十年（2014-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）：专题 概率统计解答题（理科）（原卷版）.docx

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29题型一:二项式定理1.(2019·江苏·第24题).(1)求的值;(2)设,其中,.(2016高考数学江苏文理科·第26题)(1)求的值;(2)设,.求证:.题型二:事件的频率与概率1.(2022新高考全国I卷·第20题)一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生****惯(卫生****惯分为良好和不够良好两类)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:不够良好良好病例组4060对照组1090(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生****惯有差异?(2)从该地的人群中任选一人,A表示事件“选到的人卫生****惯不够良好”,B表示事件“选到的人患有该疾病”.与的比值是卫生****惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标,记该指标为R.(ⅰ)证明:;(ⅱ)利用该调查数据,给出的估计值,并利用(ⅰ),.(2022高考北京卷·第18题)在校运动会上,只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛,比赛成绩达到以上(含),收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:m):甲:,,,,,,,935,,;乙:,,,,,;丙:,,,,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立.(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率;(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数,估计X的数学期望E(X);(3)在校运动会铅球比赛中,甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大?(结论不要求证明)3.(2020年高考课标Ⅰ卷理科·第19题)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,,甲、乙首先比赛,,(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3).(2019·全国Ⅱ·理·第18题)分制乒乓球比赛,每赢一球得分,当某局打成平后,每球交换发球权,先多得分的一方获胜,、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为,乙发球时甲得分的概率为,,甲先发球,;求事件“且甲获胜”.(本小题满分12分)甲、乙两台机床相互没有影响地生产某种产品,,.(Ⅰ)从甲机床生产的产品中任取3件,求其中恰有2件正品的概率(用数字作答);(Ⅱ)从甲、乙两台机床生产的产品中各任取1件,求其中至少有1件正品的概率(用数字作答).6.(2019·天津·理·第16题)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,:随机变量的分布列与期望、方差1.(2022年高考全国甲卷数学(理)·第19题)甲、乙两个学校进行体育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方得10分,负方得0分,,,,,各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲学校获得冠军的概率;(2)用X表示乙学校的总得分,.(2021高考北京·第18题)在核酸检测中,“k合1”混采核酸检测是指:先将k个人的样本混合在一起进行1次检测,如果这k个人都没有感染新冠病毒,则检测结果为阴性,得到每人的检测结果都为阴性,检测结束:如果这k个人中有人感染新冠病毒,则检测结果为阳性,此时需对每人再进行1次检测,得到每人的检测结果,,假设其中只有2人感染新冠病毒,并假设每次检测结果准确.(I)将这100人随机分成10组,每组10人,且对每组都采用“10合1”混采核酸检测.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一组,求检测的总次数;(ii),求X的分布列与数学期望E(X).(II)将这100人随机分成20组,每组5人,且对每组都采用“5合1”,试判断数学期望E(Y)与(I)中E(X)的大小.(结论不要求证明)3.(2019·江苏·第25题)在平面直角坐标系xOy中,设点集,,用随机变量X表示它们之间的距离.(1)当时,求X的概率分布;(2)对给定的正整数,求概率(用表示).4.(2014高考数学陕西理科·第21题)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:作物产量()作物市场价格(元/)概率概率(1)设表示在这块地上种植1季此作物的利润,求的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,.(2014高考数学重庆理科·第18题)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3,从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)表示所取3张卡片上的数字的中位数,求的分布列(注:若三个数满足,则称为这三个数的中位数).6.(2023年新课标全国Ⅰ卷·第21题)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,,,,第1次投篮的人是甲、.(1)求第2次投篮的人是乙的概率;(2)求第次投篮的人是甲的概率;(3)已知:若随机变量服从两点分布,且,(即从第1次到第次投篮)中甲投篮的次数为,.(2020江苏高考·第25题)甲口袋中装有个黑球和个白球,、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋,重复次这样的操作,记甲口袋中黑球个数为,恰有个黑球的概率为,恰有个黑球的概率为.(1)求和;(2)求与的递推关系式和的数学期望(用表示).8.(2014高考数学课标1理科·第18题)从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表);(2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为样本平均数,近似为样本方差.(i)利用该正态分布,求;(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记表示这100件产品中质量指标值为于区间(,)的产品件数,利用(i)的结果,:.若~,.(2014高考数学四川理科·第17题)一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需要击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(Ⅰ)设每盘游戏获得的分数为,求的分布列;(Ⅱ)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(Ⅲ)玩过这款游戏的许多人发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,.(2014高考数学山东理科·第18题)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域,:回球一次,落点在上记3分,在上记1分,,队员小明回球的落点在上的概率为,在上的概率为;对落点在上的来球,小明回球的落点在上的概率为,,:(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(Ⅱ)两次回球结束后,.(2014高考数学辽宁理科·第18题)(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示:将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,.(2014高考数学江西理科·第22题)随机将这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数,A组最小数为,最大数为;B组最小数为,最大数为,记(1)当时,求的分布列和数学期望;(2)令C表示事件与的取值恰好相等,求事件C发生的概率;(3)对(2)中的事件C,表示C的对立事件,判断和的大小关系,.(2014高考数学湖南理科·第17题)某企业有甲、乙两个研发小组,,、乙两组的研发相互独立.(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率;(Ⅱ)若新产品研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品研发成功,.(2014高考数学湖北理科·第20题)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量::亿立方米),不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,,并假设各年的年入流量相互独立.(Ⅰ)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率;(Ⅱ)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?15.(2014高考数学江苏·第25题)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机抽出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机抽出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X).16.(2014高考数学福建理科·第18题)(本小题满分13分)为回馈顾客,:每位顾客从一个装有个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的个球中有个所标的面值为元,其余个均为元,求①顾客所获的奖励额为的概率;②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;(2)商场对奖励总额的预算是元,并规定袋中的个球只能由标有面值为元和元的两种球组成,,请对袋中的个球的面值给出一个合适的设计,.(2014高考数学大纲理科·第20题)设每个工作日甲、乙、丙、,,,,,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,.(2014高考数学北京理科·第16题)李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛相互独立):场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场12212客场1188主场21512客场21312主场3128客场3217主场4238客场41815主场52420客场52512(1)从上述比赛中随机选择一场,.(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,,.(3)记是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这比赛中的命中次数,比较E(X)与的大小(只需写出结论)19.(2014高考数学安徽理科·第17题)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立.(Ⅰ)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(Ⅱ)记X为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望).20.(2015高考数学重庆理科·第17题)(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分),其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,。(1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设表示取到的豆沙粽个数,.(2015高考数学天津理科·第16题)(本小题满分13分)为推动乒乓球运动的发展,,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,.(Ⅰ)设为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”求事件发生的概率;(Ⅱ)设为选出的4人中种子选手的人数,.(2015高考数学四川理科·第17题)某市两所中学的学生组队参加辩论赛,中学推荐3名男生,2名女生,中学推荐了3名男生,4名女生,两校推荐的学生一起参加集训,由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人,女生中随机抽取3人组成代表队(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率.(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设表示参赛的男生人数,.(2015高考数学陕西理科·第19题)(本小题满分12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为,只与道路畅通状况有关,对其容量为的样本进行统计,结果如下:(分钟)25303540频数(次)20304010(Ⅰ)求的分布列与数学期望;(Ⅱ)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区做一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,.(2015高考数学山东理科·第19题)若是一个三位正整数,且的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称为“三位递增数”(如等).在某次数学趣味活动中,每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取个数,:若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被整除,参加者得分;若能被整除,但不能被整除,得分;若能被整除,得分.(I)写出所有个位数字是的“三位递增数”;(II)若甲参加活动,.(2015高考数学湖南理科·第20题)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,.(2015高考数学湖北理科·第20题)(本小题满分12分),使用设备1小时,获利1000元;,,,(单位:吨)是一个随机变量,,使其获利最大,因此每天的最大获利(单位:元)是一个随机变量.(Ⅰ)求的分布列和均值;(Ⅱ)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,.(2015高考数学福建理科·第16题)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(Ⅰ)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(Ⅱ)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,.(2015高考数学北京理科·第16题)(本小题13分),两组各有7位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下:组:10,11,12,13,14,15,16组:12,13,15,16,17,14,假设所有病人的康复时间互相独立,从,两组随机各选1人,组选出的人记为甲,组选出的人记为乙.(Ⅰ)求甲的康复时间不少于14天的概率;(Ⅱ)如果,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;(Ⅲ)当为何值时,,两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明)29.(2015高考数学安徽理科·第17题)(本小题满分12分)已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(Ⅰ)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(Ⅱ)已知每检测一件产品需要费用100元,设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求X的分布列和均值(数学期望).30.(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第19题)(12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.(1)假设生产状态正常,记表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求及的数学期望;(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:,,其中为抽取的第个零件的尺寸,.用样本平均数作为的估计值,用样本标准差作为的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计和().附:若随机变量服从正态分布,则,,.31.(2017年高考数学天津理科·第16题)从甲地到乙地要经过个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.(1)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;(2)若有辆车独立地从甲地到乙地,.(2017年高考数学山东理科·第18题)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙中心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有名男志愿者和名,从中随机抽取人接受甲种心理暗示,另人接受乙种心理暗示.(I)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含但不包含的频率.(II)用表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,.(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第18题)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,,每天需求量与当天最高气温(单位:℃),需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(Ⅰ)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(Ⅱ)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?34.(2017年高考数学江苏文理科·第26题)已知一个口袋有个白球,个黑球(),,并放入如图所示的编号为的抽屉内,(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率;(2)随机变量表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,是的数学期望,证明:35.(2017年高考数学北京理科·第17题)为了研究一种新药的疗效,选名患者随机分成两组,每组各名,一组服药,,记录了两组患者的生理指标和的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(Ⅰ)从服药的名患者中随机选出一人,求此人指标的值小于的概率;(Ⅱ)从图中四人中随机选出两人,记为选出的两人中指标的值大于的人数,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)试判断这名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.(只需写出结论)36.(2016高考数学天津理科·第16题)某小组共10人,,2,3的人数分别为3,3,.(Ⅰ)设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件发生的概率;(Ⅱ)设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,.(2016高考数学山东理科·第19题)(本小题满分12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一个人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,“星队”参加两轮活动,求:(=1\*ROMANI)“星队”至少猜对3个成语的概率;(Ⅱ)“星队”.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第18题)(本题满分12分)某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:上年度出险次数01234保费设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出的概率;(III):概率统计中的决策建议1.(2023年全国乙卷理科·第17题)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为,.试验结果如下:试验序号**********伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记,记样本平均数为,样本方差为.(1)求,;(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高)2.(2021年高考全国乙卷理科·第17题)某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下:,样本方差分别记为和.(1)求,,,;(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高).3.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第18题)(12分)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额(单位:亿元),(时间变量的值依次为)建立模型①:;根据2010年至2016年的数据(时间变量的值依次为)建立模型②:.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第20题)(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为,且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1),若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?5.(2021年新高考Ⅰ卷·第18题)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题,每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束:若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,,否则得0分:B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分,,,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记为小明的累计得分,求的分布列;(2)为使累计得分期望最大,小明应选择先回答哪类问题?:简单的随机抽样与用样本估计总体1.(2022新高考全国II卷·第19题)在某地区进行流行病学调查,随机调查了100位某种疾病患者的年龄,得到如下的样本数据的频率分布直方图:(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率;(3)已知该地区