数列-高考必做题(详解版).pdf

该【数列-高考必做题(详解版) 】是由【和合】上传分享，文档一共【33】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【数列-高考必做题(详解版) 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..数列-高考必做题1在等比数列中,,.(1)求数列的通项公式;(2)若,分别为等差数列的第项和第项,(1).(2).解析(1),.(2)因为,分别为等差数列的第项和第项,所以,设等差数列的公差为,解得,.,.(1)当时,.(2)当时,,.综上所述:.考点数列大海教育在线1对1第1页(共33页):..等差数列等差数列的概念和通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的概念和通项等比数列的性质2等差数列中,,.(1)求数列的通项公式.(2)记表示不超过的最大整数,如,,(1).(2).解析(1)由题设有,解得,所以.(2)当,即时,,;当,即时,,;当,即时,,;当,即时,,;(共33页)大海教育在线1对1:..3在等差数列中,为其前和,若.(1)求数列的通项公式及前和.(2)若数列中,(3)设函数为偶数,,求数列的前和(只需写出结论).答案(1),.(2).(3).解析(1)由题意可知,,得:.(2),.(3),……,,当时,,当,当,(共33页):..数列的定义及表示方法数列的递推公式数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项等差数列的性质等差数列的前n项和等比数列等比数列的前n项和推理与证明合情推理和演绎推理合情推理数学归纳法数学归纳法的应用4设等差数列的前项和为,已知,为整数,且.(1)求的通项公式.(2)设数列的前项和为,求证:.答案(1).(2)(1),为整数,可知:等差数列的公差为整数,由,∴,,则,,解得,为整数,.∴.(2).∴(共33页)大海教育在线1对1:..令,由于函数的图象关于点对称及其单调性,可知:,,∴.∴.考点数列数列的概念数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项等差数列的性质5已知数列满足,为其前项和,且.(1)求的值;(2)求证:;(3)判断数列是否为等差数列,(1).(2)证明见解析.(3)(1)由题意知:,,所以.(2)因为,,所以,,大海教育在线1对1第5页(共33页):..所以.(3):由(Ⅱ)得:.所以,(Ⅰ)知:,,,,,.(1)求证:数列是等比数列.(2)求数列的通项公式(3)设,,,使成立,(1)证明见解析.(2).(3).解析(1)∵,∴,∴数列是等比数列.(2)∵,,∴,∴是以为首项,公比为的等比数列,∴,当时,,第6页(共33页)大海教育在线1对1:..∵适合上式,∴.(3)∵,∴,∴,∵,又∵在上恒成立,所以,,若,和满足等式.(1)求的值.(2)求证:数列是等差数列.(3)若数列满足,(1)(2)证明见解析(3).解析(1)由已知:.(2)∵,∴,大海教育在线1对1第7页(共33页):..∴数列是以为首项,为公差的等差数列.(3)由(I)可得,化为,当时,.又也满足.∴数列的通项公式为,∴.∴,∴,两式相减,,公差为,数列满足,.(1)求数列与的通项公式.(2)记,求数列的前项和.(注:表示与的最大值.)答案(1)见解析.(2)(1)∵数列是以为首项,以为公差的等差数列,∴,∴.第8页(共33页)大海教育在线1对1:..(2),令,解得,∴当时,,即,∴当且时,,当且时,,,当且时,,∴,当且时,,∴.考点数列数列的概念数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项9在数列中,().(1)求的值;大海教育在线1对1第9页(共33页):..(2)设,求证:数列是等比数列;(3)设(),如果对任意,都有,(1),,(2)证明过程见解析(3)(1)由已知得,得,得,得(2)由已知得:时,时,得时,即时,(3)由(Ⅱ)可得,有最大值对任意,都有,当且仅当,即,(共33页)大海教育在线1对1:..设各项均为正数的数列的前项和为,已知数列是首项为,公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式.(2)令,若不等式对任意都成立,(1).(2).解析(1)∵数列是首项为,公差为的等差数列,∴.∴,当时,;当时,,又适合上式.∴.(2),∴.∴对任意都成立,,则,∴.∴.∴,∴(共33页):..考点数列数列的应用数列与不等式数列的概念数列的定义及表示方法等差数列等差数列的概念和通项11数列的前项和为,且满足,(为常数,).(1)若,求;(2)若数列是等比数列,求实数的值;(3)是否存在实数,使得数列满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一个等差数列?若存在,求出所有满足条件的的值;若不存在,(1).(2)(3)是唯一满足条件的的值解析(1)因为,,所以,.因为,所以,().所以数列是以为首项,.(2)若数列是等比数列,(),,数列是以为首项,.(3)当时,由()知().第12页(共33页)大海教育在线1对1:..所以,,,因为,,即,所以数列是以为首项,:当时,,从数列中可以取得满足题意的无穷等差数列,.(ⅰ)当时,().(),所以当时,,这与矛盾.(ⅱ)当时,令,,(),所以当时,,这与矛盾综上所述,(共33页):..等差数列的前n项和等比数列等比数列的概念和通项推理与证明合情推理和演绎推理直接证明和间接证明反证法12已知等差数列中,,,数列前项和为,且.(1)求数列和的通项公式;(2)设数列求的前项和;(3)把数列和的公共项从小到大排成新数列,试写出,,(1)答案见解析.(2)答案见解析.(3)(1)设数列的公差为,则由,得,,.因为,①所以.②②-①得,①得,,公比为的等比数列,所以,.(2)由题知数列的奇数项组成首项为,公差为的等差数列;数列的偶数项组成首项为,,第14页(共33页)大海教育在线1对1:..;为奇数且时,.经检验,,(3)由,,可得,.假设,,不是数列中的项;,,,,,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:数列为等差数列,并求的通项公式(3)设数列的前项和为,是否存在常数,使得不等式恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,(共33页):..答案(1).(2)证明见解析.(3),(1)当时,;当时,,.(2)因为,所以,,,所以.(3)①所以②由①-②得,,(1)当为奇数时,,所以,,的最大值为,所以只需;(2)当为偶数时,,所以,所以当时,的最小值为,所以只需;由(1)(2)可知存在,(共33页)大海教育在线1对1:..数列的递推公式等差数列等差数列的概念和通项不等式与线性规划不等式与不等关系不等式的性质14已知数列与满足,且.(1)求的值;(2)设,证明是等比数列;(3)设为的前项和,(1);.(2)证明见解析.(3)(1)由可得又,当时,,由,可得;当时,,可得.(2)对任意①②②-①,得,即,.(3),由(Ⅱ)知,当且时,大海教育在线1对1第17页(共33页):..故对任意由①得,所以因此,于是,,,对任意,.考点数列数列的概念数列的定义及表示方法数列的前n项和等比数列等比数列的概念和通项15数列满足:,,给出下述命题:①若数列满足:,则成立;②存在常数,使得成立;③若(其中,,,),则;④存在常数,.(写出所有正确结论的序号)第18页(共33页)大海教育在线1对1:..答案①④解析由得:,∴,①正确;令,此时单调递减且无下界,②错误;令,,,,此时恒有,③错误;设,则,累加得,即,④,点为坐标原点,点,,向量,是向量与的夹角,设为数列的前项和,∵由已知可得,即,又∵向量,∴,由平方关系可知,,∴,∴(共33页):..数量积数列数列的概念数列的前n项和17如图所示,,点在上,点在上,其中的每一个实线段和虚线段的长均为个长度单位,一个动点从点出发,沿着实线段和以为圆心的圆弧匀速运动,速度为长度单位/秒,则质点到达点处所需要的时间为秒,,质点到达点处经过的路程为,速度为单位/秒,质点到达点处所需要的时间为秒,类似的,当为奇数时,质点到达点处所需要的时间为:;当为偶数时,质点到达点处所需要的时间为:;(共33页)大海教育在线1对1:..数列的概念数列的递推公式数列的前n项和等差数列等差数列的前n项和18数列满足,,其中,.①当时,;②若存在正整数,当时总有,①当,,以上各式想乘可以看出,,又,,②由题意知:记,则要满足,.;.考点数列数列的概念数列的定义及表示方法19数列中,如果存在,使得“且”成立(其中,),则称为的一个峰值.(1)若,则的峰值为.(2)若,且不存在峰值,(1)(2)或大海教育在线1对1第21页(共33页):..解析(1)若可以令,图象开口向下,可得可以存在使得对于任意的都有,可得的峰值为.(2)若,,,,可以令,,若,且不存在峰值,即不存在先增后减的情况,即,解得,还有另外一种情况,后面每一项在的调节下都相等,,解得,,综上,、图象和性质导数及其应用利用导数求函数的极值与最值数列数列的应用数列的单调性和最值20某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,当时,表示非负实数的整数部分,例如T(2,6)=2,T(0,2)=,第6棵树种植点的坐标应为;(共33页)大海教育在线1对1:..,,表示的整数部分,表示的小数部分,则=;数列中,,则=.,可算出前几项,然后找规律进行猜想证明;(填空题证明可从略)对于第一空:;;找规律猜想:=;对于第二空;由知为等比数列,又=1,=2,易求得由前空知=,其为等差数列,(共33页):..数列的递推公式等差数列等差数列的性质等比数列等比数列的性质22在数列中,若,(,为常数),则称为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断:①是等方差数列,则是等差数列;②是等方差数列;③是等方差数列,则(,为常数)也是等方差数列;④若既是等方差数列,又是等差数列,.(将所有正确的命题序号填在横线上)A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④答案D解析①∵是等方差数列,∴(,,为常数)成立,得到为首项是,公差为的等差数列;②∵,∴数列是等方差数列;③数列中的项列举出来是:,,,,,,,,,,,数列中的项列举出来是:,,,,∵,∴,类似地有:,第24页(共33页)大海教育在线1对1:..同上连加可得,∴数列是等方差数列;④既是等方差数列,又是等差数列,∴,且,∴,联立解得,∴为常数列,当时,显然为常数列,∴①②③④.考点数列数列的概念数列的定义及表示方法等差数列等差数列的性质23已知数量的各项均为正整数,对于有为奇数为偶数为使为奇数的正整数当时,;若存在,当且为奇数时,恒为常数,,,,,,,,,,,,从第项开始是周期为的周期数列,.若存在,当且为奇数时,恒为常数,大海教育在线1对1第25页(共33页):..则,,,,数列的各项均为正整数,当时,,当时,.考点数列数列的概念数列的定义及表示方法24已知向量序列:满足如下条件:,且().若,则;,又,故,所以,解得;由题可得:,(共33页)大海教育在线1对1:..等差数列等差数列的概念和通项25已知函数,,且,例如:.下列给出的结论中:①存在数列使得;②如果数列是等差数列,则;③如果数列是等比数列,则;①③解析可得是奇函数,只需考查时的性质,此时,都是增函数,可得在上递增,∴,则,∴,即,∴.同理若,可得,∴时,.①显然是对的,只需满足,②显然是错的,若,,③数列是等比数列,各项符号一致的情况显然符合;若各项符号不一致,公比,若是偶数,,,,,符号一致,又,符号一致,∴符合;若是奇数,可证明“,,,,和符号一致”或者“,,,,和符号一致”,同理可证符合;大海教育在线1对1第27页(共33页):..故答案为①③.考点函数与导数函数单调性奇偶性数列等差数列等差数列的概念和通项等差数列的性质等比数列等比数列的概念和通项等比数列的性质推理与证明合情推理和演绎推理合情推理演绎推理26南宋数学家杨辉曾经研究过如图所示的三角形数:将三角形数,,,,记为数列,将可被整除的三角形数从小到大的顺序组成一个新数列,可以推测:是数列中的第项;.(用表示),,,,,所以,,(共33页)大海教育在线1对1:..,因为是整数,故当或时,,.考点数列数列的概念数列的递推公式等差数列等差数列的前n项和计数原理二项式定理杨辉三角27无穷等差数列的各项均为整数,首项为,公差为,是其前项和,、、:①对任意满足条件的,存在,使得一定是数列中的一项;②对任意满足条件的,存在,使得一定是数列中的一项;③存在满足条件的数列,使得对任意的,.(写出所有正确命题的序号)答案①③解析∵,,,,,均是的倍数,又∵,,,、、均是的倍数,∴①正确,②不正确.∵,∴,大海教育在线1对1第29页(共33页):...∵、、是其中三项,又∵各项均为整数,∴,,∴,,∴③①③.考点数列数列的概念数列的递推公式数列的前n项和等差数列等差数列的概念和通项等差数列的前n项和28已知数列满足,,,表示不超过的最大整数(如),记,数列的前项和为.①若数列是公差为的等差数列,则.②若数列是公比为的等比数列,(1)由题意可知,所以,,,则,,,,所以.(2)由题意可知,则,第30页(共33页)大海教育在线1对1:..所以为整数,又,所以,,其中,,若对恒成立,,得,∴数列的奇数项与偶数项均是以为公差的等差数列,∵,,∴当为奇数时,,∴;当为偶数时,,∴.当为奇数时,由,得,,,若则,∴;大海教育在线1对1第31页(共33页):..当为偶数时,由,即,∴,,:.考点数列数列的应用数列与不等式数列的概念数列的递推公式等差数列等差数列的性质30对于数列,若,(),都有(为常数)成立,则称数列具有性质.⑴若数列的通项公式为,且具有性质,则的最大值为.⑵若数列的通项公式为,且具有性质,⑴由于数列的变化速度随着的增大越来越快,所以只要保证的最小值都比大即可,所以当,时,.⑵令函数由题意可知等价于在恒成立即令的最大值小于等于在单调递增,在上单调递减又因为;(共33页)大海教育在线1对1:..考点函数与导数函数单调性数列数列的概念数列的定义及表示方法数列的递推公式大海教育在线1对1第33页(共33页)