福建省福州市鼓楼区2024届高三下第一次月考数学试题试卷.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..福建省福州市鼓楼区2024届高三下第一次月考数学试题试卷注意事项:,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。。,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。?????????x?Zx?1x?3?0,集合A?0,1,2,则CA=()U??1,3???1,0??0,3???1,0,3?,?DAB?60?,M为CD的中点,N为平面ABCD内一点,若AN?NM,则AM?AN?()?0,?2?N?1,0?M?,已知点,,若动点满足,则OM·ON的取值范围是MO()?0,2??0,22?.????2,2???22,22?.??()A.[,3)∪(3,+∞)B.(-∞,3)∪(3,+∞)C.[,+∞)D.(3,+∞)(x)为定义在R上的奇函数,当x?0时,f(x)?log(x?1)?ax2?a?1(a为常数),则不等式f(3x?4)??52的解集为()A.(??,?1)B.(?1,??)C.(??,?2)D.(?2,??),F分别为双曲线??1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F作圆x2?y2?b2的切线与双曲线的左12a2b21支交于点P,若PF?2PF,则双曲线的离心率为():..、印刷术、指南针、***被称为中国古代四大发明,此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承,普遍认为这四种发明对中国古代的政治,经济,,随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明,能说出两种发明的有45人,能说出3种及其以上发明的有32人,据此估计该校三级的500名学生中,对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有()???f(x)?sin?x??x?R,??0??g?x??cos???的最小正周期为,为了得到函数的图象,只要将?4?y?f?x?的图象()????,在正方体ABCD?ABCD中,已知E、F、G分别是线段AC上的点,且AE?EF?FG?()?=,则|z|=()1???x3?x2,x?1?f(x)??alnxy?f(x)AOA?,若曲线上始终存在两点,B,使得,且的中点在,x?1??x(x?1)轴上,则正实数a的取值范围为()?1??1?A.(0,??)B.?0,C.,???D.[e,??)???e??e??2?i,则z?():..、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。???3??(x)?sin2x?3cos2x的图像向左平移个单位得到函数g(x)(x)在区间?,上的??8?88?最小值为________.??1??a?i?j?ji,j?N*a?1?i?N*i?,用表示第i行第个数,已知,?1a?a?a?2?j?i?1?a?2019时,每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和,即,若,??1i??????????111??????????1?2n?12n?1?2??的展开式中x4项的系数为_______.???x??y?0?x,y2x?y?3?0z?2y??,则的最小值是___??x?y?1?0三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线G:y2?2px,焦点为F,直线l交抛物线G于A,B两点,交抛物线G的准线于点C,如图8所示,当直线l经过焦点F时,点F恰好是AC的中点,且BC?.3:..(1)求抛物线G的方程;OOA,OBk,kl?a?(2)点是原点,设直线的斜率分别是,当直线的纵截距为1时,有数列满足12n?a?a?1,k??16a,k?4?a?2?2nnSmm?S?m?1,设数列??的前项和为,已知存在正整数使得,1n?12n1?an2020??.(12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操,主要是通过按摩眼部穴位,调整眼及头部的血液循环,调节肌肉,改善眼的疲劳,,在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查,并得到如图的频率分布直方图.(1)若直方图中后三组的频数成等差数列,;(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系,对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,?(3)在(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人,进一步调查他们良好的护眼****惯,在这8人中任取2人,记坚持做眼保健操的学生人数为X,?ad?bc?2附:K2??a?b??c?d??a?c??b?d?K2?.(12分)在国家“大众创业,万众创新”战略下,:..合理定价,将该产品按事先拟定的价格试销,得到一组检测数据如表所示:试销价格456789x(元)y产品销量898382797467(件)已知变量x,y且有线性负相关关系,现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为:甲y?4x?53;乙y??4x?105;丙y???104,其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.(1)试判断谁的计算结果正确?(2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1,则称该检测数据是“理想数据”,现从检测数据中随机抽取3个,求“理想数据”.(12分)设函数f(x)?ex?x2?ax,a?(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)a?1时,若x?x,f(x)?f(x)?2,求证:x?x?.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,(x)?a?x?1?ln?x?1??x2?ax(a?0)22.(10分)已知函数是减函数.(1)试确定a的值;ln?n?1?n???*?ln??n?2?T??1?(2)已知数列aa?T?aaaan?N,求证:??.nnn?1n123nn2参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。:..1、A【解题分析】先求得全集包含的元素,由此求得集合A的补集.【题目详解】?x?1??x?3??0?1?x?3U???1,0,1,2,3?CA???1,3?由解得,故,所以,【题目点拨】本小题主要考查补集的概念及运算,考查一元二次不等式的解法,、B【解题分析】取AM中点O,可确定AM?ON?0;根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得2,利用AM??AM?AN?AM?AO?ON可求得结果.【题目详解】取AM中点O,连接ON,AN?NM,?ON?AM,即AM?ON?0.?DAB?60,??ADM?120,2??222?AM?DM?DA?DM?DA?2DM?DAcos?ADM?4?16?8?28,??12则AM?AN?AM?AO?ON?AM?AO?AM?ON?AM?:B.【题目点拨】本题考查平面向量数量积的求解问题,涉及到平面向量的线性运算,关键是能够将所求向量进行拆解,、D【解题分析】设出M的坐标为(x,y),依据题目条件,求出点M的轨迹方程x2?(y?2)2?8,写出点M的参数方程,则OM·ON?22cos?,根据余弦函数自身的范围,可求得OM·ON结果.:..【题目详解】设M(x,y),则MA?2A?0,?2?∵,MOx2?(y?2)2∴?2x2?y2∴x2?(y?2)2?2(x2?y2)∴x2?(y?2)2?8为点M的轨迹方程????x?22cos?∴点M的参数方程为?(?为参数)????y?2?22sin?则由向量的坐标表达式有:OM·ON?22cos?又∵cos??[?1,1]∴OM·ON?22cos??[?22,22]故选:D【题目点拨】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力,熟练掌握代数式转换,能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积,:①直接法;②定义法;③相关点法;④参数法;⑤待定系数法4、A【解题分析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.【题目详解】因为函数,解得且;函数的定义域为,故选A.【题目点拨】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3)若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式:..、D【解题分析】由f(0)?0可得a?1,所以f(x)?log(x?1)?x2(x?0),由f(x)为定义在R上的奇函数结合增函数+增函数=增2函数,可知y?f(x)在R上单调递增,注意到f(?2)??f(2)??5,再利用函数单调性即可解决.【题目详解】因为f(x)(0)?0,解得a?1,所以当x?0时,f(x)?log(x?1)?x2,且x?[0,??)时,f(x)单调递增,所以2y?f(x)在R上单调递增,因为f(2)?5,f(?2)??5,故有3x?4??2,解得x??:D.【题目点拨】本题考查利用函数的奇偶性、单调性解不等式,考查学生对函数性质的灵活运用能力,、C【解题分析】设过点F作圆x2?y2?b2的切线的切点为T,根据切线的性质可得OT?PF,且|OT|?a,再由PF?2PF和1121|PF|?2a,|PF|?4aTFPOT//PFPF?PF双曲线的定义可得,得出为中点,则有,得到,【题目详解】设过点F作圆x2?y2?b2的切线的切点为T,1?OT?PF,|FT|?|OF|2?b2?a111PF?2PF,PF?PF?2a,PF?4a,PF?2a,212121所以T是FP中点,?OT//PF,?PF?PF,1212?|PF|2?|PF|2?20a2?|FF|?4c2,1212c2?5,?e?:C.【题目点拨】:..本题考查双曲线的性质、双曲线定义、圆的切线性质,意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算能力,、D【解题分析】先求得100名学生中,只能说出一种或一种也说不出的人数,由此利用比例,求得500名学生中对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.【题目详解】在这100名学生中,只能说出一种或一种也说不出的有100?45?32?23人,设对四大发明只能说出一种或一种也说100500不出的有x人,则?,解得x?:D【题目点拨】本小题主要考查利用样本估计总体,、A【解题分析】由f(x)的最小正周期是?,得??2,?即f(x)?sin(2x?)4???????cos??2x?????2?4??????cos?2x???4???cos2(x?),8?因此它的图象向左平移个单位可得到g(x)?:函数f(x)?Asin(?x??)的图象与性质.【名师点睛】三角函数图象变换方法::..9、B【解题分析】连接AC,使AC交BD于点O,连接AO、CF,可证四边形AOCF为平行四边形,可得AO//CF,利用线面平111行的判定定理即可得解.【题目详解】如图,连接AC,使AC交BD于点O,连接AO、CF,则O为AC的中点,1在正方体ABCD?ABCD中,AA//,为平行四边形,1111111111?AC//AC且AC?AC,1111O、F分别为AC、AC的中点,?AF//OC且AF?OC,1111所以,四边形AOCF为平行四边形,则CF//AO,11CF?平面ABD,AO?平面ABD,因此,CF//:B.【题目点拨】本题主要考查了线面平行的判定,考查了推理论证能力和空间想象能力,、D【解题分析】:..先用复数的除法运算将复数z化简,然后用模长公式求z模长.【题目详解】2?i(2?i)(1?3i)?1?7i17解:z====﹣﹣i,1?3i(1?3i)(1?3i)10101012725012????则|z|=???????===.?10??10?10022故选:D.【题目点拨】本题考查复数的基本概念和基本运算,、D【解题分析】y??根据AB中点在轴上,设出A,B两点的坐标A?t,t3?t2,B(t,f(t)),(t?0).对t分成t1,t?1,t1三类,利用ttOA?OB则OA?OB?0,列方程,化简后求得a?,利用导数求得的值域,【题目详解】?32?根据条件可知A,B两点的横坐标互为相反数,不妨设A?t,t?t,B(t,f(t)),(t?0),若t?1,则f(t)??t3?t2,2?32??32?由OA?OB,所以OA?OB?0,即?t?t?t?t?t?0,方程无解;若t?1,显然不满足OA?OB;若t?1,alntalntt'lnt?1??t??t则f(t)?,由,即?t2?t3?t2?0,即a?,因为?,所以函数OA?OB?0??t(t?1)t(t?1)lnt?lnt??lnt?2lntet?0,e??e,???t?e?ey?(1??)在上递减,在上递增,故在处取得极小值也即是最小值,所以函数在上的lnelnt值域为[e,??),故a?[e,??).故选D.【题目点拨】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示,考查化归与转化的数学思想方法,考查利用导数研究函数的最小值,考查分析与运算能力,、D【解题分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的计算公式计算.【题目详解】解:由题意知,iz?2?i,:..2?i?2?i?i?1?2i?z????1?2i,ii2?1∴z?1?2i?12???2?2?5,故选:D.【题目点拨】本题考查复数代数形式的乘除运算,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、?3【解题分析】??注意平移是针对自变量x,所以g(x)?f(x?)?2sin(2x?),再利用整体换元法求值域(最值)【题目详解】??由已知,f(x)?sin2x?3cos2x?2sin(2x?),g(x)?f(x?)?38?????3????2?2sin[2(x?)?]?2sin(2x?),又x??,,故2x??[?,],??8312?88?1233?2sin(2x?)?[?3,2],所以g(x)的最小值为?:?3.【题目点拨】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题,涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用,、2022【解题分析】根据条件先求出数列{a}的通项,,2【题目详解】11a?1??a?1??n?2?,,,?1n??2?a?下面求数列的通项,?a?a?n?3?由题意知,,,??:..1?a?a?a?1??n?3?,,???215?a??a?a???a?a???????a?a??a??n?,????22?a?a?2019?a数列是递增数列,且,?:2022.【题目点拨】本题主要考查归纳推理的应用,结合数列的性质求出数列{a},,215、40【解题分析】根据二项定理展开式,求得r的值,进而求得系数.【题目详解】2r??5?r??根据二项定理展开式的通项式得Crx2?Cr2rx10?3r??5?x?5所以10?3r?4,解得r2所以系数C2?22?405【题目点拨】本题考查了二项式定理的简单应用,、-1【解题分析】作出可行域,如图:11由z?2y?x得y?x?z,由图可知当直线经过A点时目标函数取得最小值,A(1,0)22所以Z?-1min:..故答案为-1三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)y2?4x(2)m?2019【解题分析】(1)设出直线的方程,再与抛物线联立方程组,进而求得点A,B的坐标,结合弦长即可求得抛物线的方程;111(2)设直线的方程,运用韦达定理可得k?k?4,可得a,a之间的关系,再运用??进行裂项,21nn?1aaa?1n?1nn可求得S,【题目详解】p解:(1)设过抛物线焦点的直线方程为y?k(x?),2k2p2与抛物线方程联立得:k2x2?(k2p?2p)x??0,4p2设A(x,y),B(x,y),yy?,11222143PP3所以A(,kP),B(,P),k2P2?3p2,26322?2P??23?8?k??3,BC?????P??,3?3?3????∴P?2,所以抛物线方程为y2?4x?x?m(y?1)x?m?y?1?,?(2)设直线方程为?,y2?4x??y2?4my?4m?0,yy?4m,y?y?4m,1212yyk?k?1?2?4,21xx12??16a?(4a?2)2?4,a?a2?a?a(a?1),n?1nn?1nnnn1111????,aa(a?1)aa?1n?1nnnn:..a11?n?1?(?),a?1aa?1nnn1111111S?2020(????...??)?2020?1?2020aaaaaaa1223202020212021由a?1,a?a(a?1)?1得m??1nn【题目点拨】本题考查了直线与抛物线的关系,考查了韦达定理和运用裂项法求数列的和,考查了运算能力,、(1)144(2)(3)详见解析【解题分析】(1)由题意可计算后三组的频数的总数,由其成等差数列可得后三组频数,,;(2)由题中数据计算k2的值,对照临界值表可得答案;(3)由题意可计算出这8人中不做眼保健操和坚持做眼保健操的分别有2人和6人,可得X可取0,1,2,分别计算出其概率,列出分布列,可得其数学期望.【题目详解】100??3?7?27??63解:(1)由图可知,第一组有3人,第二组7人,第三组27人,因为后三组的频数成等差数列,共有(人)所以后三组频数依次为24,21,18,,??144人100??44?18?32?6?2150(2)k2????,50?50?76?(3)调查的100名学生中不近视的共有24人,从中抽取8人,抽样比为?,这8人中不做眼保健操和坚持做眼243保健操的分别有2人和6人,X可取0,1,2,C0?C21C1C1123C2C015P?X?0??62?,P?X?1??62??,P?X?2??62?,C228C2287C228g88X的分布列:..X0121315P2872811215X的数学期望E?X??0??1??2??【题目点拨】本题主要考查频率分布直方图,独立性检测及离散型随机变量的期望与方差等相关知识,考查学生分析数据与处理数据的能力,、(1)乙同学正确;(2).20【解题分析】??(1)根据变量x,,y,判断出乙正确.(2)由线性回归方程得到的估计数据,计算出误差,求得“理想数据”的个数,由此利用古典概型概率计算公式,求得所求概率.【题目详解】1x,y()已知变量具有线性负相关关系,故甲不正确,x?,y?79,代入两个回归方程,验证乙同学正确,故回归方程为:y??4x?105(2)由(1)得到的回归方程,计算估计数据如下表:x456789y898382797467y898581777369y?y021212由上表可知,“理想数据”,,还要在不符合条件的3个不同数据中抽出1个的方法有3?3??20:..【题目点拨】本小题主要考查回归直线方程的判断,考查古典概型概率计算,考查数据处理能力,、(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解题分析】(1)首先对函数f(x)求导,再根据参数a的取值,讨论f?(x)的正负,即可求出关于f(x)的单调性即可;(2)首先通过构造新函数,讨论新函数的单调性,根据新函数的单调性证明x?x?【题目详解】(1)f?(x)?ex?x?a,令g(x)?f?(x),则g?(x)?ex?1,令g?(x)?ex?1?0得x?0,当x?(??,0)时,g?(x)?0则g(x)在(??,0)单调递减,当x?(0,??)时,g?(x)?0则g(x)在(0,??)单调递增,所以g(x)?g(0)?1?a,min当a?1时,g(x)?1?a?0,即g(x)?f?(x)?0,则f(x)在R上单调递增,min当a?1时,g(x)?1?a?0,min易知当x???时,g(x)???,当x???时,g(x)???,由零点存在性定理知,?x,x,不妨设x?x,使得g(x)?g(x)?0,121212当x?(??,x)时,g(x)?0,即f?(x)?0,1当x?(x,x)时,g(x)?0,即f?(x)?0,12当x?(x,??)时,g(x)?0,即f?(x)?0,2所以f(x)在(??,x)和(x,??)上单调递增,在(x,x)单调递减;1212(2)证明:构造函数F(x)?f(x)?f(?x)?2,x?0,1?1?F(x)?ex?x2?ax?e?x?x2?ax?2,x?0,??2?2?整理得F(x)?ex?e?x?x2?2,:..F?(x)?ex?e?x?2x,F??(x)?ex?e?x?2?2ex?e?x?2?0(当x?0时等号成立),??0,???F?(x)?F?(0)?0所以F(x)在上单调递增,则,F(x)?0,???F(x)?F(0)?0所以在上单调递增,,这里不妨设x?0,欲证x?x?0,212即证x??x由(1)知a?1时,f(x)在R上单调递增,12则需证f(x)?f(?x),12由已知f(x)?f(x)?2有f(x)?2?f(x),1212只需证f(x)?2?f(x)?f(?x),122即证f(x)?f(?x)?2,22F(x)?f(x)?f(?x)?2?0,???x?0由在上单调递增,且时,2有F(x)?f(x)?f(?x)?2?0,222故f(x)?f(?x)?2成立,从而x?x?【题目点拨】本题主要考查了导数含参分类讨论单调性,借助构造函数和单调性证明不等式,、(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)(,??).(3)存在,a?124【解题分析】4m?29(2)设圆心为M(m,0),根据相切得到?5,(2)把直线ax﹣y+5=0,代入圆的方程,计算△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>???x?2??4(3)l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,过点M(2,0),【题目详解】(2)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,4m?29所以?5,即|4m﹣29|=,故m=(x﹣2)2+y2=2.:..(2)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程,消去y,整理得(a2+2)x2+2(5a﹣2)x+2=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣2)2﹣4(a2+2)>0,55即22a2﹣5a>0,由于a>0,解得a>,所以实数a的取值范围是(,??).12121(3)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为?,a1y???x?2??4l的方程为,即x+ay+2﹣4a=0,a由于l垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在l上,33?5?3所以2+0+2﹣4a=0,解得a?.由于??,???,故存在实数a?44?12?4使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.【题目点拨】本题考查了直线和圆的位置关系,、(Ⅰ)a?2(Ⅱ)见证明【解题分析】f??x??aln?x?1??2xf?x?x???1,???f??x??aln?x?1??2x?0(Ⅰ)求导得,由是减函数得,对任意的,都有g?x??aln?x?1??2xa恒成立,构造函数,通过求导判断它的单调性,令其最大值小于等于0,即可求出;f?x?f?0??0x?0f?x??0f?n??02?n?1?ln?1?n??n2?2n(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,则,即,ln?n?1?1nn?21nn?22?n?1?2???a???两边同除以得,,即,从而n?12n?1n?1n2n?1n?11?123n??345n?2?1n?2T?aaa...a?????......????......???,两边取对数n123n2n?234n?1??234n?1?2n?1n?1??n?2?2?ln??n?2?T??ln???2ln?n?2??ln?n?1???n?1?ln2??,然后再证明n2n?1?n?1?????????n2ln?n?2??ln?n?1???n?1?ln2??1?0恒成立即可,构造函数2xh?x??2ln?x?2??ln?x?1???x?1?ln2