数学高三开学摸底考试卷(九省新高考通用)02(解析版).pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..2024届新高三开学摸底考试卷(九省新高考专用)02数学本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。注意事项:Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。?2??x????xx?3x?4,B?x2?2,则eAIB?()R??1,2??4,????1,4??1,4?.【答案】D【分析】根据题意求集合eA,B,?2????x????【详解】由题意可得:A?x|x?3x?4??1,4,B?x2?2?1,?R?eA??B??1,4?:??z?1,则2?iz?()1?【答案】B【分析】根据复数的运算可得z??1?i,结合共轭复数可得2?iz?1?i,?1?i?2?【详解】由题意可得:z??1??1??1?i,1?i?1?i??1?i?则2?iz?2?i??1?i??1?i,所以2?iz?1?i?12???1?2?:“”“f?x???x?a?3,???”.a?3是函数在区间上为减函数的()【答案】A【分析】求出函数f?x???x?a在区间?3,???上为减函数的a的取值范围,结合与的关系求出答案a?3:..【详解】f?x???x?a的图象如图所示,f?x??x?a?3,???a?3要想函数在区间上为减函数,必须满足,?3??aa?3?因为是的子集,f?x???x?a?3,???所以“a?3”是“函数在区间上为减函数”:,则2个0不相邻的概率为()【答案】C【分析】解法1:把位置依次标为1,2,3,4,5,,再排4个1,有1种排法,2个0不相邻排法是先排4个1,再从5个空中选2个空插入2个0,然后利用古典概型的概率求解;解法2:先排4个1,再从5个空中选2个空插入2个0,总排法为2个0相邻和不相邻,然后利用古典概型的概率求解.【详解】解法1:把位置依次标为1,2,3,4,5,:先排2个0,有C2?15种排法,再排4个1,有1种排法,:先排4个1,有1种排法,其间有5个空,选2个空插入2个0,2个0不相邻的排法102有C2?10种,∴2个0不相邻的概率为?,5153故选::先排4个1,有1种排法,其间有5个空,,则将其视为“一个元素”,有C1?5种排法;若2个0不相邻,则有C2?10种排法,55102∴2个0不相邻的概率为?,5?103故选:C.??????π?????2,0,b?1,3,向量a?b与a?kb的夹角为,则k?()【答案】A????????????【分析】利用向量的模的坐标公式求a?b,a?kb,根据数量积的坐标公式求a?b?a?kb,结合夹角公式列方程求k??????【详解】因为a?2,0,b?1,3,:..????????所以a?b?1,?3,a?kb?2?k,?3k,??所以a?b?2,????????a?b?a?kb?2?k?3k?2?2k,????π又向量a?b与a?kb的夹角为,6????????????a?b?a?kb2?2k3cosa?b,a?kb???????所以,a?b?a?kb2?21?k?k22所以2k2?5k?2?0,1所以k?2或k?,2故选:??1?a?0,b?0?的上?下焦点分别为F,F,过F的直线与双曲线的上支交于M,a2b2121N两点,若MF,MN,NF成等差数列,且MF?MF,则该双曲线的离心率为()【答案】B【分析】先根据MF,MN,NF成等差数列,并结合双曲线的定义得到MN?4a,再设MF?x,221在Rt?MNF中利用勾股定理得到x?a,进而在Rt△FMF中利用勾股定理得到2c2?5a2,从而得到双曲212线的离心率.【详解】由双曲线的定义知MF?2a?MF,NF?2a?NF,2121∴MF?NF?4a?MF?NF?4a?MN,2211∵MF?NF?2MN,∴MN?4a,22令MF?x,则NF?4a?x,11在Rt?MNF中,?MF2?MN2?NF2,∴?2a?x?2??4a?2??6a?x?2,222解得x?a,∴MF?a,MF?3a,12所以在Rt△FMF中,a2??3a?2??2c?2,12c10∴2c2?5a2,∴?.a2故选:B:..?ABCD中,M是棱AA的中点,点P在侧面ABBA内,若DP?CM11111111,则?PBC的面积的最小值是()【答案】B????【分析】建立空间直角坐标系,求得相关点的坐标,利用向量的坐标运算求得BP??0,y?1,2y?1?,进而5结合二次函数性质求得BP?,利用三角形面积公式,【详解】以点D为空间直角坐标系的原点,分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴,1建立空间直角坐标系,?????P?1,y,z?,0?y,z?1D?0,0,1?DP??1,y,z?1?则点,,??????1??1?因为C?0,1,0?,M1,0,,所以CM?1,?1,,?????2??2???????????1因为DP?CM,所以1?y??z?1??0,所以z?2y?:..????因为B?1,1,0?,所以BP??0,y?1,2y?1?,所以BP??y?1?2??2y?1?2?5y2?6y?2,因为0?y?1,35所以当y?时,BP?.5min5因为正方体中,BC?平面ABBA,BP?平面ABBA,故BC?BP,1111155所以?S???1??,△PBCmin2510故选:???x?ee?mcosx在0,??上单调递增,则实数m的取值范围为()?2?2??e??1?A.???,0?B.??,C.???,1?D.??,?????2??2?【答案】Df??x??0?0,???g?x??f??x?g?0??0【分析】根据题意可得在上恒成立,构建,?xx?????【详解】因为f?x?eemcosx,则f?x??e2?e2??msinx,?2?2?2??1?xx????????由题意可得fx??e2?e2??msinx?0在0,?上恒成立,2??1?xx??????g??x?ee?mcosx构建gx?fx,则??2?2??,4??11注意到g?0??0,则g??0???m?0,解得m?,2211?xx?1xx1m??????若,则gx??e2?e2??mcosx??2e2?e2?mcosx??mcosx,24??42xxx?0当且仅当?,即时,等号成立,e2?e21若0?m?,因为cosx?1,则?mcosx??m,211可得g??x???mcosx??m?0;22若m?0,因为cosx??1,则?mcosx??m,11可得g??x???mcosx??m?0;221综上所述:当m?时,g??x??0在?0,???上恒成立,2则g?x?在?0,???上单调递增,可得g?x??g?0??0,符合题意;?1?故实数m的取值范围为???,.??2?:..故选:D.【点睛】方法定睛:两招破解不等式的恒成立问题(1)分离参数法第一步:将原不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的最值;第三步:根据要求得所求范围.(2)函数思想法第一步:将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题;第二步:利用导数求该函数的极值;第三步:、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,,部分选对的得2分,有选错的得0分。=f(x)的图象上存在不同的两点,使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t,则称函数y=f(x)为“t型函数”,下列函数中为“2型函数”的有()=x﹣=x+==x+cosx【答案】CD【分析】首先求函数的导数,结合“t型函数”的定义,判断是否得到相应的点,即得答案.【详解】对于A,函数的导数y′=1﹣3x2,由1﹣3x2+1﹣3x2=2,12得3x2+3x2=0,得x=x=0,故A不是“2型函数”;1212对于B,y=x+ex的导数为y′=1+ex,可得函数图象上在这两点处的切线的斜率之和大于2,故B不是“2型函数”;对于C,y′=cosx,由cosx+cosx=2,得cosx=cosx=1,可取x=0,x=2π,故C是“2型函数”;121212对于D,y=x+cosx的导数为y′=1﹣sinx,若1﹣sinx+1﹣sinx=2,即sinx=﹣sinx,1212此时有无数多个解,故D是“2型函数”.故CD是“2函数”.故选:CD.【点睛】关键点点睛:本小题主要考查对于新定义的概念的理解,考查函数导数的求解公式,.对于新定义题目的求解,主要通过理解新定义中蕴含的新的数学知识,本题中需要切线的斜率之和等于2,故将题目所给函数求导后,(0,2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是()??5?A.(0,)B.(,)4445???5?C.(,2π)D.(,)∪(π,)4424【答案】AC【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象,用图像法解.:..【详解】?5?在同一平面直角坐标系中画出y=sinx和y=cosx的图象,在(0,2π)上,当cosx=sinx时,x=或x=44?5?,结合图象可知满足cosx>sinx的是(0,)和(,2π).44故选:AC.【点睛】方法点睛:解不等式的常见类型:(1)一元二次不等式用因式分解法或图像法;(2)指对数型不等式化为同底的结构,利用单调性解不等式;(3)解抽象函数型不等式利用函数的单调性;(4)三角函数型不等式用图像法.?2??1?f?x?f??x?fx?f2x?,若??为奇函数,??的图象关于y?3??3?轴对称,则下列结论中一定正确的是()?2??2??2??1???0??f???0??f?????0?????????3??3??3??3?【答案】ABD241【分析】根据f(x?)为奇函数可得f(?x)??f(x?),根据f(2x?)的图象关于y轴对称可得333242f(x)?f(?x?),两个等式两边同时取导数,可得f?(?x)?f?(x?)、f?(x)??f?(?x?),对x赋值,【详解】因为f(x?)为奇函数,定义域为R,所以f(?x?)??f(x?),3334故f(?x)??f(x?),344等式两边同时取导数,得?f?(?x)??f?(x?),即f?(?x)?f?(x?)①,33111因为f(2x?)的图象关于y轴对称,则f(2x?)?f(?2x?),故3332f(x)?f(?x?),3:..2等式两边同时取导数,得f?(x)??f?(?x?)②.342222由f(?x)??f(x?),令x??,得f()??f(),解得f()?0,3333322由f(x)?f(?x?),令x?0,得f(0)?f(?),332由②,令x?0,得f?(0)??f?(?),31111令x=-,得f?(?)??f?(?),解得f?(?)?0,3333故选:ABD.?????,且nS?(n?1)S?(n?1)n(n?1)n?2,n?N,若S??50,则下列结nnnn?11论正确的有()??4时,?0时,?5时,n取得最小值an【答案】ABD??SS【分析】对于A,由nS?(n?1)S?(n?1)n?(n?1)n?2,n?N?变形求得n?n?1?n?1,利用累加法nn?1n?1nn3?51n?503n2?3n?50Saa?a?求得?,进而求得?,求出,即可判断;对于B,判断的单调性,n2n25n即可判断;对于C,判断?S?单调递增,并计算S,S的值,即可判断;对于D,根据a,S的值的正负n78nnS以及单调性,判断n的值正负以及单调性,??SS??【详解】由nS?(n?1)S?(n?1)n?(n?1)n?2,n?N?得n?n?1?n?1n?2,n?N?,nn?1n?1nSSSSSS∴2?1?1,3?2?2,???,n?n?1?n?1,3243n?1nSSn(n?1)n?1?1?2???(n?1)?累加得,,n?1222Sn351n50?n2,nN??故?????,当n?1时,S??50满足上式,n1n3?51n?50∴S?,n23n2?3n?50当n?2时,a?S?S?,∴a?5?0,故选项A正确;nnn?12511由于函数y?3x2?2x?50,其图象对称轴为x?,当x?时函数递增,33:..3n2?3n?50故当n?2时,a?单调递增,又a?S??50,a?S?S??22,n211221∴?a?单调递增,且a?a?a?a?0?a?a???????,n123456n?4?S?n?5?S?S?S∴当时,单调递减,当时,单调递增,且,nn45∴当n?4时,S取得最小值,故选项B正确;n73?51?7?5083?51?8?50当n?5时,?S?单调递增,又S???32?0,S??27?0,n7282∴当S?0时,n的最小值为8,故选项C错误;nSSS当n?1,2,3,4时,n?0;当n?5,6,7时,n?0;当n?8时,n?0,aaannnS∴当n?5,6,7时,考虑n的最小值,an1又当n?5,6,7时,恒为正且单调递减,S恒为负且单调递增,annSS∴n单调递增,∴当n?5时,n取得最小值,故选项D正确,aann故选:、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。?2?3i和复数1?i在复平面上分别对应点A和点B,则A、B两点间的距离是______.【答案】5【分析】根据复数对应的点,??2,3??1,?1?,【详解】复数?2?3i对应点,复数1?i对应点则AB???2?1?2??3?1?2?9?16?:《周易》用“卦”“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,,则该重卦可以有___________种.(用数字作答)【答案】20【分析】只需从6个位置中选取3个位置放置阳爻,则问题得解.【详解】根据题意,每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,假设有6个位置,在其中任选3个,安排3个“阴爻”,有C3?20种情况,6即该重卦可以有20种情况,故答案为:20.:..????????1?8?15.?ABC的外心为O,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,AO?BC?a?a?c?,b??5??ABC面积的最大值为____________.【答案】128【分析】由平面向量的数量积结合已知可得a2?c2?b2?ac,,再由余弦定理求得cosB,进而求得sinB,5由余弦定理及基本不等式求得ac的最大值,则?ABC面积的最大值可求.【详解】设BC的中点为M,如图所示,??ABC的外心为O,??????????则OM?BC,OM?BC?0,?????????????????????????????????????????AO?BC?AO?BC?OM?BC?AO?OM?BC?????????????????????????1????1???AM?BC?AB?AC?AC?AB?b2?c222????????1?8??AO?BC?aa?c??2?5?1??1?8?8?b2?c2?aa?c,整理得a2?c2?b2?ac,??22?5?5a2?c2?b243?cosB??,则sinB?,2ac55882又b?4,?16?b2?a2?c2?ac?2ac?ac?ac,555当且仅当a?c?210,?ac?40,?S?acsinB?::①设A、B为两个定点,k为非零常数,若PA?PB?k,则动点P的轨迹为双曲线;????????????11②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若OP?OA?OB,则动点P的轨迹为椭圆;22?1?③抛物线x?ay2?a?0?的焦点坐标是,0;???4a?:..x2y2x2y2④曲线??1与曲线??1(??35且??10)??10??其中真命题的序号为______写出所有真命题的序号.【答案】③④【分析】根据双曲线的定义判断①,根据相关点法求轨迹方程判断②,根据抛物线焦点的求法判断③,根据椭圆、双曲线的几何性质判断④.【详解】①,当k?AB时,P点的轨迹不存在,所以①错误.????????????11??②,设A?x,y?,P?x,y?,由于OP?OA?OB,所以,是线段AB的中点,所以B2x?x,2y?y,P002200设圆O的方程为?x?a?2??y?b?2?r2,将的坐标代入圆O的方程得?2x?x?a?2??2y?y?b?2?r2,B00?x?a?2?y?b?2?r?2整理得?x?0???y?0????,这不是椭圆方程,所以②错误.?2??2??2?1?1?③,由x?ay2?a?0?得y2?x,所以抛物线焦点坐标为,0,③正确.??a?4a?x2y2x2y2④,??1表示双曲线,其焦点在x轴上,且c?16?9????35时,??1可化16935??10??x2y2为??1,表示双曲线,其焦点在x轴上,且c?35??????10????10时,35????10x2y2??1表示椭圆,其焦点在x轴上,且c?35????10????④??10??故答案为:③④四、解答题:本题共6小题,共70分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤?1???,点P,cos2?在角?的终边上,点Qsin2?,?1在角?的终边上,且???2?????????1OP?OQ??.2(1)求cos2?的值;(2)求sin(???)【答案】(1)310(2)?10【分析】(1)利用向量数量积的坐标表示结合余弦的二倍角公式即可求解;(2)利用三角函数的定义和正弦的两角和公式求解即可.?????????1???【详解】(1)由题意可知OP?,cos2?,OQ?sin2?,?1,???2?:..????????11所以OP?OQ?sin2??cos2???,22又因为sin2??cos2??1,1??12所以1?cos2??cos2???,解得cos2??,2231所以cos2??2cos2??1?.321(2)由(1)可知cos2??,sin2??,33?12??1?所以P?,?,Q?,?1?,?23??3?213423sin???cos???所以由三角函数的定义可得5,5,?1?2?2?2?1?2?2?2???????????2??3??2??3?1?1310sin????310cos???1210,,????21210????1??2???1??3????3?4103?310?10所以sin??????sin?cos??cos?sin??????????.5105?10?10??{a}是递增的等比数列,且a?a?12,a?a?(1)求数列{a}的通项公式;na(2)设S为数列{a}的前n项和,b=n?1,求数列{b}?1【答案】(1)a?3n?1n3n?1?3(2)T=n3n?1?1【分析】(1)设该等比数列的公比为q,由等比数列通项公式结合{a}是递增的等比数列可得通项公式;3n?111(2)由(1)可得S?,后可得b??,?1【详解】(1)根据题意,设该等比数列的公比为q,若a?a?12,a?a?27,2314?aq?aq2?12?aq?3?aq?91则有?11??1或?1?q?3或q?.a2q3?27aq2?9aq2?33???111又由数列{a}是递增的等比数列,则q?3,则有a?1,1则数列{a}的通项公式a?aqn?1?3n?1;n1:..?n?a1?q3n?1(2)由(1)可得a?3n?1,则1,S??nn1?q2aS?S11则b?n?1?n?1n??,nSSSSSSnn?1nn?1nn?1111111则T?b?b???b?????????n12nSSSSSS1223nn?11123n?1?3??1??SS3n?1?13n?1?11n?,在四棱锥P?ABCD中,AB?CD且2AB?CD,其中?PAD为等腰直角三角形,ππAP?4,?PDA?,?PAB?,且平面PAB?平面PAD,DB?(1)求AB的长;3(2)若平面PAC与平面ACD夹角的余弦值是,【答案】(1)28(2)23【分析】(1)根据题目中的垂直条件结合平面与平面垂直的性质定理以及直线与平面垂直的判定定理把AB放到一个直角三角形中,从而可求长度.(2)建立空间直角坐标系,求出平面PAC与平面ACD的法向量,利用求平面与平面夹角的方法列式即可求解.【详解】(1)取AP的中点O,则OD?AP,?PAB?PADPAB?PAD?AP,OD?PAD又平面平面,平面平面平面,?DO?平面APB,?AB?平面APB,?DO?AB,?DB?BA,DO?DB?D,DO,DB?平面DOB,?AB?平面DOB,?BO?平面DOB,?AB?BO,π2又?PAB?,?AB?AO?(2)在平面APB内过O作AP的垂线OM:..?????????????以O为坐标原点,OP,OM,OD正方向为x,y,z轴,可建立如图所示空间直角坐标系,A??2,0,0?,B??1,1,0?,D?0,0,2?,P?2,0,0?则,????????AB??1,1,0?,AD??2,0,2?,?设平面DAB的法向量为n??a,b,c?,??????AB?n?a?b?0??????????,取n??1,1,1.????AD?n?2a?2c?0????????????????????????设DC?tAB(t?2),?DC??t,t,0?,?AC?AD?DC??t?2,t,2?,?????设平面ACP的法向量为m??x,y,z?,AP??4,0,0?,??????AC?m??t?2?x?ty?2z?0????????,?m??0,2,?t?,????AP?m?4x?0?3平面PAC与平面ACD夹角的余弦值是,15??3??m?n2?t??cosm,n????,15mn3?t2?4?6t2?25t?24?0,??3t?8??2t?3??0,83?t?或t?(舍),328?CD???:(x?2)2?y2?16,F2,0,T是圆E上任意一点,线段FT的垂直平分线与半径ET相交于点Q,当点T运动时,点Q的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;?24?A?2,0?CH?,ylC(2)过点的直线与曲线相交于点??,与轴相交于点S,过点S的另一条直线与相交?33?3于M,N两点,且△ASM的面积是△HSN面积的倍,【答案】(1)??142:..14(2)y??x?114【分析】(1)根据题意和椭圆的定义即可求解;(2)首先求出直线AH的方程,以及S点的坐标,讨论直线l的斜率存在与否,当斜率存在时,设直线l?????4k?2的方程为y?kx?1,Mx,y,Nx,y,联立解方程组求出x?x?,xx?,根据△ASM的面1122121?2k2121?2k23积是△HSN面积的倍,化简可以得到x??2x,进一步求出斜率,【详解】(1)因为点Q为线段FT的垂直平分线与半径ET的交点,所以QT?QF,所以QE?QF?QE?QT?ET?4?22?EF,所以点Q的轨迹是以E,F为焦点,长轴长为4的椭圆,在椭圆中a?2,c?2,b?2,x2y2所以曲线C的方程为??(2)由已知得k??,所以直线AH的方程为y???x?2?,所以S点的坐标为?0,1?.AH222?12?1当直线l的斜率不存在时,S?2?1,S?,或S?2?1,S?都与已知不△ASM△HSN3△ASM△HSN3符;当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y?kx?1,M?x,y?,N?x,y?,1122?x2y2???1,??由?42得1?2k2x2?4kx?2?0,?y?kx?1,??4k?2易知??0,则x?x?,xx?,121?2k2121?2k211S?AS?MSsin?ASM,S?HS?NSsin?HSN,△ASM2△HSN23由△ASM的面积是△HSN面积的倍可得2S?3S,2△ASM△HSNASNS化简得2AS?MS?3HS?NS,即2?3,HSMSASxNSx又?A?3,所以?2,即2?2,也就是x??2x,HS?xMS?x21H1?4k4k?8k?32k2?2?x?,x?,x?,xx??所以12122212??22,1?2k1?2k1?2k1?2k21?2k1解得k2?,1414所以直线l的方程为y??x?:..?x??x?,g?x???x2?mx?2?m?R?.x(1)求函数f?x?的极值;9????(2)证明:当m?时,fx?gx在?0,???【答案】(1)极小值为1,无极大值(2)证明见解析x2?1?lnx1【分析】(1)求得f??x??,令h?x??x2?1?lnx,x?0,求得h??x??2x??0,结合h?1??0x2x,得到函数f?x?的单调性,进而求得极值;lnx9(2)由f?x??g?x??x??x2?mx?2,根据题意,由m?且x?0,放缩得到x4lnx913??f?x??g?x??x??x2?x?2,令??x??x3?x2?2x?lnx,x?0,求得??x,得出函数??x?单调x44??x??0f?x??g?x??0性,结合单调性求得,得出,【详解】(1)解:由函数f?x??x?,可得f?x?定义域为?0,???,x1?lnxx2?1?lnx且f??x??1??,x2x21令h?x??x2?1?lnx,x?0,可得h??x??2x??0,所以h?x?单调递增,x又因为h?1??0,所以当x??0,1?时,h?x??0,可得f??x??0,f?x?单调递减;x??1,???h?x??0f￠(x)>0f?x?当时,,可得,单调递增,所以当x?1时,函数f?x?取得极小值,极小值为f?1??1,(2)解:由f?x??g?x??x??x2?mx?2,x9因为m?且x?0,413x3?x2?2x?ln