高等数学第9章参考答案.docx

该【高等数学第9章参考答案 】是由【泰山小桥流水】上传分享，文档一共【14】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【高等数学第9章参考答案 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。精品文档精品文档1精品文档精品文档第八章 多元函数的微分法及其应用多§元函数概念一、设f(,)x2y2,(,)x2y2,求:f[(,),2].xyxyxyy答案:f((x,y),y2)(x2y2)2y4x42x2y22y4二、求下列函数的定义域:1、f(x,y)x2(1y){(x,y)|(x,y)R2,y2x21};1x2y22、zy{(x,y)|yx,x0};arcsinx三、求下列极限:1、limx2siny(0)x2y2(x,y)(0,0)2、lim,2)(1y)3x(e6)(x,y)(x四、(x,y)(0,0)xy证明:当沿着x轴趋于(0,0)时,极限为零,当沿着yx2趋于(0,0)时,极限为1,二者不相等,所以极限不存在2xysin1,(x,y)(0,0)五、证明函数f(x,y)x2y2在整个xoy面上连续。0,(x,y)(0,0)证明:当(x,y)(0,0)时,f(x,y)为初等函数,连续。当(x,y)(0,0)时,limxysin10f(0,0),所以函数在(0,0)也连续。所以函数x2y2(x,y)(0,0)在整个xoy面上连续。六、设zxy2f(xy)且当y=0时zx2,求f(x):f(x)=x2x,zx22y22xyy精品文档精品文档2精品文档§2偏导数yzz1、设z=xyxex,验证xyxyzxy证明:zyyyyyexyex,zxex,、求空间曲线:zx2y23,1,1)处切线与y轴正向夹角()1在点(y22423、设f(x,y)xy(y1)2arcsinx,求fx(x,1)(1)yzu,u,u4、设uxy,求xyzuzz1uzzu1zxyxylnxylnx,解:yyy2zxxy5、设ux2y2z2,证明:2u2u2u2x2y2z2u6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续?是否可导(偏导)?说明理由f(x,y)xsin1y2,x2y20x2x2y20,0limf(x,y)0f(0,0)连续;fx(0,0)limsin1不存在,fy(0,0)lim000x0x0x2y0y0y07、设函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在,求limf(ax,b)f(ax,b)x0x2fx(a,b))3 全微分 §1、单选题1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________嫗轍锕亵树賧铹謠劝虿毙屦獰鹘锌。必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件(2)对于二元函数 f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是 ___偏导数不连续,则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在(C)全微分存在,则偏导数必连续(D)全微分存在,而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分:韧礦驗攝鸷鲒鈽繡躪頁鸦悭赶沒赵。yyy2dx1dy)1)zexdzex(xx2)zsin(xy2)解:dzcos(xy2)(y2dx2xydy)yyyy3)uy11xzlnxdyy2xzlnxdzxz解:、设zycos(x2y),求dz)(0,4解:dzysin(x2y)dx(cos(x2y)2ysin(x2y))dydz|(0,)=dxdy44z21(、设f(x,y,z)求:df(1,2,1)2dx4dy5dz)4x2y2255、讨论函数f(x,y)(x2y2)sin1y2,(x,y)(0,0)x2在(0,0)点处0,(x,y)(0,0)的连续性、偏导数、可微性解:lim(x2y2)sin10f(0,0)所以f(x,y)在(0,0)点处连续。(x,y)(0,0)x2y2fx(0,0)limf(x,0)f(0,0)0,fy(0,0)limf(0,y)f(0,0)x0(x,y)(0,0)(x,y)(0,0)yf(x,y)00,所以可微。(x)2(y)24多元§复合函数的求导法则1、设zuv,usint,vet,求dzdzdtet1tlnsint(sint)ett解:=cost.(sint)eedtz,z2、设z(xy)2x3y,,求xyz(2x3y)(xy)2x3y13(xy)2x3yln(xy),y3、设zxnf(y可微,证明xz2yznz2),fxyx4、设zf(x2y2,2xy),其中f具有二阶连续偏导数,求2z,2z,2zx2xyy2解:z2xf12yf2,xz2yf12xf2,2z2x(f11(2y)f122x)2f22y(f21(2y)f222x)yxy=2f14xyf114(x2y2),2z2f14y2f118xyf124x2f222f114yf22y2x5、设zf(xy,y)g(x),其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数,求2zxyxy解:zf1yyf21g,xx2y2zf1y(f11xf121)12f2y2(f12xf221)12gx3gxyxxxxyy6、设uF(x,y,z),zf(x,y),ydu(x),求解:dudxF1F2(x)F3(fxfy(x))。dxux2y2z2z2z2z7、设zz(u,v),且变换=0化为可把方程6x2xyy20,vxayuv其中z具有二阶连续偏导数,求常数a的值(a3)证明:zzzz2zaz2z2z2z2uxuvyuvx2u2uvv22z42z4a2za22u2z22z(a2)2za2uy2u2uvv2xyu2uvv2得:(105a)2z(6aa2)2u0a=3uvv2/(1,1)a,f2/(1,1)8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数,f(1,1)=1,f1b又,(x)fx,f[x,f(x,x)]求(1).和/(1)(1),23(a+ab+ab+b)隐函数的求导公式§1、设ylnyxy,求dydxdy1解:令F(x,y)ylnyxy,Fx1,Fylny,lnydx2、设zz(x,y)由方程x2y2z2yf(z)确定,其中f可微,证明y(x2y2z2)z2xyz2xzxy3、设zz(x,y)由方程xeyzf可微,求2zz所确定,其中xyzz,zz,2zzxx(1z)y1zxyx(1z)(dyx,dz0)4、设zx2,求dy,dzy2dxdxdxydx5、设zz(x,y)由方程F(xy,yz,xz)0所确定,F可微,求z,zxy解:令F(x,y,z)F(xy,yz,xz),则zFxF1yzF3,zFyF1xF2xFzF2xF3yFzF2xF36、设zf(x,y)由方程zxyezxy0所确定,求dz(dzdxdy)7、设z=z(x,y)由方程3xyxcos(yz)z3zzy所确定,求,,(yz),(yz)1x3z2xysin(yz)y3z2xysin(yz)微分法在几何中的应用§精品文档精品文档10精品文档1、 求螺旋线解:切线方程为x2cost,y2sint,z3t在对应于t处的切线及法平面方程34x2y2z4223精品文档精品文档14精品文档法平面方程2(x2)2(y2)3(z3)0x2y2z242、求曲线50在(3,4,5)处的切线及法平面方程z2x2y2解:切线方程为x3y4z54x3y0430,法平面方程:3、求曲面2x23y2z29在(1,-1,2)处的切平面及法线方程解:切平面方程为2(x1)3(y1)2(z2)0x1y1z2及法线方程2324、设f(u,v)可微,证明由方程f(axbz,aybz)0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明:令F(x,y,z)f(axbz,aybz),则Fxf1a,Fyf2a,Fzbf1bf2,n(f1a,f2a,bf1bf2)n(b,b,a)0,所以在(x0,y0,z0)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。22225、证明曲面x3y3z3a3(a0)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为a22222111证明:令F(x,y,z)x3y3z3a3,则Fx2x3,Fy2y3,Fz2z3,,y0,z0处的切平面方程为x03(xx0)y03(yy0)z03(zz0)0121212a2在在三个坐标轴上的截距分别为x03a3,y03a3,z03a3,在三个坐标轴上的截距的平方和为证明曲面zxf(y)上任意一点M(x0,y0,z0),(x00)处的切平面都通过原点xtkF(x,y,z)7、设F(x,y,z)具有连续偏导数,且对任意实数t,总有F(tx,ty,tz)k为自然数,试证:曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明:F(tx,ty,tz)tkF(x,y,z)两边对t求导,并令t=1xFxyFyzFzkF(x,y,z)设是曲面上任意一点,则过这点的切平面为:Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0此平面过原点(0,0,0)7方向导数与梯度§1、设函数f(x,y)x2xyy2,1)求该函数在点(1,3)处的梯度。2)在点(1,3)处沿着方向l的方向导数,并求方向导数达到最大和最小的方向解:梯度为gradf(1,3)i5j,f(1,3)cos5sin,方向导数达到最大值的方向为s(1,5),方向导数达到l最小值的方向为s(1,5)。2、求函数uxy2yz2zx2在(1,2,-1)处沿方向角为6009001500的方向导数,并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解::方向导数为u133,该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向l(1,2,1)2ugradu(1,2,1)2i5j3k,此时最大值为(1,2,1)38l3、求函数uxy2z3在(1,1,-1)处沿曲线xt,yt2,zt3在(1,1,1)处的切线正方向(对应于t增大的方向)的方向导数。解::uy2z3,u2xyz3,u3xy2z2,s(1,2,3),该函数在点(1,1,-1)处的方xyz向导数为u(1,1,1)4,l144、求函数uln(y2z2x2)在(1,1,-1)处的梯度。解::u2xz2,u2yz2,u2z,xx2y2yx2y2zx2y2z2gradu(1,1,1)§8多元函数的极值及求法1、求函数f(x,y)3x23y22x2y2的极值。答案:(1,1)(x,y)2lnx18lny的极值答案:极小值f(1,3)1018ln3函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值,求常数a(-5)4、求函数zx2y21在条件xy30下的条件极值解:F(x,y,)x2y21(xy3)Fx0(2,2),极小值为11Fy03325、欲造一个无盖的长方体容器,已知底部造价为3元/平方,侧面造价均为1元/平方,现想用36元造一个容积最大的容器,求它的尺寸。(长和宽2米,高3米)6、在球面x2y2z25r2(x0,y0,z0)上求一点,使函数f(x,y,z)lnxlny3lnz达到极大值,并求此时的极大值。利用此极大值证明a,b,c有abc327(abc)552222)证明:令Llnxlny3lnz(xyz5r令L0,L0,L0,x2y2z25r2解得驻点xyr,z3r。所以函数xyzf(x,y,z)lnxlny3lnz在xyr,z3r处达到极大值。极大值为ln(33r5)。即xyz333r5x2y2(z2)327(r2)527(x2y2z2)5,令27(abc)5。5x2a,y2b,z2c,得abc3、求椭球面x2y25z21被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的732长度解:Fx2y2z21(x2y2z21)2(xyz)32Fx2x21x203Fy2y1y2032,yFy2z21z20x22,z2(12x2y222(31)11)z132z0xy1(x2y2z2),短半轴1113666第八章自测题一、选择题:(每题2分,共14分)xy21、设有二元函数f(x,y)x2y4,(x,y)(0,0),则[]0,(x,y)(0,0),A、limf(x,y)存在;(x,y)(0,0)B、limf(x,y)不存在;(x,y)(0,0)C、limf(x,y)存在,且f(x,y)在(0,0)处不连续;(x,y)(0,0)D、limf(x,y)存在,且f(x,y)在(0,0)处连续。(x,y)(0,0)2、函数f(x,y)在P0(x0,y0)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x0,y0)连续的[]A、必要条件;B、充分条件;C、充要条件;D、既非必要也非充分条件。精品文档精品文档19精品文档3、函数f(x,y)xy,xy,在(0,0)点处[]xy0,xyA、极限值为1;B、极限值为-1;C、连续;D、无极限。4、zf(x,y)在P0(x0,y0)处fx(x,y),fy(x,y)存在是函数在该点可微分的(A)必要条件;(B)充分条件;(C)充要条件;(D)既非必要亦非充分条件。5、点O(0,0)是函数zxy2的[](A)极小值点;(B)驻点但非极值点;(C)极大值点;(D)最大值点。6、曲面ezzxy3在点P(2,1,0)处的切平面方程是[](A)2xy40;(B)2xyz4;(C)x2y40;(D)2xy507、已知函数uf(t,x,y),x(s,t),yu(s,t)均有一阶连续偏导数,那么fxfyftfxfyt(A)tt;(B)tt;(C)ftft;(D)ftftft二、填空题:(每题3分,共18分)1、limx2siny(0)y2(x,y)(0,0)x2[ ][ ]精品文档精品文档14精品文档32、设 f(x,y,z) exyz,则 f ( exyz(1 3xyz x2y2z2) )xyz精品文档精品文档14精品文档精品文档精品文档14精品文档