直线与圆-期中必做题(详解版).pdf

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,∴,,大海教育在线1对1:..∴,,∴轨迹为,.考点解析几何直线与方程直线的方程直线的位置关系圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系直线与圆锥曲线动点问题6已知圆经过,两点,且在轴上截得的线段长为,半径小于.(1)求直线与圆的方程.(2)若直线,且与圆交于,两点,且以线段为直径的圆经过坐标原点,(1);(2)方程为或解析(1)设圆标准方程为,,解得,故圆:,,故方程:.(2)设:(),大海教育在线1对1:..,,由题意,有,即,整理得:.与联立得①由韦达定理:,,代入解得:或,①中,②故或均满足题意.(方程为或).考点解析几何直线与方程直线的方程圆与方程圆的方程7已知圆:,是轴上的动点,,分别切圆于,两点.(1)若,求切线,的方程.(2)求四边形面积的最小值.(3)若,(1),.(2).(3)(截距式).解析(1),解得或,故,方程分别为,.(2),故只需求最小值,大海教育在线1对1:..即最小值,显然当时,达到最小,此时,故的最小值为.(3)设,则故,同时,联立解得:,故方程为(截距式).考点解析几何直线与方程直线的方程直线与圆锥曲线弦长或面积问题8已知圆心为的圆,满足下列条件:圆心位于的正半轴上,与直线相切,且被轴截得的弦长为,圆的面积小于.(1)求圆的标准方程.(2)设过点的直线与圆相交于不同的两点,,使得直线与恰好平行?如果存在,求出的方程;如果不存在,(1).(2)(1)设圆:,由题意知,解得或,因为,所以,所以圆标准方程为:.(2)当斜率不存在时,直线为:,不满足题意,当斜率存在时,设直线:,大海教育在线1对1:..,,与圆相交于不同的两点,联立,消去得:,所以,解得或.,,,.假设,则,所以,解得,所以假设不成立,,圆经过点、、,.(1)求圆的方程及的取值范围.(2)若,过的直线与圆交于、两点,求证:(1);.(2)(1),故是圆心直径,圆心,从而圆心方程:,依题意,点在圆心上或内部,即,大海教育在线1对1:..解得:.(2),圆的方程为,此时在圆内,圆心到的距离满足,计算得,故,而由勾股定理:,:直线,一个圆与,轴正半轴都相切,且圆心到直线的距离为.(1)求圆的方程.(2)是直线上的动点,,是圆的两条切线,,.(3)圆与轴交点记作,过作一直线与圆交于,两点,中点为,(1).(2).(3).解析(1)设圆的方程为.∵圆心到直线的距离为,∴,解得(舍)或,∴圆的方程为.(2)四边形.∵最小值,∴:..(3)设点坐标为,则,.∵点在圆,∴将点坐标代入圆的方程得:,即,∴点在以为圆心,为半径的圆上,∴,已知圆的方程为,直线过点且与圆相切.(1)求直线的方程.(2)设圆与轴交与,两点,是圆上异于,的动点,过点且与轴垂直的直线为,直线交直线于点,直线交直线于点,求证:以为直径的圆总过定点,(1),.(2).解析(1)由题设直线的斜率存在,设直线的方程为,则圆心到直线的距离为,解得,∴直线的方程为,即,.(2)在,令,得,大海教育在线1对1:..即,,又直线过点且与轴垂直,∴,(),(),则直线方程为,解方程组,得,同理得,∴以为直径的圆的方程,又,∴代入整理得,若圆经过定点,只需令,从而,解得,∴,圆:.(1)若圆:为圆的内接的内切圆,其中为圆与轴的左交点,:..(2)若圆:内含于圆:,过点作圆的两条切线交圆:于、两点,求证:(1).(2)(1)法一:因为为的内心,所以,,,因为为的外心,所以,,,所以,:利用几何条件,,得,,:..(2)因为圆:内含于圆:,所以,,因为,:,即,由题,即(*)因为,所以点在圆外,过点可作圆两条切线,方程(*)有两个不等实根,关于的方程(*)的两根即为切线,的斜率,不妨设为,,则,由得,所以或,设,,则,,,,所以直线的斜率为::..圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系13已知圆,为直线上的动点.(1)过点向圆引两条切线,若切线长为,求两条切线的夹角.(2)若点,,直线,与圆的另一个交点分别为,,求证:直线恒过定点,(1).(2)证明见解析,(1)切线长,,.所以两条切线的夹角为.(2)设,,.则..由得:.,即,,由得:.,即,,:..考点解析几何直线与方程直线的方程圆与方程直线与圆的位置关系14已知:,以及点.(1)若点是已知圆上的动点,求的最大值.(2)过且互相垂直的两条射线分别于圆相交,且交点为、.(1).(2).解析(1)∵:,∴,∴,,∵,在圆上,∴,,∴,设,∴,∵,∴,当且仅当“”时取“”,大海教育在线1对1:..∴.(2)中点为,,则,设,则,,即,即,即,即,.考点解析几何圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系曲线与方程15如图所示,已知以点为圆心的圆与直线相切,过点的动直线与圆相交于,两点,是的中点,:..(1)求圆的方程.(2)当时,求直线的方程.(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,(1)(2)或.(3)是定值,(1)∵圆与直线相切,∴,∴圆的方程为.(2)∵,,∴圆心到直线的距离,当直线的斜率不存在时,直线方程为,符合题意;当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线方程为,即,∴,解得,∴直线的方程为,综上所述,直线的方程为或.(3)∵是的中点,∴由垂径定理可知,即,∴,当直线的斜率不存在时,易知,则,大海教育在线1对1:..∵,∴;当直线的斜率存在时,设斜率为,则直线方程为,联立,解得,则,∵,∴,所以综上所述,是定值,,过点的动直线与椭圆相交于,两点.(1)若线段中点的横坐标是,求直线的方程.(2)设点的坐标为,(1)或.(2).解析(1)依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为,将代入,消去整理得,.设,,则,由线段中点的横坐标是,大海教育在线1对1:..得,解得,适合().所以直线的方程为或.(2)①当直线与轴不垂直时,由()知,.(),所以,.将()代入,整理得:,.②当直线与轴垂直时,此时点,的坐标分别为、,,.考点解析几何直线与方程直线的方程椭圆椭圆的定义、图形及标准方程椭圆的性质直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系向量点乘问题17若圆与轴交于和,且圆心在直线上.(1):..(2)求过点的圆的切线方程.(3)设是圆上任意一点,(1).(2)或.(3).解析(1)根据对称性知圆心位于轴上,,又圆心在上,将代入可得,∴的坐标为,到其中一个交点的距离为半径,∴,∴圆的方程为.(2)显然当斜率不存在时不与相切,设切线方程为,即:,易知有到直线的距离等于,∴,解得或,切线方程为或.(3)令,作出和圆的图像易得:当与圆相切于圆的下方时,有最小值,则为最大值,∴,解得或(舍),∴:..圆的方程几何证明选讲圆圆的切线的判定定理及性质定理18在平面直角坐标系中,,两点之间的“直角距离”为.(1)若点,求的值.(2)点为直线上动点,求的最小值.(3)点是直线上的动点,求的最小值(只需写出结论).答案(1).(2).(3).解析(1)由题意,.(2)设,则,即,∴当时,取得最小值为.(3):..平面直角坐标系直线的倾斜角与斜率直线的方程19已知为坐标原点,动点是圆:()上任一点,过点作圆的两条切线、(、为切点),若.(1)求的值.(2)若射线交圆于点,是否存在定圆与直线总相切,如果存在,求出此定圆的方程;如果不存在,说明理由.(3)在(Ⅱ)条件下,已知点的坐标为,(1).(2)存在定圆,与直线总相切.(3).解析(1)∵,∴四边形为正方形.∵,∴,∴.(2)设圆心到直线的距离为,∵为,∴,,大海教育在线1对1:..∴为定值.∴存在定圆,与直线总相切.(3)由(Ⅱ)知,总与圆相切,当离最远时,,垂足为,设与圆的切点为,,当重合时,即时,达到最大值,此时,∴.考点解析几何圆与方程直线与圆的位置关系20已知点,,是轴上两点,且(在的左侧).设的外接圆的圆心为.(1)已知,试求直线的方程.(2)当圆与直线相切时,求圆的方程.(3)设,,,:..答案(1)直线的方程为或.(2)圆方程为.(3)当时,(1)设,则.,,由得,解得或,∴直线的方程为或.(2)设圆心为,半径为,则,解得.∴圆方程为.(3)设,,,,,令,,当且仅当即时等号成立,∴当时,:..21已知圆:和点.(1)过点向圆引切线,求直线的方程.(2)求以点为圆心,且被直线截得的弦长为的圆的方程.(3)设为()中圆上任一点,过点向圆引切线,:平面内是否存在一定点,使得为定值?若不存在,(1)或.(2).(3)存在定点或,(1)显然不垂直于轴,设的方程为,∵与圆相切,∴,解得或,∴直线的方程为或,即或.(2)设圆的半径为,,则圆的方程为,到直线的距离,又弦长为,∴半径.∴圆的方程为.(3)设,,大海教育在线1对1:..则,即,,.若为定值,设,则有,于是有,解得或,故存在定点或,,若定义区域边界的公共点为区域顶点.(1)求区域的顶点及区域的面积;(2)若点,求的取值范围;(3)若点,使得取最大值时所对应的点为;1求点坐标;2若仅在点处使得有最小值,:..答案(1)(2)(3)12解析(1)联立方程组解得区域的顶点坐标为,,分别记为,,,则,∴(2)的几何意义是与连线的斜率,由图中观察不难得到的取值范围为(3)1平移斜率为的动直线,显然当此时直线过点是,纵截距最大,:,,满足在处有最小值;,目标函数变为,若使其在处有最小值,则应有,解得:,目标函数变为,若使其在处有最小值,则应有,解得:综上所述,的取值范围是考点函数与导数函数的模型及其应用不等式与线性规划简单的线性规划截距问题二元一次不等式(组)所表示的平面区域解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率23大海教育在线1对1:..圆:与轴交于、两点(点在点的左侧),、是分别过、点的圆的切线,过此圆上的另一个点(点是圆上任一不与、重合的动点)作此圆的切线,分别交、于,两点,且、两直线交于点.(1)设切点坐标为,求证:切线的方程为.(2)设点坐标为,试写出与的关系表达式(写出详细推理与计算过程).(3)判断是否存在点,使得的最小值为?若存在,,(1)证明见解析.(2).(3)存在,(1)当为时,,,时,,切线的方程为.(2)依题意,直线:,为.,直线:①直线:②由①②解得即,,:..(3)假设存在..令,依题意,.又对称轴为,,无最小值存在,,以原点为圆心的圆与直线相切.(1)求圆的方程;(2)从点引圆的切线,切点为,求切线长的值;(3)是圆上任意一点,(1).(2).(3).大海教育在线1对1:..解析(1)设所求的圆的方程为:直线与圆相切圆心到直线的距离所求的圆的方程为:.(2)从点引圆的切线,所以,圆的半径为:,切点为,切线长.(3)圆的方程为:,设圆上的任意点为,,所以,,.,已知圆:和圆:,(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;(2)设为平面上的点,满足:存在过点的无穷多相互垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条大海教育在线1对1:..(1)直线的方程为或.(2)(1)由于直线与圆不相交,所以直线的斜率存在,设直线方程为,圆的圆心到直线的距离为∵,则,解得或.∴直线的方程为或.(2)设点满足条件,不妨设直线的方程为,()则直线的方程为.∵圆与圆半径相等,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,∴圆心到直线的距离与圆心到直线的距离相等,即整理得所以即或∵的取值有无穷多个,∴或,解得或即这样的点只能是或经检验,、:..圆与方程直线与圆的位置关系26在平面直角坐标系中,点的坐标为,设圆的半径为,且圆心在直线上.(1)若圆心又在直线上,过点作圆的切线,求此切线的方程;(2)若圆上存在点,使得,(1)或.(2).解析(1)由得圆心为,因为圆的半径为1,所以圆的方程为:.显然切线的斜率一定存在,设所求圆的切线方程为,,,:或.(2)因为圆的圆心在直线上,所以设圆心为(,),则圆的方程为:.又,设为(,),:,设该方程对应的圆为,圆D圆C需有交点,即两圆相交或相切。:..圆与方程圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系27如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为,圆心在直线上.(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;(2)若圆上存在唯一一点,使,(1)或.(2)(1)由得圆心为,因为圆的半径为,所以圆的方程为:.显然切线的斜率一定存在,设所求圆的切线方程为,,:或.(2)因为圆的圆心在直线上,所以,设圆心为,则圆的方程为:.大海教育在线1对1:..又因为,所以设为,:,,,得,,圆的方程为:,过点的直线与圆交于,两点.(1)若,求直线的方程;(2)若,(1)或.(2)点坐标为或,(1)依题意,直线的斜率存在,因为直线过点,,圆的半径为,,两点在圆上,,所以,所以直线的方程为或.(2)设,,大海教育在线1对1:..所以,.因为,所以即(*);因为,两点在圆上,所以把(*)代入,得,所以,所以点坐标为或,,点为直线上的动点.(1)若从到圆的切线长为,求点的坐标以及两条切线所夹劣弧长;(2)若点,,直线,与圆的另一个交点分别为,,求证:(1).(2)(1)根据题意,,,则,,由题意可知,即,解得,,易得,:..所以两切线所夹劣弧长为.(2)设,,,依题意,直线经过点,,可以设,和圆联立,得到,代入消元得到,,因为直线经过点,,所以,是方程的两个根,所以有,,代入直线方程得,.同理,设,联立方程有,代入消元得到,因为直线经过点,,所以,是方程的两个根,,,,则,此时,显然,,三点在直线上,即直线经过定点,若,则,,所以有,,所以,所以,,三点共线,,,直线的方程为.(1)求关于对称的圆的方程;(2)当变化且时,求证:的圆心在一条定直线上,:..答案(1).(2)(1)由已知可得,圆的圆心为,设关于直线对称点为则解得所以圆的方程为.(2)由消去得所以圆的圆心在定直线上.①当公切线的斜率不存在时,易求公切线的方程为;②当公切线的斜率存在时,设直线与圆系中的所有圆都相切则,因为直线与圆系中的所有圆都相切,所以上述方程对所有的值都成立,解得:,