湖南省郴州市第二中学2024学年数学高三上期末达标检测试题含解析5547.pdf

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由向量垂11:..直,数量积等于零即可求解.【题目详解】(1)解法一:连接AC交BD于O,设AP与平面BDDB的公共点为M,连接OM,11则平面APC平面BDDB?OM,11四边形ABCD是正方形,?AC?BD,BB?平面ABCD,AC?平面ABCD,1∴AC?BB,又BB?BD?B,11?AC?平面BDDB,11??AMO为直线AP与平面BDDB所成角,11CP//平面BDDB,CP?平面APC,平面APC平面BDDB?OM,1111?CP//OM,又O为AC的中点,1612?OM?PC?,AO?AC?,2622AO??tan?AMO??3,??AMO?,OM3??(2)四边形ABCD正方形,1111?AC?BD,1111:..AA?平面ABCD,BD?平面ABCD,**********?AA?BD,又ACAA?A,1111111?BD?A,又AP?A,111111?BD?AP,11?当Q为线段AC中点时,对于任意的实数m,都有DQ?:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,A?1,0,0?,B?1,1,0?,P?0,1,m?则,C?0,1,0?,D?0,0,0?,B?1,1,1?,D?0,0,2?,11BD???1,?1,0?BB??0,0,2?AP???1,1,m?AC???1,1,0?所以,,,1又由AC?BD?0,AC?BB?0,则AC为平面BBDD的一个法向量,111设直线AP与平面BDDB所成角为?,11?AP?AC23??则sin??cos???????,?2?AP?AC2?2?m226?故当m?时,(2)若在AC上存在一定点Q,设此点的横坐标为x,11:..Q?x,1?x,2?DQ??x,1?x,0?则,,1依题意,对于任意的实数m要使DQ?AP,1等价于DQ?AP?DQ?AP?0,1即?x?1?x?0,解得x?,2即当Q为线段AC中点时,对于任意的实数m,都有DQ?【题目点拨】本题考查了线面垂直的判定定理、线面角的计算,考查了空间向量在立体几何中的应用,、(1)答案见解析.(2)答案见解析【解题分析】a2b2(1)利用基本不等式可得?b2a,?a2b,?b2?b2(a?b)(2)由(1)知a2ba?b??ab?,代入不等式,利用基本不等式即可求解.???a?a【题目详解】a2b2(1)?b2a,?a2bbab2a2两式相加得?a?bab?b2?b2(a?b)(2)由(1)知a2ba?b??ab????a?aa1b2(a?b)a1于是,a2??ab???b3a(a?b)ab3a(a?b)?a??b2(a?b)1???ab???????b3?aa(a?b)??ab2?2?【题目点拨】本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.?-?,?2???2,??????,3??1,???19、(1)(2):..【解题分析】?1?x?1?|x﹣1|?4利用零点分区间法,去掉绝对值符号分组讨论求并集,?2?f(x)?2x?Rf(x)?2对恒成立,则,min由三角不等式x?a?|x﹣1|?|x?a﹣x?1|=a?1,得a?1?2求解【题目详解】?1?f(x)?4x?1?|x﹣1|?4解:当a?1时,不等式即为,?x??1??1?x?1?x?1可得?或?或?,??x?1?1?x?4?x?1?1?x?4?x?1?x?1?4解得x≤?2或x??或x?2,则原不等式的解集为(-?,?2]?[2,??)?2?x?Rf(x)?2若对任意、都有,即为f(x)?2,min由x?a?|x﹣1|?|x?a﹣x?1|=a?1,当(x?a)(x?1)?0取得等号,则f(x)=a?1,由a?1?2,可得a?1或a??3,min则a的取值范围是(??,3][1,??)【题目点拨】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题.(1)含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解(2)利用三角不等a-baba+、(1)极大值ln?,无极小值;(2)a?1.(3)见解析22【解题分析】(1)先求导,根据导数和函数极值的关系即可求出;(2)先求导,再函数f(x)在区间(0,1)上递增,分离参数,构造函数,求出函数的最值,问题得以解决;11(3)取a?1得到sin(1?x)?ln(0?x?1),取1?x?,可得x(2?k)21?(k?1)(k?3)?(2?k)2sin?sin1??ln,累加和根据对数的运算性和放缩法即可证明.??(2?k)2?(2?k)2?(k?1)(k?3):..【题目详解】解:(1)当a?0时,设函数g(x)?f(x)?x2?lnx?x2,x?0,则11?2x2(1?2x)(1?2x)g'(x)??2x??xxx2令g'(x)?0,解得x?222当0?x?时,g'(x)?0,当x?时,g'(x)?02222所以g(x)在(0,)上单调递增,在(,??)上单调递减222211所以当x?时,函数取得极大值,即极大值为g()??ln2?,无极小值;2222(2)因为f(x)?asin(1?x)?lnx,1所以f'(x)??acos(1?x)?,x因为f(x)在区间(0,1)上递增,1所以f'(x)??acos(1?x)??0在(0,1)上恒成立,x1所以a?在区间(0,1)(1?x)1当a?0时,a?在区间(0,1)上恒成立,xcos(1?x)1当a?0时,?xcos(1?x),a设t(x)?xcos(1?x),则t?(x)?cos(1?x)?xsin(1?x)?0在区间(0,1)(x)?xcos(1?x)在(0,1)单调递增,则0?t(x)?1,1所以?1,即0?a?1a综上所述a?1.(3)由(2)可知当a?1时,函数G(x)?sin(1?x)?lnx在区间(0,1)上递增,1所以sin(1?x)?lnx?G(1)?0,即sin(1?x)?ln(0?x?1),x:..1取1?x?,则(2?k)21?(k?1)(k?3)?(2?k)2sin?sin1??ln.??(2?k)2?(2?k)2?(k?1)(k?3)所以1113242(k?2)23k?23sin?sin?????sin?ln[??????]?ln(?)?ln?ln3?ln2所以3242(2?k)22?43?5(k?1)(k?3)2k?32n1?sin?ln3?ln2(2?k)2k?1【题目点拨】此题考查了参数的取值范围以及恒成立的问题,以及不等式的证明,构造函数是关键,、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).5【解题分析】试题分析:(Ⅰ)连接BD交AC于O,得OG//BE,所以OG//面BEF,又EF//AC,得AC//面BEF,即可利用面面平行的判定定理,证得结论;(Ⅱ)如图,以O为坐标原点,建立空间直角坐标系,求的平面ABF的一个法向量m,利用向量AD和向量m夹角公式,:(Ⅰ)连接BD交AC于O,易知O是BD的中点,故OG//BE,BE?面BEF,OG在面BEF外,所以OG//面BEF;又EF//AC,AC在面BEF外,AC//面BEF,又AC与OG相交于点O,面ACG有两条相交直线与面BEF平行,故面ACG∥面BEF;????(Ⅱ)如图,以O为坐标原点,分别以OC、OD、OF为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则A?1,0,0,B0,?3,0,??????????D0,3,0,F0,0,3,AD?1,3,0,AB?1,?3,0,AF?1,0,3,:..????a,b,c??1,?3,0?a?3b?0?m?AB?m??a,b,c?设面ABF的法向量为,依题意有?,?,令a?3,b?1,m?AF??????a,b,c?1,0,3?a?3c?0???3?315c??1,m?3,1,?1,cosAD,m??,4?4??ADsin?ADC?1?B??2?b?22、;.4sinC【解题分析】?1?利用正弦定理化简求值即可;?2?b利用两角和差的正弦函数的化简公式,结合正弦定理求出的值.【题目详解】?1?a?bcosC?csinBsinA?sinBcosC?sinCsinB解:,由正弦定理得:,sin???B?C??sinBcosC?sinCsinB,sin?B?C??sinBcosC?sinCsinB,sinBcosC?osB?sinBcosC?sinCsinB,osB?sinCsinB,又B,C为三角形内角,故sinB?0,sinC?0,?则cosB?sinB?0,故tanB?1,B?;4????BAD??CAD?xA?2x??0,??x?0,(2)AD平分?BAC,设,则,??,?2?734cosA?cos2x?2cos2x?1??,cosx?,则sinx?1?cos2x?,2555:..24?sinA?1?cos2A?,又B?,254?3??3?3?172则sinC?sin??A??sincosA?cossinA??4?4450?????72sin?ADC?sin?B?x??sinx??sinxcos?cosxsin????4?4410bADADsin?ADC在ACD中,由正弦定理:?,b?.sin?ADCsinCsinC【题目点拨】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式,二倍角公式,考查运算能力,属于基础题.