汕头市2024年高三下学期期末六校联考数学试题.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..汕头市2024年高三下学期期末六校联考数学试题考生须知:,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。“答题纸”上先填写姓名和准考证号。,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。?和直线a,b,则下列命题正确的是()∥b,b∥?,则a∥?,b??,则a∥?a?∥b,b??,则a??,b∥?,则a??a??定义域和单调性都相同的函数是()x?1????logD.??2y?x42?2?(1??x)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,(1??x)n?a?ax?ax2??axn,012n若a?a????a?242,则a?a?a?????(?1)na的值为().-.-??1的一条渐近线为y??2x,且一个焦点与抛物线x2?4y的焦点相同,则此双曲线的方程为ab()?5y2??x2??5x2??y2?14444x2y2???1渐近线上一点,F,F是双曲线的左、右焦点,?FPF?,记PF,PO,PF的a2b21212212斜率为k,k,k,若k,-2k,k成等差数列,则此双曲线的离心率为()={y|y=,x>0},N={x|y=lg(2x-)},则M∩N为()A.(1,+∞)B.(1,2)C.[2,+∞)D.[1,+∞):..?x?y?2,?,y满足不等式组?3x?y?6,则3x?y的最小值等于()??x?y?0,?1?f?x???lnx?x?h,eacf?a?fbf?c?,在区间??上任取三个实数,b,均存在以,,为边长的?e?三角形,则实数h的取值范围是()?1??1??1??1,?1?1,e?3?1,???e?3,???A.??B.??C.??D.?e??e??e?2?2,t??4y在点处的切线方程为()?x??2x???x???2x?●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,,则输出的梅森素数的个数是()?3iz?(m?1)??2?m?i(m?R)?,则()??,F是双曲线??1?a?0,b?0?的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P,使OP?OF?FP?012a2b222(O为坐标原点),且PF?3PF,则双曲线的离心率为()122?13???122:..二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。a0?{a}的前n项和为S,且对任意正整数n,都有011?0,则a?___nn11??x?alnx?1对于任意x?(1,??)恒成立,,则输出的S的值是______.?,b的夹角为,且b?1,2a?b?3,则a?、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知O为坐标原点,点F(?2,0),F(2,0),S(32,0),动点N满足NF?NS?43,点P121为线段NF的中点,抛物线C:x2?2my(m?0)上点A的纵坐标为6,OA?OS?(1)求动点P的轨迹曲线W的标准方程及抛物线C的标准方程;11(2)若抛物线C的准线上一点Q满足OP?OQ,试判断?是否为定值,若是,求这个定值;若不是,|OP|2|OQ|.(12分)如图所示,四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E为AB的中点,底面四边形ABCD满足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.:..(Ⅰ)求证:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣.(12分)如图,四棱锥P?ABCD中,四边形ABCD是矩形,AB?3,AD?2,△PAD为正三角形,且平面PAD?平面ABCD,E、F分别为PC、PB的中点.(1)证明:EF//平面PAD;(2)?C20.(12分)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且8cos2?2cos2A?32(1)求A;(2)若a?2,且ABC面积的最大值为3,.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;(ii)若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;(iii)若有2位或3位行家认为质量不过关,,(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D级不能外销,:..利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件;②记1件手工艺品的利润为X元,.(10分)已知不等式x?1?x?x?1?m?1对于任意的x?R恒成立.(1)求实数m的取值范围;11(2)若m的最大值为M,且正实数a,b,c满足a?2b?3c???2??bb?2c参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。【解题分析】根据线面的位置关系,结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.【题目详解】A:当a??时,也可以满足a∥b,b∥?,故本命题不正确;B:当a??时,也可以满足,b??,故本命题不正确;a?bC:根据平行线的性质可知:当a∥b,b??,时,能得到a??,故本命题是正确的;D:当a??时,也可以满足,b∥?,?b故选:C【题目点拨】本题考查了线面的位置关系,考查了平行线的性质,【解题分析】1分析函数y?的定义域和单调性,然后对选项逐一分析函数的定义域、单调性,【题目详解】:..1y??0,????0,???函数的定义域为,?0,????0,???A选项,y?22的定义域为,在上为增函数,??B选项,y?log??的定义域为R,?2?1y?log?0,????0,???C选项,的定义域为,在上为减函数,??D选项,的定义域为0,??,?x4故选:C【题目点拨】本小题主要考查函数的定义域和单调性,【解题分析】根据二项式系数的性质,可求得n,【题目详解】因为(1??x)n展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等,故可得n?5,令x?0,故可得1?a,0又因为a?a??a?242,125x?1?1???5?a?a?a??a?243令,则,0125解得??2x??1?1?2?5?a?a?a????1?5a??1令,:B.【题目点拨】本题考查二项式系数的性质,以及通过赋值法求系数之和,【解题分析】:..y2x2b求得抛物线的焦点坐标,可得双曲线方程??1的渐近线方程为y??x,由题意可得b??4a,又c2?1,b?a?a即b?a?1,解得a,b,即可得到所求双曲线的方程.【题目详解】解:抛物线x2?4y的焦点为0,1x2y2可得双曲线??1?b?0,a?0?aby2x2b即为??1的渐近线方程为y??xb?a?ab由题意可得?2,即b??4a?a又c2?1,即b?a?114解得a??,b?.555y2即双曲线的方程为?5x2?:C【题目点拨】本题主要考查了求双曲线的方程,【解题分析】求得双曲线的一条渐近线方程,设出P的坐标,由题意求得P(a,b),运用直线的斜率公式可得k,k,k,再由等12差数列中项性质和离心率公式,计算可得所求值.【题目详解】x2y2b设双曲线??1的一条渐近线方程为y?x,a2b2ab?且P(m,m),由?FPF?,可得以O为圆心,c为半径的圆与渐近线交于P,a122b可得m2?(m)2?c2,可取m?a,则P(a,b),abbb设F(?c,0),F(c,0),则k?,k?,k?,121a?c2a?ca:..由k,?2k,k成等差数列,可得?4k?k?k,121242a3化为??,即c2?a2,aa2?c22c6可得e,a2故选:B.【题目点拨】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率,考查方程思想和运算能力,【解题分析】,,∴.【解题分析】首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求z的最小值.【题目详解】?x?y?2?解:作出实数x,y满足不等式组?3x?y?6表示的平面区域(如图示:阴影部分)??x?y?0?x?y?2?0由?得A(1,1),?x?y?0由z?3x?y得y??3x?z,平移y??3x,Ay易知过点时直线在上截距最小,所以z?3?1?1?:A.:..【题目点拨】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,【解题分析】?1?f?x?,eh利用导数求得在区间??上的最大值和最小,根据三角形两边的和大于第三边列不等式,由此求得的取值?e?范围.【题目详解】1x?1f?x??0,???f'?x????1?的定义域为,,xx?1?f?x?,1?1,e?f?x?x?1f?1???ln1?1?h?1?h所以在??上递减,在上递增,在处取得极小值也即是最小值,,?e??1?111?1?f??ln??h??1?hf?e???lne?e?h?e?1?hf?f?e???,,??,?e?eee?e??1?f?x?,ef?e??e?1?h所以在区间??上的最大值为.?e??1?,eabcf?a?fbf?c?要使在区间??上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,?e?f?a??f?b??f?c?f?1??0则需恒成立,且,?f?a??f?b???f?c?a?b?1c?e2f?1??f?e?也即??,也即当、时,成立,minmax2?1?h??e?1?hf?1??0h?e?3h?e?3,???即,且,:D【题目点拨】:..本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题的求解,【解题分析】将点代入解析式确定参数值,结合导数的几何意义求得切线斜率,即可由点斜式求的切线方程.【题目详解】1曲线x2?4y,即y?x2,412x?2t??2?1?2,1?当时,代入可得,所以切点坐标为,41求得导函数可得y??x,21由导数几何意义可知k?y???2?1,2由点斜式可得切线方程为y?1?x?2,即y?x?1,故选:A.【题目点拨】本题考查了导数的几何意义,在曲线上一点的切线方程求法,【解题分析】模拟程序的运行即可求出答案.【题目详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选:C.【题目点拨】本题主要考查程序框图,属于基础题.:..【解题分析】6?3i先由已知,求出m??1,进一步可得?1?2i,再利用复数模的运算即可z【题目详解】由z是纯虚数,得m?1?0且2?m?0,所以m??1,z??3i6?3i因此,??1?2i?:C.【题目点拨】本题考查复数的除法、复数模的运算,考查学生的运算能力,【解题分析】利用向量运算可得2OA?FP?0,即OA?FP,由OA为?PFF的中位线,得到PF?PF,所以221212PF2?PF2??2c?2,【题目详解】??取PF的中点A,则由OP?OF?FP?0得2OA?FP?0,2222即OA?FP;2在?PFF中,OA为?PFF的中位线,1212所以PF?PF,12PF2?PF2??2c?2所以;12??由双曲线定义知PF?PF?2a,且PF?3PF,所以3?1c?2a,1212解得e?3?1,故选:D【题目点拨】本题综合考查向量运算与双曲线的相关性质,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.?1:..【解题分析】利用行列式定义,得到a与S的关系,赋值n?1,即可求出结果。nn【题目详解】a0?1n1101由011?a??a(S?2n)?1?0,令n?1,n?2nS1?2nnn1?2nSnn得a(a?2)?1?0,解得a??1。111【题目点拨】本题主要考查行列式定义的应用。???,?3?14.【解题分析】exex?3lnx?x?1先将不等式?x?alnx?1对于任意x?(1,??)恒成立,转化为a任意x?(1,??)恒成立,设x3lnxex?3lnx?x?1f?x??f?x??1,???a,求出在内的最小值,【题目详解】ex解:由题可知,不等式?x?alnx?1对于任意x?(1,??)恒成立,x3ex?x?1即3x?3ex?x?1e?3lnxex?x?1ex?3lnx?x?1,xa???lnxlnxlnxlnx又因为x?(1,??),lnx?0,ex?3lnx?x?1?a对任意x?(1,??)恒成立,lnxex?3lnx?x?1f?x??x??1,???设,其中,lnx由不等式ex?x?1,可得:ex?3lnx?x?3lnx?1,ex?3lnx?x?1x?3lnx?1?x?1则f?x?????3,lnxlnx当x?3lnx?0时等号成立,:..又因为x?3lnx?0在?1,???内有解,?f?x???3,mina?f?x???3a??3则,即:,mina???,?3?所以实数的取值范围:.???,?3?故答案为:.【题目点拨】本题考查不等式恒成立问题,利用分离参数法和构造函数,通过求新函数的最值求出参数范围,【解题分析】根据流程图,运行程序即得.【题目详解】第一次运行S?15,k?1;第二次运行S?15,k?2;15第三次运行S?,k?3;255第四次运行S??3;:2【题目点拨】本题考查算法流程图,【解题分析】由已知条件得出4a2?4|a|?|b|?cos?a,b??b2?3,可得2|a|2?|a|?1?0,解之可得答案.【题目详解】?向量a,b的夹角为,且|2a?b|?3,|b|?1,可得:4a2?4|a|?|b|?cos?a,b??b2?3,3可得2|a|2?|a|?1?0,解得|a|?1,:..故答案为:1.【题目点拨】本题考查根据向量的数量积运算求向量的模,关键在于将所求的向量的模平方,利用向量的数量积化简求解即可,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。x217.(1)曲线W的标准方程为?y2??26y.(2)见解析3【解题分析】NS?NF(1)由题知|PF|+|PF|?1?23>|FF|,判断动点P的轨迹W是椭圆,写出椭圆的标准方程,根据平面12122向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程;(2)设出点P的坐标,再表示出点N和Q的坐标,根11据题意求出?的值,即可判断结果是否成立.|OP|2|OQ|2【题目详解】NSNF(1)由题知PF?,PF?1,2212NF?NF所以PF?PF?12?23?FF,12212因此动点P的轨迹W是以F,F为焦点的椭圆,12又知2a?23,2c?22,x2所以曲线W的标准方程为?y2???又由题知Ax,6,A????所以OA?OS?x,6?32,0?32x?66,AA所以x?23,A??又因为点A23,6在抛物线C上,所以m?6,所以抛物线C的标准方程为x2?26y.:..?6?P?x,y?Qx,?(2)设,??,PP?Q?2??6y6yOP?OQPx?P?x?0?由题知,所以xx??0,即,pQ2Q2xPP1111???3?2x2|OP|2|OQ|2x2?y23y23?P所以??,PPP?3x2?y22x22PPPx2x2又因为P?y2?1,y2?1?P,3PP33?2x23?2x2P?P?1?22??2?所以3x?yx,PP3x2?1?P??P3??11所以?为定值,且定值为1.|OP|2|OQ|2【题目点拨】本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题,考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换,也考查了推理与运算能力,.(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.317【解题分析】(Ⅰ)由题知DE?PC,如图以点C为原点,直线CD、CB、CP分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,计算DE?AC?0,证明DE?AC,从而DE?平面PAC,即可得证;(Ⅱ)求解平面PDE的一个法向量n,计算cosn,CP,即可得直线PC与平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求解平面PBE的一个法向量m,计算cosm,n,即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值.【题目详解】(Ⅰ)PC⊥底面ABCD,?DE?PC,:..如图以点C为原点,直线CD、CB、CP分别为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,C?0,0,0?,D?2,0,0?,B?0,3,0?,P?0,0,2?,A?2,1,0?,E?1,2,0?则,?DE???1,2,0?,AC???2,?1,0?,?DE?AC?0,?DE?AC,又CPCA?C,?DE?平面PAC,DE?平面PDE,?平面PDE⊥平面PAC;n??x,y,z?PDE(Ⅱ)设为平面的一个法向量,111PE??1,2,?2?,DE???1,2,0?,CP??0,0,2?又,????n?DE??x?2y?011y?1n??2,1,2?则?,取,得n?PE?x?2y?2z?01????111n?CP2cosn,CP??,n?CP32?直线PC与平面PDE所成角的正弦值;3m??x,y,z?PBE(Ⅲ)设为平面的一个法向量,222PB??0,3,?2?,EB???1,1,0?,又????m?PB?3y?2z?022y?2m??2,2,3?则?,取,得,n?EB??x?y?02????22n?m417?cosm,n??,n?m17417?二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.17【题目点拨】:..本题主要考查了平面与平面的垂直,直线与平面所成角的计算,二面角大小的求解,考查了空间向量在立体几何中的应用,.(1)见解析;(2)4【解题分析】(1)由题可知,根据三角形的中位线的性质,得出EF//BC,根据矩形的性质得出AD//BC,所以EF//AD,再利用线面平行的判定定理即可证出EF//平面PAD;(2)由于平面PAD?平面ABCD,根据面面垂直的性质,得出PO?平面ABCD,从而得出E到平面ABCD的距3离为,结合棱锥的体积公式,【题目详解】解:(1)∵E,F分别为PC,PB的中点,∴EF//BC,∵四边形ABCD是矩形,∴AD//BC,∴EF//AD,∵AD?平面PAD,EF?平面PAD,∴EF//平面PAD.(2)取AD,BC的中点O,M,连接PO,OE,OM,ME,则PO?AD,由于ABF?OME为三棱柱,E?OMCD为四棱锥,∵平面PAD?平面ABCD,∴PO?平面ABCD,由已知可求得PO?3,13∴E到平面ABCD的距离为h?PO?,22因为四边形ABCD是矩形,AB?3,AD?2,1?S=S??3?2?3,四边形ABMO四边形OMCD2设几何体ABCDEF的体积为V,则V?V?V,三棱柱ABF?OME四棱锥E?OMCD11∴V?S?h?S?h,2四边形ABMO3四边形OMCD13135即:V??3???3??.22324:..【题目点拨】本题考查线面平行的判定、面面垂直的性质和棱锥的体积公式,考查逻辑推理和计算能力.?20.(1)A?(2)(4,6]3【解题分析】B?C(1)利用二倍角公式及三角形内角和定理,将8cos2?2cos2A?3化简为4cos2A?4cosA?3?0,求出2cosA的值,结合A?(0,?),求出A的值;?(2)写出三角形的面积公式,,结合a?2,A?,求出b?c的范围,注3意b?c?a?.【题目详解】B?C解:(1)8cos2?2cos2A?32?4(1?cos(B?C))?2cos2A?3整理得4cos2A?4cosA?3?013解得cosA?或cosA??(舍去)22又A?(0,?)??A?;313(2)由题意知S?bcsinA?bc?3?ABC24?bc4,又b2?c2?a2?osA,a?2,?b2?c2?4?bc,?(b?c)2?4?3bc16又b?c?2:..?2?b?c?4?4?a?b?c6?ABC周长的取值范围是(4,6]【题目点拨】本题考查了二倍角余弦公式,三角形面积公式,余弦定理的应用,.(1);(2)①可能是2件;②详见解析81【解题分析】(1)由一件手工艺品质量为B级的情形,并结合相互独立事件的概率公式,列式计算即可;(2)①先求得一件手工77艺品质量为D级的概率为,设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是?件,可知?~B(10,),分别令2727P(??k?1)P(??k?1)P(??k?1)?1、?1、?1,可求出使得P(??k)最大的整数k,进而可求出10件手工艺品中P(??k)P(??k)P(??k)不能外销的手工艺品的最有可能件数;②分别求出一件手工艺品质量为A、B、C、D级的概率,进而可列出X的分布列,求出期望即可.【题目详解】11116(1)一件手工艺品质量为B级的概率为C1??(1?)2?(1?)2?.3333811117(2)①由题意可得一件手工艺品质量为D级的概率为C2?()2?(1?)?C3?()3?,33333277设10件手工艺品中不能外销的手工艺品可能是?件,则?~B(10,),27720则P(??k)?Ck()k()10?k,其中k?0,1,2,,10,102727720Ck?1()k?1()9?kP(??k?1)10272770?7k??.P(??k)72020k?20Ck()k()10?k10272770?7k50由?1得k?,整数k不存在,20k?202770?7k50由?1得k?,所以当k?1时,P(??k?1)?P(??k),即P(??2)?P(??1)?P(??0),20k?202770?7k50由?1得k?,所以当k?2时,P(??k?1)?P(??k),20k?2027所以当k?2时,P(??k)最大,②由题意可知,一件手工艺品质量为A级的概率为(1?)3?,一件手工艺品质量为B级的概率为,327811111120一件手工艺品质量为C级的概率为C1??(1?)2?[C1??(1?)?()2]?,333233381:..7一件手工艺品质量为D级的概率为,27所以X的分布列为:X900600300100816207P2781812781620713100则期望为E(X)?900??600??300??100??.2781812727【题目点拨】本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量的分布列及数学期望,考查学生的计算求解能力,属于中档题.??3,1?22.(1)(2)证明见解析【解题分析】x?1?x?1??x?1???x?1??2x?0m?1?2(1)法一:,,得x?1?x?x?1?2,则,由此可得答案;????????法二:由题意m?1?x?1?x?x?1,令fx?x?1?x?x?1,易知fx是偶函数,且x?0,??时min为增函数,由此可得出答案;(2)由(1)知,M?1,即a?2b?3c?1,结合“1”的代换,利用基本不等式即可证明结论.【题目详解】x?1?x?1??x?1???x?1??2解:(1)法一:(当且仅当?1?x?1时取等号),又x?0(当且仅当x?0时取等号),所以x?1?x?x?1?2(当且仅当x?0时取等号),由題意得m?1?2,则?2?m?1?2,解得?3?m?1,m??3,1?故的取值范围是;??法二:因为对于任意x?R恒有x?1?x?x?1?m?1成立,即m?1?x?1?x?x?1,minf?x??x?1?x?x?1f?x?x??0,???令,易知是偶函数,且时为增函数,f?x??f?0??2m?1?2?2?m?1?2?3?m?1所以,即,则,解得,minm??3,1?故的取值范围是;:..(2)由(1)知,M?1,即a?2b?3c?1,11?11????a?2b?3c???∴??2a?bb?2c?2a?bb?2c??2a?b??3?b?2c?11???????2?2a?bb?2c?1?3?b?2c?2a?b???4???2?2a?bb?2c?1??4?23??2?3,2??11故不等式??2??bb?2c【题目点拨】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题,考查基本不等式的应用,属于中档题.