德阳市2024届高三数学(理)下学期三模考试卷附答案解析.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..德阳市2022届高三数学(理)下学期三模考试卷试卷满分150分,120分钟完卷。第Ⅰ卷(选择题共60分);本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。A??x|1?x?4?B?{x|x2一2x一3?0},则A?B=(),集合A.[一1,4)B.(一1,4)C.(1,3]D.(1,3)z??x2?1???x?1?(i为虚数单位),则实数的值为()A.?.?1或1?1??a?nS?n?a(),则数列??的前5项和为()nna?n??by?c?1?0(b,c?0)x2??y?1?2?6的圆心,则?(),细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为yae?bt?cm3??,经过8min后发现容器内还有一半的沙子,若容器中的沙子只有开始时的八分之一,则需再经过的时间为().,以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出下列四个结论:①BD⊥AC;②△BAC是等边三角形;③三棱锥D-ABC是正三棱锥;④平面ADC⊥()A.①②④B.①②③C.②③④D.①③④?logx,x?0f?x?27.“a?0”是“函数??有且只有一个零点”的()?2x?a,x?0?.《九章算术》是我国古典数学教学名著之一,书中有如下问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其意思为“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步,问一边在勾上的内接正方形的边长为:..多少步?”在此题的条件下,向此三角形内随机投289粒豆子,则落在这个内接正方形内的豆子数大约是()?n2?当n为奇数时?,?????且a?f(n)?f(n?1),则a?a?a???a等于()?n2?当n为偶数时?,n123100????.-,在三棱柱ABC?ABC中,AA?平面ABC,AA?AB?2,BC?1,AC?5,若规定11111主(正)A,则此三棱柱的侧(左)??1(a?0,b?0)的右焦点是F,左?右顶点分别是A,A,过作x轴的垂线与双曲线交Fa2b212于B,C两点,若AB?AC,则该双曲线的渐近线方程为()?2y??y??y??y?0f?x?F?x???x?b?f?x?b??2022a,,令,若b是的等差中项,则F?a??F?c??()Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答。二、填空题:共4小题,每小题5分,共20分。将答案填在答题卡上。?3sinx?cosx?x?R?的图象向左平移m(m?0)个单位长度后,所得到的图象对应函数为奇函数,则m的最小值是___________.?????????????6x的焦点,A,B,?FB??FC,则????????????|FA?FB?FC?___________.:..?y?xy?z?2x?yxx?y?,其中,满足?,且的最大值是最小值的4倍,则实数的值是________.?xm??x??1,2?:“已知关于的不等式ax2?bx?c?0的解集为,解关于的不等式ax2?bx?c?0”,给出如下一种解法:??1,2?解析:由ax2?bx?c?0的解集,得a??x?2?b??x??c?0??2,1?的解集为,即x2??2,1?关于的不等式ax?bx?c??b?1??1?x??0?1,??,1,参考上述解法,若关于的不等式的解集为????x?ax?c?3??2?kxbx?1x???1cx?1三、?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足?2a?c?BA?B?CA(1)求角B的大小;????????(2)若BA?BC?2,求?,简称“北京冬奥会”.某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民,其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)已知[30,40)?[40,50)?[50,60)三个年龄段的人数依次成等差数列,求a,b的值;(2)该媒体将年龄在[30,50)内的人群定义为高关注人群,其他年龄段的人群定义为次高关注人群,“关注度的高低”采用分层抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取5人,并在这5人中随机抽取2人进行电视访谈,求此2人中恰好来自高关注人群和次高关注人群各一人的概率.:..,平面ABDE?平面ABC.?ABC是等腰直角三角形,AC?BC?4,四边形ABDE是直角梯1形,BD//AE,BD?BA,BD?AE?2,O,M分别为CE,(1)试判断直线OD与平面ABC的位置关系,并说明理由;(2)?x??ex?ax??x?1xxlnx?e?21?(1)判定函数的单调性;(2)求证:?????.x?:??1(a?b?0)的左?右焦点分别是F,F,离心率为,过F且垂直于x轴的直线被椭a2b21221圆截得的线段长为1.(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点О的直线与椭圆交于M,N两点,且直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,求?OMN面积的取值范围.?一1,3?°,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为??23sin??2cos?.(1)求圆C的直角坐标方程;P?x,y?l??23sin??2cos?3x?y(2)点是直线与圆面的公共点,?x??m?x?2,m?f?x?2??,且的解集为[-1,1].111ma,b,c??0,??????ma?2b?3c?9(1)求的值;(2)若,且,求证:.a2b3c:..参考答案:【分析】解二次不等式求得集合B然后根据并集的定义即得.【详解】?1?x?3?B???1,3????A?B?[?1,4)由x2?2x?3?0,解得,,又?A?1,4,.故选:【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.?x2?1?0【详解】由已知得?,解得x?1,故选:Cx?1?0?【分析】?1?1由题可得a?1,进而可得数列??是首项为1,公比为的等比数列,?n?【详解】∵S?2n?a,n∴a?S?2?a,a?22?a??2?a??2,a?23?a??22?a??41123又数列?a?为等比数列,故2?a?1,即a?1,n?a?∴数列是首项为1,公比为2的等比数列,n11??1?1?1?2531∴数列??是首项为1,公比为的等比数列,∴数列??的前5项和为?.a2a116?n??n?1?2故选:【分析】由已知得到圆心坐标,代入直线方程得b?c?1,进而用“乘1法”,利用基本不等式求最小值.【详解】5:..圆x2??y?1?2?6的圆心为(0,1),∵直线ax?by?c?1?0(b,c?0)经过圆x2??y?1?2?6的圆心,∴b?c?1,41?41?b4cb4c??(b?c)??5???5?2??9,??bc?bc?cbcb?2?b?c?1b??????341当且仅当?b4c,即?时取“等号”,∴?的最小值是9,故选:D?1bc?cb?c??????【分析】1ln2ln2a依题意有ae?8b=a,解得b?,得到?t,再令y?,求解得到t的值,减去最初的8min即y?ae8288得所求.【详解】1a1依题意有ae?8b=,即e?8b?,221ln2ln2bbyae?t两边取对数得?8?ln??ln2,??,??8,28ln21ln21ae?tae?t当容器中只有开始时的八分之一,则有8??8?,88ln21??两边取对数得?t?ln??3ln2,?t?24,所以再经过的时间为24?8?:【分析】根据翻折后垂直关系得BD⊥平面ADC,即得BD⊥AC,再根据计算得△BAC是等边三角形,最后可确定选项.【详解】由题意知,BD⊥平面ADC,故BD⊥AC,①正确;AD为等腰直角三角形斜边BC上的高,平面ABD⊥平面ACD,所以AB=AC=BC,△BAC是等边三角形,②正确;易知DA=DB=DC,又由②知③正确;由①知④:..【点睛】本题考查线面垂直判定与性质,考查推理论证求解能力,【分析】先分析函数有且只有一个零点的等价条件:考察x?0时的情况得到一个零点,于是当x?0时,f(x)??2x?a无零点,根据指数函数的性质求得a?1或a?.【详解】在x?0时,令f(x)?0,则logx?0,?x?1,f(x)有一个零点为1,2?函数f(x)只有一个零点,?在x?0时,f(x)??2x?a无零点,即a?2x无解,?当x?0时,2x??0,1?,?a?1或a?0,?logx,x?0f?x??2a?1或a?0”,∴“函数?有且只有一个零点”等价于“?2x?a,x?0?∵“a?0”是“a?1或a?0”的充分不必要条件,∴a?0是函数f(x)只有一个零点的充分不必要条件,故选:【分析】先求得直角三角形的面积,然后利用相似三角形的性质求得内接正方形的边长,得到内接正方形的面积,利用几何概型求得相关概率,进而得解.【详解】由题意可得,直角三角形两直角边长分别为5步和12步,面积为30(平方步),x5?x60设内接正方形边长为x,则?,解得x?,125176023600所以正方形的面积为?(平方步),1722897:..3600∴向此三角形内投豆子,则落在其内接正方形内的概率是289120,?30289120向此三角形内随机投289粒豆子,则落在这个内接正方形内的豆子数大约是289??120289故选:,然后两项一组,即可求解数列的前100项的和n【详解】?a?f(n)?f(n?1)n?n2?(n?1)2,n为奇数???2n?1?,n为奇数?由已知条件知,a??即a???a?(?1)n?(2n?1)n?n2?(n?1)2,n为偶数n2n?1,n为偶数n???a?a?2(n是奇数)nn?1?a?a?a???a?(a?a)?(a?a)???(a?a)?2?2?2???2?100123100123499100故选:B.【点睛】关键点睛:解答本题的关键是求出数列?a?的通项a?(?1)n?(2n?1),即得到a?a?2(n是奇数).nnnn?【详解】试题分析:由题设可知,且边上的高,侧视图是以边上的高为宽,,:【分析】首先根据题意求出AB,AC的斜率,再根据直线垂直,斜率乘积等于?1,得到a?b,即可得到双曲线12的渐近线方程.【详解】x2y2cF?c,0?x?c??1设双曲线的半焦距为,则,将,代入双曲线,a2b28:..b2?b2??b2?得y??,,,Bc,?,????aaa????A??a,0?A?a,0?AB,ACk,k又,,∴12的斜率分别为:1212b2b2?ab2ab2k???,k??,1c?aa?a?c?2c?aa?c?a?b2?b2?b4b4AB?AC,故????1?11因为??,即??,即?,12a?a?c?a?c?a?a2c2?a2a2b2????????b所以a?b,故渐近线方程是y??x??:【解析】【分析】令g?x??xf?x?,结合a?c?2b可化简知F?a??F?c??g?b?c??g?c?b??4044,由g??x???g?x?可得结果.【详解】g?x??xf?x?g??x???xf??x???xf?x???g?x?令,则,?b是a,c?a?b?b?c的等差中项,?a?c?2b,,?F?a??F?c???a?b?f?a?b???c?b?f?c?b??4044??b?c?f?b?c???c?b?f?c?b??4044?g?b?c??g?c?b??4044?g?b?c??g?b?c??4044?:B.?【解析】【分析】??由题可得函数y?2sin(x?m?)为奇函数,进而可得m??k?,k?Z,【详解】????f?x??3sinx?cosx?2sin(x?)mm?0y?2sin(x?m?)由,向左平移个单位,得到的图象,669:..?∴函数y?2sin(x?m?)为奇函数,6?∴2sin(m?)?06??所以m??k?,k?Z,即m??k?,k?Z,66m??故答案为:.【解析】【分析】?????????????设A?x,y?,B?x,y?,C?x,y?.由FA?FB?FC?0,得F是?ABC的重心,利用三角形重心坐标112233x?x?x公式求得123,然后由焦半径公式求得结论.【详解】设A?x,y?,B?x,y?,C?x,y?.112233?3?3抛物线y2?6x的焦点坐标为F,0,准线方程为x??.?2???2?????????????由已知得FA?FB?FC?0,39所以点F是?ABC的重心,故x?x?x?3??,12322由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离(或者直接由焦半径公式)可得????????????333999FA?FB?FC?x??x??x??x?x?x????:?4【解析】【详解】作出不等式组对应的平面区域,如图所示,由z?2x?y,得y??2x?z,平移y??2x?z,由图象可知当直线y??2x?z经过点A时,直线y??2x?z的截距最大,z取得最大值,10:..当直线y??2x?z经过点D时,直线y??2x?z的截距最小,z取得最小值,?y?x?x?1由???,此时A(1,1),所以z?2?1?1?3x?y?2y?1max???x?m由?,此时D(m,m),所以z?3m,y?xmin?1又最大值是最小值的4倍,所以3?12m,解得m?.416.??3,?1???1,2?.【解析】【分析】kxbx?11kxbx?1关于x的不等式??0可看成前者不等式中的x用代入可得不等式??0的解ax?1cx?1xax?1cx?1集.【详解】kx?b?1??1?若关于x的不等式??0的解集为?1,??,1,xaxc???????3??2?kxbx?11则关于x的不等式??0可看成前者不等式中的x用代入可得,ax?1cx?1x1?1??1???1,??,1x???3,?1???1,2?则????,?3??2???3,?1???1,2?故解集为:.【点睛】本题考查不等式的解法,考查方法的类比,.(1)3(2)311:..【解析】【分析】(1)根据平面向量数量积定义,结合正弦定理将边化为角,即可求得B的大小.(2)由已知得到b?2,结合余弦定理和基本不等式求得ac的最大值,进而由三角形面积公式求得?ABC的面积的最大值.(1)uuruuuruuruur?2a?c?BA?B?CA,由平面向量数量积定义可得(2a?c)cacosB?cabcosC,?2acosB?osB,?2sinAcosB?sinBcosC?osB?sin(B?C)?sinA,1?A?(0,π),?sinA?0,?cosB?,2π?B?(0,π),?B?;3(2)?????????????BA?BC?CA?b?2由余弦定理得b2?a2?c2?osB,∴4?a2?c2?ac?2ac?ac?ac,当且仅当a?c?2时取“等号”,∴ac的最大值为4,13?S?acsinB?ac的最大值为3.?ABC2418.(1)a?,b?(2)5【解析】【分析】(1)根据已知和所有矩形面积之和等于1列方程组,求解可得;(2)先根据分层抽样求出高关注人群和次高关注人群各有多少人,然后直接列举出所有结果可得.(1)在[30,40)?[40,50)?[50,60)三个年龄段的人数依次为:100?10a?1000a,100?10b?1000b,100?10??1512:..由题意知,1000a?15?2000b…①又(?a?b??)?10?1,即a?b?…②由①②联立求解得:a?,b?(2)年龄在[30,50)内的人数为100?(?)?60采用分层抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取5人,则抽取到的高关注人3人,记为a,b,c,抽取到次高关注人2人,记为1,:(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2),(1,2),共10种,其中来自高关注人群和次高关注人群各一人共有6种,所以,从这5人中随机抽取2人进行电视访谈,求此2人中恰好来自高关注人群和次高关注人群各一人63的概率为?10519.(1)OD//平面ABC,理由见解析;(2)4.【解析】【分析】(1)根据已知条件及三角形的中位线定理,再利用平行的传递性及平行四边形的判定,再结合线面平行的判定即可求解;(2)根据已知条件得出点C到平面EMD的距离,进而得到点O到平面EMD的距离,再求出?EMD面积,结合三棱锥的体积公式即可求解.(1)直线OD与平面ABC平行,理由如下如图所示,13:..取AC中点为H,连接OH,BH,因为O为CE的中点,H为AC的中点,1所以OH∥//AE,BD?AE,所以BD∥AE,22所以OH∥BD,//?平面ABC,BH?平面ABC,所以OD//平面ABC.(2)因为?ABC是等腰直角三角形,AC?BC?4,?CM,AB?AC2?BC2?42?42?42,CM?AB?22,2因为平面ABDE?平面ABC,BD?BA,平面ABDE?平面ABC?AB,所以BD?平面ABC,CM?平面ABC,所以BD?CM,CM?AB,又BD?AB?B,所以CM?平面ABDE,所以点C到平面EMD的距离为CM,?CM??22?2,221因为M为AB的中点,所以AM?BM?AB?22,214:..1又因为四边形ABDE是直角梯形,BD//AE,BD?BA,BD?AE?2,2111所以S???AE?BD??AB??AM?AE??BM?BD?DEM222111???4?2??42??22?4??22?2?62,222所以四面体ODME的体积为11V??S?h??62?2??DEM3?DEM320.(1)当a?0时,函数在R上单调递增;当a?0时,函数的单调递增区间为(ln(?a),??),单调递减区间为(??,ln(?a));(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)直接利用导数求函数的单调性;ex(2)令g(x)?1?x?xlnx,求出g(x)?g(x)?1?e?2;利用第(1)问的结论求出?(e?2?1)?e?2?1,maxx?1即得证.(1)解:由题得f??x??ex?a,a?0f?(x)?0当时,,所以函数在R上单调递增;当a?0时,令ex?a?0,所以x?ln(?a),令ex?a?0,所以x?ln(?a),所以此时函数的单调递增区间为(ln(?a),??),单调递减区间为(??,ln(?a)).综上所述,当a?0时,函数在R上单调递增;当时,函数的单调递增区间为(ln(?a),??),单调递a?0减区间为(??,ln(?a)).(2)g(x)?1?x?xlnx,?g?(x)??1?(lnx?1)??lnx?2证明:令,g?(x)?00xe?2g?(x)?0xe?2由得??;由得?.所以函数g(x)的单调递增区间为(0,e?2),单调递减区间为(e?2,??),所以g(x)?g(x)?1?e?(1)得当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增,15:..所以f?x??ex?x?1?f(0)?0,?ex?x?1exex??1,??(e?2?1)?e?2?1,x?1x?1ex1xxlnx?e?21?所以??????1x221.(1)?y2?14(2)(0,1)【解析】【分析】(1)根据题意,列出a,b,c的方程组,求得a?2,b?1,即可求得椭圆的方程;(2)设直线l的方程为y?kx?m,联立方程组,由??0,得到m2?4k2?1,根据根与系数的关系,求8km4(m2?1)yyx?x??,xx?OM,MN,ON1?1?k2得,因为直线的斜率依次成等比数列,得到,1214k21214k2xx??111解得k2?,进而求得0?m2?2且m2?1,再结合弦长公式和点到直线的距离公式,得到4S??(m2?1)?1,即可求解.?OMN(1)x2y23c3解:由题意,椭圆C:??1的离心率为,可得?,即3a2?4c2,a2b22a22b2又由过F且垂直于x轴的直线被椭圆截得的线段长为1,可得?1,即a?2b2,1a又因为a2?b2?c2,联立方程组,可得a?2,b?1,x2所以椭圆C的方程为?y2?(2)解:由题意,可设直线l的方程为y?kx?m(k?0,m?0),?y?kx?m?联立方程组?x2,整理得(1?4k2)x2?8kmx?4(m2?1)?0,?y2?1??4则??64k2m2?16(1?4k2)(m2?1)?16(4k2?m2?1)?0,即m2?4k2?1,8km4(m2?1)设M(x,y),N(x,y),则x?x??,xx?,1122121?4k2121?4k216:..可得yy?(kx?m)(kx?m)?k2xx?km(x?x)?m2,12121212因为直线OM,MN,ON的斜率依次成等比数列,yyk2xx?km(x?x)?m28k2m21?1?1212?k2??m2?0所以,可得,xxxx1?4k2111211由m?0,解得k2?,所以k??,42又由m2?4k2?1,可得0?m2?2,若m2?1,可得xx?0,此时x,x中至少有一个为0,直线OM,ON中至少有一个斜率不存在,显然不1212成立,所以m2?1,设原点到直线l的距离为d,11m1S?MN?d??1?k2x?x??m(x?x)2?4xx??(m2?1)2?1则,?OMN22211k221212?0?m2?2且m2?1,所以0?S?1因为OMN,?即?OMN的面积的取值范围为(0,1).22.(1)(x?1)2?(y?3)2?4(2)[?2,2]【解析】【分析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式直接求解即可,(2)设z?3x?y,圆C的圆心为C(?1,3),半径为2,将直线l的参数方程代入z?3x?y得z??t,而直线l过圆心C(?1,3),圆C的半径为2,从而可求出范围(1)由??23sin??2cos?,得?2?23?sin??2?cos?,所以x2?y2?23y?2x,即(x?1)2?(y?3)2?4(2)由(1)得圆C的圆心为C(?1,3),半径为2,??因为直线l过点一1,3且倾斜角为150°,17:..?3x??1?t?x??1?tcos150????2所以直线l的参数方程为?,即?,(t为参数)?y?3?tsin150?1??y3t??????2?3?1设z?3x?y,则z?3??1?t??3?t??t,?2?2??因为直线l过圆心,圆C的半径为2,点P?x,y?是直线l与圆面??23sin??2cos?的公共点,C(?1,3)所以?2?t?2,所以?2??t?2,所以?2?z?2,所以3x?y的取值范围为[?2,2]23.(1)1;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据f(x+2)?0的解集为[?1,1],结合绝对值不等式的解法,即可求出m的值;(2)利用“1”的替换和基本不等式计算,即可证明.(1)不等式f(x+2)?0即m?x?0,即x?m,解得?m?x?m,f(x+2)?0[?1,1]m?1又的解集是,所以,综上,m?1;111(2)由(1)知??=1,a、b、c?(0,??),a2b3c111a2ba3c2b3c所以a+2b+3c=(a+2b+3c)(??)???????3a2b3c2ba3ca3c2ba2ba3c2b3c?2??2??2??3?2?2?2?3??2b?3c即a?3,b?,c?,a+2b+3c?