高中数学奥林匹克竞赛讲座04平面几何证明.doc

该【高中数学奥林匹克竞赛讲座04平面几何证明 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【11】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高中数学奥林匹克竞赛讲座04平面几何证明 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。竞赛专题讲座04-平面几何证明[竞赛知识点拨])利用全等△或相似多边形;2)利用等腰△;3)利用平行四边形;4)利用等量代换;5)利用平行线的性质或利用比率关系6)利用圆中的等量关系等。)转变成相等问题。如要证明a=b±c,可以先作出线段p=b±c,再去证明a=p,即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。2)直接用已知的定理。比方:中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边的一半;△的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。)利用两线平行与垂直的判判定理。2)利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。3)利用比率关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。【竞赛例题分析】【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于CD,连结BE交CD于F。求证:BE均分CD。【分析1】构造两个全等△。连结ED、AC、AF。CF=DF←△ACF≌△EDF←←←∠PAB=∠AEB=∠PFB【分析2】利用圆中的等量关系。连结OF、OP、OB。←∠PFB=∠POB←←注:连结OP、OA、OF,证明A、O、F、P四点共圆亦可。【例2】△ABC内接于⊙O,P是弧AB上的一点,过P作OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。求证:PM=MS充要条件是PN=NT。【分析】只需证,PM·PN=MS·NT。(∠1=∠2,∠3=∠4)→△APM∽△PBN→→PM·PN=AM·BN(∠BNT=∠AMS,∠BTN=∠MAS)→△BNT∽△SMA→→MS·NT=AM·BN1季度趋势预判3】已知作为全球最大的产钢国,全国生铁、粗钢和钢材(含重复材)产量分别为2012为平面上两半径不等的圆年,、,同比分别增加%、P2、Q1Q22012年,,%。在市场不振、铁矿石等原料价格上涨的情况下,%。分析认为,今年钢企生产成本还将不断上涨,降本增效难度大。、【银联信分析】Q12012年,我国重点统计钢铁企业累计实现销售收入、M2分别为P1Q1月全行业损失,3-5月略有盈利,6-9月又出现损失,2月有所好转。在市场不振、铁矿石等原料价格上涨的情况下,%2=∠M1AM2。,/【分析】设B美元交P1P212月底,铁矿石价格快速反弹至近160美元/吨。O12012年,我国黑色金属矿精选业投资额为1529亿元,%,;黑色金属冶炼及压延投资额为2的中点,且P13、钢材价格震荡下行。2012年的前P2M2,故CM为M1M2的中垂线。在O1M上截取MO3=MO2,则∠M1AO3=∠M2AO2。故只需证∠O1AM1=∠O3AM1,即证。由△P1O1M1∽P2O2M2,M1O3=M2O2,O1P1=O1A,O2P2=O2A可得。【例4】在△ABC中,AB>AC,∠A的外角均分线交△ABC的外接圆于D,、⊥AB于E,求证:AE=新湖中宝圈地套贷14【分析】方法1、2AE=AB-AC←【银联信分析】在一、新湖中宝闲置项目存蹊跷,只需证BF=AC,连结DC一宗是近期新动工的“新湖?中宝青蓝国际”项目。项目的建设单位是新湖中宝的全资子企业上海中瀚置业有限企业。该项目的蹊跷之处在于,新湖中宝在1月26←DF=DA,∠DBF=∠DCA,30亿元的定增方案。在方案中,此项30亿元的募集资本用途就包括了“新湖?中宝青蓝国际”项目在内的5∠DAF=∠DAG。在新湖中宝30亿元定增方案出台的当年,其已将此项目质押给当地农业银行获得了CA至G,使(二)=CG←2010年4月10日△DBE≌△新湖中宝在入主“华商大公馆”此后,以土地和项目工程为质押,获得了农业银行奉贤支行←2010年3月19日、3月26日和8月【例5】∠ABC的极点B在⊙O外,BA、BC均与⊙O订交,过BA与圆的交点K引∠ABC均分线的垂线,交⊙O于P蹊跷的是,据时间进度来看,2010年3月时期,新湖置业获得2亿元贷款放款,随后4月,新湖中宝方面就以项目微调的名义通知紫天投资,要对项目停工。此刻来看,它极有可能就是做好了打算的,动工就是为了拿贷款。在获得贷款后的2010年4月22日,新湖置业却又分别向嘉兴新国浩商贸有限企业和上海众孚实业有限企业汇款3000万元和2000万元,于2010年8月13日又向上述两家企业分别汇款1444万元和2556万元。而这两家企业均为新湖中宝的全资子企业。二、银行涉嫌利益输送上述两个项目都涉及银行巨额贷款,又都蹊跷的间歇动工、闲置,背后企业涉嫌圈地套贷,银行涉及利益输送。一方面,“新湖?中宝青蓝国际”项目中,动工之际倒是国开行30亿元的贷款洽谈之时,在外界人士看来,新湖中宝选择在此时动工建设“新湖?中宝青蓝国际”也可是“为了做做样子,从银行拿到巨量贷款却不动工实在有些说但是去。“华商大公馆”项目中,时间点更是明显,拿到贷款后即停工。另一方面,一般来说,工程贷款都要依照项目动工的进度分批进行发放,但明显停工了,还发放这么多贷款。令人对银行的行为不解。但是经查察《新湖置业2010年财务决算报告》或许能解答我们的疑问,《新湖置业2010年财务决算报告》清楚显示,2010年新湖置业支付了农行200万元的财务顾问费。,则D银行不但在贷款初期涉嫌违规放贷,目前贷款的回收还存在极大的隐患。第一,目前该项目涉嫌被回收危局。2012∴∠D‘PK=∠月1BL均分∠ABC第二,企业过半股权被质押。整理公开资料发现,从2008年起,新湖中宝旗下子企业总计21次将股权质押给信托机构,涉及上海的中宝青蓝国际、启东的围垦项目、天津的国际商贸城、平阳海涂围垦、九江庐山国际等多个项目。截止2012年12月30日,A股上市企业股权被质押次数最多的即是新湖中宝,共有32次。特别目前,→∠DKB=%DMK∴∠年三季报显露,%,昨年1-9月,,同比下降∴DMPD‘为平行四边形。亿元,同比大幅下降6而在1月22日∠A的均分线,年年度业绩预增通知。通知显示,经财务部门初步测算,预计2012年年度实现归属于上市企业股东的净利润与上年同期对照,将增加65%-85%。2011年,。那么这样算来,-。,AM的延长线交BHQ,求证:PQ∥AB。【分析】方法1、结合中线和角均分线的性质,考虑用比率证明平行。倍长中线:延长AM至M’,使AM=MA‘,连结BA’,如图6-1。PQ∥AB←←←←∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP=180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ方法2、结合角均分线和BH⊥AH联想对称知识。延长BH交AC的延长线于B’,如图6-2。则H为BB‘的中点,因为M为BC的中点,连结HM,则HM∥B/C。延长HM交AB于O,则O为AB的中点。延长MO至M’,使OM‘=OM,连结M’A、M‘B,则AM’BM是平行四边形,∴MP∥AM‘,QM∥BM’。于是,,所以PQ∥AB。【例7】菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H,在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。求证:MQ∥NP。(95年全国联赛二试3)【分析】由AB∥CD知:要证MQ∥NP,只需证∠AMQ=∠CPN,结合∠A=∠C知,只需证△AMQ∽△CPN←,=AQ·CP。连结AC、BD,其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K,连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ,∠MOK=α,∠KON=β,则∠EOM=α,∠FON=β,∠EOF=2α+2β=180°-2φ。∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是,∴=AO·CO同理,AQ·CP=AO·CO。【例8】ABCD是圆内接四边形,其对角线交于P,M、N分别是AD、BC的中点,过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证:KP⊥AB。【分析】延长KP交AB于L,则只需证∠PAL+∠APL=90°,即只需证∠PDC+∠KPC=90°,只需证∠PDC=∠PKF,因为P、F、K、E四点共圆,故只需证∠PDC=∠PEF,即EF∥DC。←←←△DME∽△CNF【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线,垂足分别是F、G,线段DG、EF交于点M。求证:AM⊥BC。【分析】连结BE、CD交于H,则H为垂心,故AH⊥BC。(同一法)设AH⊥BC于O,DG、AH交于M1,EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。OM1∥DF→→OM1=。OM2∥EG→→OM2=。只需证OG·DF=EG·OF,即Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。内容总结(1)竞赛专题讲座04-平面几何证明[竞赛知识点拨])利用全等△或相似多边形(2)竞赛专题讲座04-平面几何证明[竞赛知识点拨])利用全等△或相似多边形(3)5)利用平行线的性质或利用比率关系6)利用圆中的等量关系等(4)利用勾股定理的逆定理可证明垂直等