江苏省南京市2024届高三上学期零模考前押题数学试题(含答案解析).pdf

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同底数幂的乘法法则,?e?xex+e?x【详解】A:[sinh(x)]2?[cosh(x)]2?()2?()2221?(e2x+e?2x?2?e2x?e?2x?2)??1,故A错误;4e2x?e?2xex?e?xex+e?xB:sinh(2x)????2?2sinh(x)cosh(x),故B正确;2221e?lnx+elnxelnx?e?lnxC:cosh(ln)?cosh(?lnx)?,sinh(lnx)?,x22e?lnx+elnxelnx?e?lnxcosh(?lnx)?sinh(lnx)??2211?(e?lnx+elnx?elnx+e?lnx)?e?lnx?0,即cosh(ln)?sinh(lnx),故C正确;2x答案第6页,共15页:..D:sinh(ex)cosh(lnx)?cosh(ex)sinh(lnx)1?[(eex?e?ex)(elnx+e?lnx)?(eex+e?ex)(elnx?e?nlx)]41?(eex?lnx?eex?lnx?elnx?ex?e?ex?lnx?eex?lnx?elnx?ex?eex?lnx?e?ex?ln)x4111?(eex?lnx?elnx?ex)?(eex?lnx?),22eex?lnx1x?x?得eex?lnx??0sinh(ex)cosh(lnx)?cosh(ex)sinh(lnx),,即eex?lnx故选:?22/22?3【分析】首先根据对数的运算性质得到2logm?logn?1,再利用基本不等式的性质求解即23可.【详解】因为m,n?1,所以logn?0,logm?0,?1233因为2logm?log?2logm?log3?logn?2logm?logn??11?所以log2?log3????2logm?logn??mn23??logmlognlogmlogn23?23?2logmlogn2logmlogn?3?2?3?3?22?3?3??3,即logn?2logm?2?1时,:3?2214.<【分析】做差后,根据等差数列的性质及题意转化为(S?S)?(S?S),再由等比数列的114105性质求解即可.【详解】?数列{a}为等差数列,?a?a?a?a,n114105又S?a,S?a,?S?S?a?a?a?a,5510**********?S?a?(a?S)?(S?S)?(a?a)?(S?S)?(S?S),1141141**********由于数列?b?为等比数列,其前n项和为S,且公比q?1,b?0,nn1?(S?S)?(S?S)=S?S?S?S?b?b?bq10?bq4?bq4(q6?1)?0,1141051**********答案第7页,共15页:..?S?a?a?:??1?15.,???2???【分析】利用函数的单调性解抽象不等式即可.?????????【详解】∵函数y?f?x?满足:任意的x,x?0,????x?x?,有x?xfx?fx?0,12121221∴x?x时,f?x??f?x?,1221∴函数y?f?x?在?0,???上单调递减,?1?又f?x??f?2????x?0?1∴?1,即x?,x?2?2??1?故实数x的取值范围是,???2???【点睛】本题考查函数的单调性的应用,考查等价转化思想,【解析】先求出导函数f??x?,令f??x??0求出极值点,进而求出函数的极值,根据单调性和极值画出函数的大致图象,???????f?x??x3?2x2?3x?,?f?x?x2?4x?3?x?1x?3【详解】函数,33令f??x??0得:x??3或,?1当x????,?3?时,f￠(x)>0,函数y?f?x?单调递增;x???3,?1?f??x??0y?f?x?当时,,函数单调递减;当x???1,???时,f￠(x)>0,函数y?f?x???所以,函数y?f?x?的极大值为f??3??,极小值为f?1?0,3则函数y?f?x?的大致图象如图所示:答案第8页,共15页:..由图象可知,函数y?f?x?:2.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值,以及函数的零点,.(1)1或2;(2)3(3)7500【分析】(1)由等差数列写出a,a,再由数列A的性质确定d,注意验证得出的数列满足23数列A的性质;(2)由性质②确定a的取值,再分别确定a的取值,从而可得a*;344(3)由数列的性质先求得a得a*,再求出a*,归纳出数列A*并用数学归纳法证明,然A334后求得其前100项的和.【详解】(1)由已知a?1?d,a?1?2d,23又a?a?a?a?a?1,所以a?2?d或a?3?d,1231233若a?2?d,则由a?a?2a得1?2?d?2(1?d),d?1,a?n,满足3132na?a?a?a?a?1(i?1,2,?;j?1,2,?;i?j?3);iji?jij若a?3?d,则由a?a?2a得1?3?d?2(1?d),d?2,a?2n?1,也满足3132na?a?a?a?a?1(i?1,2,?;j?1,2,?;i?j?3).iji?jij所以d?1或2;答案第9页,共15页:..(2)因为a?a?1,所以2?a?a?a?a?a?1?3,1212312所以a?2或a?3,因此a*?3,333当a?2时,3?a?a?a?a?a?1?4且2?a?a?a?a?a?1?3同时成立,此时31341322422a?3,4当a?3时,4?a?a?a?a?a?1?5且2?a?a?a?a?a?1?3同时成立,此时31341322422矛盾,综上,a*?3;4(3)因为a?1,a?2,所以3?a?a?a?a?a?1?4,所以a*?4,显然a*?1,a*?2,1212312312由a?a*?4知a?a?a?1?6,事实上,当a?4时,5?a?a?a?a?a?1?6与334133134134?a?a?a?a?a?1?5同时成立,所以a?5,从而a*?5,2242244猜想数列A*:1,2,4,5,7,8,?,即数列A*由不能被3整除的正整数从小到大排列组成,且满足数列A:a,a,a,?的两条性123质,下面用数学归纳法证明.①当n?1,2,3,4时结论成立,②假设n?1,2,?,k时结论成立,则当n?k?1时,当a*?3m?1时,此时,A*:1,2,4,5,?,3m?1,a*,kk?1由于3m?2?a*?a*?a?a*?a*?1?3m?3,且1kk?11k3m?1?a*?a*?a?a*?a*?1?3m?2,所以a*?3m?2,2k?1k?12k?1k?1当a*?3m?2时,此时,A*:1,2,4,5,?,3m?1,3m?2,a*,kk?1由于3m?3?a*?a*?a?a*?a*?1?3m?4,且1kk?11k3m?3?a*?a*?a?a*?a*?1?3m?4,所以a*?3m?4,2k?1k?12k?1k?1综上,数列A*:1,2,4,5,7,8,?,是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成,150?15150?153数列A*的前100项和为:(1?2?3???150)?(3?6?9???150)???,共15页:..【点睛】关键点睛:第3小问题中解题关键是由数列A满足的性质确定数列的项,由a,a根12据不等式的性质得出a的可能值,得出a*,再得出a的可能值,得a*,然后归纳出数列A*3344并用数学归纳法证明.?18.(1)B?;(2)AM?【分析】(Ⅰ)由题意,根据正弦定理得c2?ca?b2?a2,再由余弦定理得cosB?,即可求2解.(Ⅱ)由题意得M,N是线段BC的两个三等分点,设BM?x,则BN?2x,,AN?23x?在?ABN中,由余弦定理得12x2?64?4x2?2?8?2xcos,解得x?2,则BM?2,再在3?ABM中,即可求解AM的长.【详解】(1)∵c?sinC?sinA???sinA?sinB??b?a?,则由正弦定理得:c2?ca?b2?a2,∴a2?c2?b2?ca,a2?c2?b21∴cosB??,2ca2又0?B??,?∴B?.3(2)由题意得M,N是线段BC的两个三等分点,设BM?x,则BN?2x,,AN?23x?又B?,AB?8,3?在?ABN中,由余弦定理得12x2?64?4x2?2?8?2xcos,3解得x?2(负值舍去),则BM?2,1又在?ABM中,AM?82?22?2?8?2??52??或解:在?ABN中,由正弦定理得:?sinBAN,sin31∴sin?BAN?2又BN?2x,AN?23x,答案第11页,共15页:..∴BN?AN,∴?BAN为锐角,?∴?BAN?,6?∴?ANB?,又AB?8,2∴BN?2x?4,∴x?2,∴MN?2,AN?43,??2.∴在Rt?ANM中,AM?43?22?213【点睛】本题主要考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用,在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更合适,或是两个定理都要用,,如果式子中含有角的余弦或边的二次式时,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,.(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)连接BD,根据线面平行的判定定理只需证明EF∥PD即可;(2)要证明△PCD是直角三角形,只需证明CD⊥PD,进而转化为证明CD⊥平面PAD.【详解】(1)证明:连接BD,∵底面ABCD是正方形,E是AC的中点,∴E是BD的中点,又F是PB的中点,∴EF∥?平面PCD,PD?平面PCD,∴EF∥平面PCD.(2)证明:∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥CD,即CD⊥PA.∵底面ABCD是正方形,∴CD⊥AD.∵PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,∴CD⊥平面PAD.∴CD⊥PD,∴△,共15页:..【点睛】本题考查线面平行的判定地理、线面垂直的判定地理,属基础题,.(1)(2)见解析,E?X??73【解析】(1)利用古典概型的概率公式直接计算一、二、三等品各取到一个的概率即可;(2)先得到X的所有可能取值,然后计算各个取值的概率,列出X的分布列,【详解】解:(1)一、二、三等品各取到一个的概率为P?234?.C379(2)X的取值为0,1,2,C35C1C261C2C11P?X0?7P?X1?27P?X2?27???,????,???,C312C3122C312999X的分布列为X012511P12212122∴E?X????.2123【点睛】本题考查了古典概型的概率公式,分布列和数学期望的求法,.(1)x2??1;(2)?5?m?54【分析】(1)??(2)联立方程消去得到5x2?2mx?m2?4?0,计算??4m2?20m2?4?0得到答案.【详解】(1)根据椭圆的定义知:轨迹方程为椭圆,且2a?4?a?2,且c?3?b?1y2故轨迹方程为:x2??14答案第13页,共15页:..?y2?x2??14?5x2?2mx?m2?4?0y?x?mC(2)联立方程得?,直线与曲线有交点?y?x?m???4m2?20?m2?4??0则解得?5?m?5【点睛】本题考查了轨迹方程,直线与椭圆的位置关系,根据定义求轨迹方程可以简化运算,是解题的关键.??1??1?11t?lnt?,0?t????????4??4?e4??111122.(1)a?3或-1(2)f(x)???,??t?minee4e??1tlnt,t??e?f(x)f(1)f?(1)g?x?【分析】(1)求出函数的导数,计算,的值,求出切线方程,再与联立消去y得到关于x的一元二次方程,令判别式为0即可求得结果;(2)利用函数f(x)的导数求出函数的单调区间,通过讨论t的范围从而求出f(x)【详解】(1)f?(x)?lnx?x??lnx?1,xx?1f??1??1f?1??0当时,,,所以f?x?在x?1处的切线方程为y?x?1.?y?x?1联立,得x2??1?a?x?1?0,?y??x2?ax?2?由题意可知,???1?a?2?4?0,所以a?3或-1;?1?1??x0,??????(2)由(1)知f?x?lnx?1,当?时,f′x?0,fx单调递减,当x?,???????e??e?时,f′?x??0,f?x??1??1??1?①当0?t?t??,即0?t??时,f(x)?ft??t?lnt?;44min?4??4??4?ee??????11111?1?1②当0?t??t?,即??t?时,f(x)?f??;4min?e?eee4e??111③当?t?t?,即t?时,f?x??f?t??,共15页:..??1??1?11t?lnt?,0?t?