mln?x?1????0,???m?0m?0m?0(Ⅱ)由题意可知在上恒成立,分和两种情况讨论,在x?1ex11G?x??x2?2x??G?x??0?0,???m?0时,构造函数,利用导数证明出在上恒成立;在时,经过分析得x?1ex110?m?2P?x??x2?2x?2ln?x?1???P?x??0?0,???出,然后构造函数,利用导数证明出在上恒成exx?1f?x??P?x??0m立,由此得出,进而可得出实数的最大值.【详解】f?x??x2?2x?mln?x?1???1,???(Ⅰ)?x?1?2?mm当m?0时,f??x??2x?2??.x?1x?1??2m2m令f?x?0,解得x???1??1(舍去),x??1??:..?2m??2m?x??1,?1f??x??0y?f?x??1,?1当??时,,所以,函数在??上单调递减;????22?????2m??2m?x??1,??f??x??0y?f?x??1,??当??时,,所以,函数在??上单调递增.?2??2??????2m??2m?y?f?x??1,?1?1,??因此,函数的单调递减区间为??,单调递增区间为??;?2??2?????11x2?2x?mln?x?1????0,???(Ⅱ)由题意,?1exm?0ln?x?1??0??mln?x?1??0(i)若,,,1111?x2?2x?mln?x?1????x2?2x??,x?1exx?1ex1111??G??x??2x?2??构造函数Gx?x2?2x??,x?0,则,x?x?1?2exx?1e11x0,?0??1,??1????2??2x?2?2?G'?x??0?0,???又,在上恒成立.?x?1?2y?G?x??0,????G?x??G?0??,函数在上单调递增,11?m?0?x2?2x?mln?x?1????0?0,???当时,?1exm?0H?x??ex?x?1x?0(ii)若,构造函数,.H??x??ex?1?0y?H?x??0,???,所以,?H?x??H?0??0x????0恒成立,即e?x?1?0,,?1exx?1ex11f?x????0,???由题意,知在上恒成立.