数学-2024届新高三开学摸底考试卷(北京专用)(解析版).pdf

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ac??,3?3?3cosB4??12则S?acsinB?;?ABC28若选②:????????????????因为AB?BC??1?0,即AB?BC??accosB?0,则cosB?0,11222sinB?,则??又cosB?1??,3?3?3??????????132又AB?BC??accosB,得ac??,cosB412则S?acsinB?;?ABC2832bacb2acac49(2)由正弦定理得:??,则?????,sinBsinAsinCsin2BsinAsinCsinAsinC243b331则?,b?sinB?.,从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试,:1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929187909290:..第二轮测试成绩90909188888796928992(1)从该校高二年级随机选取一名学生,试估计这名学生考核成绩大于90分的概率;(2)为进一步研究这10名同学的成绩,从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人,记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为X,求X的分布列与数学期望;(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为x,s2,考核成绩的平均数和方差分别为x,s2,试1122比较x与x,s2与s2的大小.(只需写出结论)1212【解析】(1)这10名学生的考核成绩(单位:分)分别为:93,,,88,90,89,,91,,、7号、8号、9号、10号,共5人,5所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是?,;(2)由题知,考核成绩小于90分的学生共4人,,1,2,则C0C21C1C12C2C01P?X?0??22?P?X?1??22?P?X?2??22?,,,C26C23C26444所以X的分布列为X012121P636121所以E?X??0??1??2??1;6361(3)由题可得x???96?89?88?88?92?91?87?90?92?90??,1101x???93???88?90?89??91??91??,2101s2???2??2???2?????????110??1s2???93??2????2????91??2??,210??所以x?x;s2?,在四棱锥P?ABCD中,PA?平面ABCD,AD?CD,AD//BC,PA?AD?CD?2,BC?,点F在PC上,且?.FC2:..(1)求证:平面AEF?平面PCD;(2)求平面AEF与平面AEP所成角的余弦值;(3)若棱BP上一点G,满足PG?2GB,【解析】(1)如图,以D为原点,分别以DA,DC为轴,轴,过D作AP平行线为轴,建立空间直角坐标系,则D?0,0,0?,A?2,0,0?,C?0,2,0?,P?2,0,2?,E?1,0,1?,B?3,2,0?,????????PF1????1????所以DC??0,2,0?,PC???2,2,?2?,因为?,所以PF?PC,FC23????1424424????????所以DF??2,2,?2?2,0,2?,,,即F,,,3?333??333?????????224?????,,???所以AF??,AE??1,0,1,???333??????224??n?AF??x?y?z?0?设平面AEF的法向量为n??x,y,z?,则333,???????nAExz0???????令x?z?1,则y??1,所以n??1,?1,1?,????????m?DC?2b?0?平面PCD的法向量为m??a,b,c?,则????,???n?PC??2a?2b?2c?0???令a?1,则c??1,所以m??1,0,?1?,??????所以n?m?1?1?0???1??1???1??0,所以n?m,所以平面AEF?平面PCD.?(2)易知平面AEP的一个法向量u??0,1,0?,:..??n?u13设平面AEF与平面AEP所成角为?,则cos??????,n?????2????(3)因为棱BP上一点G,满足PG?2GB,所以PG?PB,3????????????????2????2242??所以AG?AP?PG?AP?PB??0,0,2???1,2,?2??,,,33?333????????242?1????1??1?n?AG333所以点G到平面AEF的距离d0.????:1(ab0)A??2,?1?42.????过点,长轴长为a2b2(1)求椭圆C的方程及其焦距;(2)直线l:y?kx?m与椭圆C交于不同的两点M,N,直线AM,AN分别与直线x??4交于点P,Q,O为坐标原点且OP?OQ,求证:直线l过定点,并求出定点坐标.?2a?42?【解析】(1)由题得41,?a?22,b?2,c?6,???1??a2b2x2y2所以椭圆C的方程为??1,焦距为2c?(2)如图,x2y2直线l:y?kx?m与椭圆方程??1联立,82化简得(4k2?1)x2?8kmx?4m2?8?0,??128k2?16m2?32?0,即8k2?m2?2?0.?8km4m2?8设M(x,y),N(x,y),则x?x?,xx?.1122124k2?1124k21?:..y?1?2(y?1)直线MA的方程为y?1?1(x?2),则P(?4,1?1),x?2x?211y?1?2(y?1)直线NA的方程为y?1?2(x?2),则Q(?4,2?1),x?2x?222?2(y?1)?2(y?1)因为OP?OQ,所以1?1+2?1=0,x?2x?212kx?m?1kx?m?11?2??1所以,x?2x?212所以(2k?1)x?x?(2k?m?3)(x?x)?4m?8?0,1212把韦达定理代入整理得(m?2k?1)(m?4k)?0,?m?2k?1或m?4k,当m?2k?1时,直线方程为y?kx?2k?1,?y?1?k(x?2),过定点(?2,?1),即点A,不符合题意,?4k时,直线方程为y?kx?4k,?y?k(x?4)过定点(?4,0).?x??eax(x?1)2.??????(1)若a?1,求fx在0,f0处切线方程;f?x?(2)求的极大值与极小值;Ma?0y?f?x??M(3)证明:存在实数,当时,函数有三个零点.【解析】(1)当a?1时,f?x??ex(x?1)2,f?(x)?ex(x2?1),所以k?f?(0)?e0(02?1)??1,又f(0)?e0(0?1)2?1,所以切线方程为y?1??(x?0),即x?y?1???x??aeax(x?1)2?2eax(x?1)?eax(x?1)(ax?a?2),(2)当a?0时,f?(x)?2(x?1)?0,解得x?1,故x?1时,f?(x)?0,f(x)单调递减;x?1时,f?(x)?0,f(x)单调递增,故x?1时,f(x)的极小值为f(1)?0,无极大值;2当a?0时,令f?(x)?0,解得x?1,x?1?,12a2故当x?1?或x?1时,f?(x)?0,f(x)单调递增,a2当1??x?1时,f?(x)?0,f(x)单调递减,a2224ea?2??f(1)?0故f(x)的极大值为f(1?)?ea?2?,极小值为;??a?a?a2:..2当0时,令f?(x)?0,解得x?1,x?1?,a<12a2故当x?1或x?1?时,f?(x)?0,f(x)单调递减,a2当1?x?1?时,f?(x)?0,f(x)单调递增,a2224ea?2f(x)??f(1)?0故的极大值为f(1?)?ea?2?,极小值为;a?a?a2??24ea?2综上,当a?0时,f(x)的极小值为f(1)?0,无极大值;当a?0时,f(x)的极大值为f(1?)?,极aa2小值为f(1)?(3)当a?0时,由(2)知,f(x)在(??,1?)和(1,??)上单调递增,a2在(1?,1)上单调递减,且x?1时,f?x??eax(x?1)2?0恒成立,ax???f?x??eax(x?1)2???时,,24ea?2又f(x)的极大值为f(1?)?,极小值为f(1)?0,aa24ea?2所以存在实数0?M?时,函数y?f?x??????,设A?A?a?aa,a?A,A?A?a?aa,a?A,记集合ijijijijA?A和A?A其元素个数分别为A?A,A?A.??A??1,2?A?A??2,3,4???A?A?A?A设nA?A?A?A?,,A?A??1,0,1,,所以n?A????1,3,5?n?A?(1)若,求的值;(2)设是由3个正实数组成的集合且?A?A??A??,A??A??0?????A,证明:nA??nA为定值;?a?A??a,a,???,a?b?n?A?(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列,对任意n?N*,设,.nn12nnna?1,a?2n?N*,b?0?a?已知,且对任意,??1,3,5?A?A??2,4,6,8,10?A?A???4,?2,0,2,4?【解析】(1)当时,,,A?A?A?A,所以n?A??0,(2)设A??a,b,c?,其中0?a?b?c,A??A??0???0,a,b,c?则,n?A???n?A??A??A??A??A???A?A?A?A?:..??A??A??A?A???A??A??A?A?因0?a?2a?a?b?2b?b?c?2c,A?A??2a,2b,2c,a?b,b?c?U?a?c?,因?A?A??A??,所以b?2a,c?2b,c?2a,c?a?b,又A??A???b,c???0,a,2a,2b,2c,a?b,b?c???a?c?,a?c?0,a?c?a,A??A??A?A?4所以,因?c??b??a?0?a?b?c,a?c?a?b?0?b?a?c?a,b?c?0?c?b,A?A??0,a?b,a?c,b?a,c?a???b?c,c?b?,A??A???a,b,?a,?b???0,c,?c,a?b,a?c,b?a,c?a???b?c,c?b?因b?2a,c?2b,c?2a,c?a?b,所以a?b?a,a?c?a,b?c?b,a?c?b,b?c?0,b?c?0,b?c?c,b?c??cA??A??A?A?6所以n?A???n?A???2所以n?A???n?A?为定值.??(3)A??1,2,a?a?N*,333若a?4,a?N*,33则4?1?a?2?a?2a,3331?a?2?a??1?1?a?2?a?1,3333故A?A??2,3,4,1?a,2?a,2a?,33333A?A??1?a,2?a,?1,0,1,a?2,a?1?,333333此时b?n?A??A?A?A?A??1,不符合题意,333333故a?3,3猜想a?n,下面给予证明,n当n?3时,显然成立,n?kk?N*时,都有a?kA??1,2,3,???,k?假设当,成立,即,kkA?A?????k?A?A??1?k,2?k,3?k,???,0,1,2,?,k?1?此时2,3,4,,2,,kkkk故A?A?2k?2?1?2k?1,A?A?k?1??1?k??1?2k?1,kkkk:..b?n?A??0,符合题意,kkA??1,2,???,k,a?,a?N*k?1k?1k?1则A?A??2,3,4,???,2k???2?a,3?a,?,k?a?,k?1k?1k?1k?1k?1A?A??1?k,2?k,3?k,???,0,1,2,?,k?1???1?a,2?a,?,0,1,?,a?1?,k?1k?1k?1k?1k?1若a?k?2,k?1?2,3,4,???,2k???2?a,3?a,?,k?a?的元素个数小于k?1k?1k?1?1?k,2?k,3?k,???,0,1,2,?,k?1???1?a,2?a,?,0,1,?,a?1?的元素个数k?1k?1k?1b?n?A??A?A?A?A?A?A?A?A?n?A??0则有,k?1k?1k?1k?1k?1k?1kkkkk不符合题意,故a?k?1,k?1综上,对于任意的n?N*,都有a?nn故数列?a?的通项公式a?