广西壮族自治区柳州市2024届新高三摸底考试数学试题(含答案解析).pdf

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线EH与平面BDG的所成角为30?,:【分析】利用二项分布的期望公式即可求解.【详解】因为离散型随机变量X满足:X?B?10,?,所以随机变量的期望是E?X??10?2?:.?2【详解】根据给定条件,利用几何法求弦长列式求解作答.?x?1?2??y?3?2?4的圆心(1,3)【点睛】圆,半径r?2,答案第6页,共14页:..|3m|(1,3)x?my?1?0d?圆心到直线的距离,1?m29m22依题意,2r2?d2?2,则4??1,解得m??,1?m222m所以实数的值是?.22故答案为:?244?15.?/33【分析】根据轴截面图形,求出圆锥内切球半径R即可得解.【详解】依题意,圆锥内半径最大的球为圆锥内切球,如图作出轴截面,圆O和AC相切于点D,1因为?ABC是正三角形,所以OA?OB,AD?AC?3,BD?3AD?3,2设内切球半径为R,在Rt?AOD中可得,AO2?AD2?OD2,2??2所以?3?R?=3?R2,解得R?1,44球的体积为V?πR3?:??AB2?AF2?BF2,MN?AF?BF,【分析】根据抛物线的定义和几何性质,可得22MN2AB2?2MN2,,共14页:..【详解】如图,过A点作AC?l,过作BD?l,设AF?m,BF?n,B则由抛物线的定义知BD?BF?n,AC?AF?m,11MN??BD?AC???m?n?,由题意知22????????因AF?FB?0得AF?BF,AB2?AF2?BF2?m2?n2,?m?n?2m2n2m?nAF?BF因??,当且仅当,即时等号成立,2MN2AB2?2MN2,?所以,AB22MN2所以?,3AB32故答案为:3?32?317.(1);(2)32b2?c2?a2【分析】(1)利用余弦定理的变形:cosA?(2)利用正弦定理求出a?3,再根据三角形的内角和性质以及两角和的正弦公式求出sinC,由三角形的面积公式即可求解.【详解】(1)b2?c2?a2?bc。b2?c2?a2bc1由余弦定理可得cosA???,2bc2bc2?.又因为0?A??,所以A?36(2)由cosB?,0?B??,33所以sinB?1?cos2B?,3答案第8页,共14页:..ab在?ABC中,由正弦定理可得?,sinAsinB32?2sinA2所以a???3,sinB33sinC?sin?A?B??sinAcosB?cosAsinB361332?3?????,23236132?3所以?ABC的面积S?absinC?.?ABC22【点睛】本题考查了余弦定理、正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记公式,.(1)a?2nn14(2)T??4n?1?n2?2n33naq【分析】(1)由等比数列的通项公式及前项和公式列方程组求得和公比后可得通项公1式;(2)?a?14,S?14?a?qq?1【详解】(1)由题知,设等比数列的公比为,显然,413n?aq3?a?14,①11?则有a?1?q3??114,??②1?q?由①÷②得q?1?1,所以q=2,代入①得a?2,1所以a?2n;n?2n,n为偶数(2)由(1)可得b??,nn,n为奇数?所以T?b?b???b??b?b???b???b?b???b?2n122n132n?1242n??1?3?5???(2n?1)???22?24???22n??12n1?n4?1?4n?????21?4答案第9页,共14页:..14??4n?1?n2?.3319.(1)证明见解析159(2)53【分析】(1)欲证明一条直线平行于一个平面,只需证明该直线平行于平面内的一条直线即可;(2)建立空间直角坐标系,运用空间向量计算线面角.【详解】(1)取AB的中点M,连接ME,MB,因为E,F分别是棱AC,BC的中点,111111则ME//BC//BF,ME?BC?BC?BF,∴四边形MEFB为平行四边形,112112所以EF//MB,∵EF?平面ABBA,MB?平面ABBA,1111EF//平面ABBA;11(2)A中过点C作CO?AC于O,连接OB,1111∵A?平面ABC,A?平面ABC?AC,∴CO?平面ABC,11111A,AC?AC?2,得CC?2,?ACC?60?,OC?1,CO?3,111111OB、OC、OC分别为x,y,z因为点O为AC的中点,∴OB?AC,故以O为原点,轴建立如1图所示的空间直角坐标系:答案第10页,共14页:..?????????31??23?则B3,0,0,C?0,1,0?,C0,0,3,A0,?2,3,E0,?1,3,F?,,0?,G?0,,?,11?22??33???????????????????33??????313?BC?BC???3,1,0?EF,,3,GF,,所以,?????????,11?22??263??????设平面EFG的法向量为n??x,y,z?,?33x?y?3z?0???22423??则有?,解得x?z,y?z,令z?5,得n?4,23,5,31355?xyz0???????263设直线BC与平面EFG所成角为?,11???????43?23159则sin??cosn,BC??,1116?12?25?3?153159综上,.(1)60种(2)①4093人;②不可信【分析】(1)结合分类加法原理根据排列组合列式计算即可;(2)①由正态分布的对称性求出成绩介于120分到300分之间概率即可估计人数;②根据正态分布的3?原则判断即可.【详解】(1)甲乙两个学生必选语文?数学?外语,若另一门相同的选择物理?历史中的一门,有C1种,在生物学?化学?思想政治?地理4门中甲乙选择不同的2门,则C2C2?6,即2?6?12242种;若另一门相同的选择生物学?化学?思想政治?地理4门中的一门,则有A2C1A2?48种,243所以甲乙两个学生恰有四门学科相同的选法种数共12?48?60种方法;X?N?240,602?(2)①设此次网络测试的成绩记为X,则,由题知??240,??60,??2??240?120?120,????240?60?300,??120?X?300????,所以5000??4093,2所以估计5000名学生中成绩介于120分到300分之间有4093人;②不可信??3??240?3?60?420?430,.答案第11页,共14页:..1?P???3?≤X≤??3??1??X≥??3?????,225000名学生中成绩大于430分的约有5000??,这说明5000名考生中,会出现约7人的成绩高于430分的“极端”样本,所以说“某校200人参与此次网络测试,有10名同学获得430分以上的高分”,说法错误,.(1)??143(2)证明见解析【分析】(1)由条件列方程求a,b,c,由此可得椭圆方程;(2)设直线OQ的斜率为k,由条件求出,M,Q的坐标,再证明OM?【详解】(1)设椭圆C的左焦点为F,依题意得:FH?FF113所以|FH|2?|FF|2?|FH|2,而|FH|?,|FF|?211215所以|FH|?12根据椭圆的定义得:2a?|FH|?|FH|?4,即a?21又因为c?1所以b2?a2?c2?3x2y2所以C的方程为??1;43(2)因为OQ//AP,所以A,O,Q三点不共线,所以设直线OQ的斜率为k,则直线OQ的方程为y?kx,?y?kx由?得:Q(4,4k)x?4?答案第12页,共14页:..又因为F(1,0)????所以FQ?(3,4k)又因为OQ//AP所以直线AP的方程为:y?k(x?2),?y?k(x?2)?由?x2y2得:(3?4k2)x2?16k2x?(16k2?12)?0??1??4316k2所以x?x??,AP3?4k2又因为点M是AP的中点x?x8k2所以x?AP??M23?4k28k26k所以y?k(x?2)?k(??2)?MM3?4k23?4k28k26k即M(?,)3?4k23?4k2?????8k26k所以OM?(?,)3?4k23?4k2?????????24k224k2所以FQ?OM????03?4k23?4k2所以OM?QF121QF??2故直线OM与的交点在以OF为直径的圆上,且该圆方程为x??y?.?2?4??121QF??即直线OM与直线的交点在某定曲线x??y2?上.?2?4??【点睛】本题解决的关键在于联立方程组,利用根与系数的关系求出P,.(1)x?y?2?0?2?(2),???e???【分析】(1)利用函数解析式求切点坐标,利用导数求切线斜率,点斜式求切线方程;2lnx(2)由已知不等式恒成立,构造函数g?x??x?lnx,利用单调性得到x2?eax,即a?x2lnx恒成立,构造函数h?x??,求h?x?,?1f?x??2lnx?xf??x???1【详解】(1)由题意:当,,,x答案第13页,共14页:..则f?1???1,f??1??1,所以切点坐标为(1,-1),切线斜率为1,故切线方程为y???1??x?1,即x?y?2?0;(2)由题意可得,2lnx?ax?eax?x2,即x2?lnx2?ax?eax,即x2?lnx2?eax?lneax,?????g?x2??g?eax?令gx?x?lnx,函数定义域为0,?,则有恒成立,1因为g??x??1??0,所以g?x??x?lnx在?0,???单调递增,x2lnx?2lnx?所以x2?eax,即a?恒成立,只需a?,??x?x?max2lnx2?2lnx构造函数h?x??,h??x??,xx2当x??0,e?时,h??x??0,h?x?单调递增;x??e,???h??x??0h?x?当时,,单调递减,2则当x?e时,h?x??h?e??,maxe?2?所以实数a的取值范围为,??.?e???【点睛】方法点睛:证明不等式,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题,,如果运用这种思想去解决,往往能获得简洁明快的思路,,共14页