高中数学必修一知识点整理.pdf

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anx$时,$x$不能等于等等。对于由基本初等函数的四则运算而合成的函数,其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集。在求复合函数的定义域时,一般需要先确定最内层函数的定义域,然后逐层向外确定函数的定义域。数x1和x2,有x1f(x2)(单调递减)。判定方法对于函数y=f(x),求出其导函数y'=f'(x),然后判断导函数的正负性即可确定函数的单调性。如果在某个区间上导函数恒大于0,则函数在该区间上单调递增;如果恒小于0,则函数在该区间上单调递减。:..,且该点左侧导函数为负,右侧导函数为正,则该点为函数的极小值点;反之,该点为函数的极大值点。最大(小)值函数的最大(小)值是指在定义域内,函数取到的最大(小)值。常用方法观察法:对于简单的函数,可以通过观察函数图象或解析式直接得出最值。导数法:对于可导函数,求出其导函数,然后解方程f'(x)=0,得到极值点,再比较该点和端点的函数值,即可确定最值。区间端点法:对于定义域为闭区间的函数,比较函数在区间端点处的函数值,即可确定最值。】奇偶性与周期性奇偶性定义如果对于定义域I内的任意x,有f(-x)=f(x)(偶函数)或f(-x)=-f(x)(奇函数),则称函数f(x)具有奇偶性。性质:..轴对称,奇函数的图象关于原点对称。偶函数的积分在[-a,a]上的值等于2倍的在[0,a]上的积分值,奇函数的积分在[-a,a]=f(x),判断f(-x)和f(x)的关系即可确定函数的奇偶性。如果f(-x)=f(x),则函数为偶函数;如果f(-x)=-f(x),则函数为奇函数;如果f(-x)与f(x)无关系,则函数既不是偶函数也不是奇函数。周期性定义如果存在一个正数T,使得对于定义域I内的任意x,有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数,T为函数的周期。性质周期函数的图象在任意一个周期内都是相似的。周期函数的积分在一个周期内的值相等。判定方法对于函数y=f(x),判断f(x+T)和f(x)的关系即可确定函数的周期性。:..,则函数为周期函数,T为其周期;如果f(x+T)与f(x)无关系,则函数不是周期函数。f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数;如果函数既不是偶函数也不是奇函数,则称函数为既非偶函数也非奇函数。判定方法对于一个函数f(x),可以通过以下方法判断它的奇偶性:1)利用函数定义式,即判断f(-x)与f(x)的关系;2)利用函数图象,对于偶函数,其图象关于y轴对称;对于奇函数,其图象关于原点对称;3)利用函数性质,如对于两个奇函数的乘积为偶函数,两个偶函数的乘积为偶函数,一个偶函数和一个奇函数的乘积为奇函数等。函数的周期性:..,使得对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为周期函数,T为函数f(x)的一个周期。可以通过以下方法判断一个函数是否为周期函数:1)利用函数定义式,即判断f(x+T)与f(x)的关系;2)利用函数图象,周期函数的图象在一个周期内重复出现;3)利用函数性质,如正弦函数和余弦函数都是周期函数,周期分别为。小结:本节主要介绍了函数的单调性、图象判定方法、最大(小)值定义、奇偶性和周期性等概念。对于函数的单调性,可以通过函数的导数来判断;对于函数的图象判定方法,可以通过利用定义、已知函数的单调性、函数图象和复合函数等方法来判断;对于函数的最大(小)值,可以通过定义来判断;对于函数的奇偶性和周期性,可以通过函数定义式、函数图象和函数性质等方法来判断。象判定函数的性质:..,有f(-x)=-f(x),则函数f(x)为奇函数;若对于定义域内任意一个x,有f(-x)=f(x),则函数f(x)为偶函数。可以通过以下两种方法来判定函数的奇偶性:1)利用定义,先判断定义域是否关于原点对称;2)利用图象,判断图象是否关于y轴或原点对称。若函数f(x)为奇函数且在x=0处有定义,则f(0)=,偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反。在公共定义域内,两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数),两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数,一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数。函数的图象可以通过描点法和基本函数图象的变换来作图。在作图时,需要先确定函数的定义域,化解函数解析式,讨论函数的性质(奇偶性、单调性),然后画出函数的图象。在变换图象时,可以进行平移、伸缩、对称等变换。:..变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性。需要注意图象与函数解析式中参数的关系。函数图像可以直观地展示函数的性质,是研究数量关系问题的重要工具,也是探求解题途径、获得问题结果的重要手段。因此,我们应该重视数形结合的思想方法。,如果xn=a(aR,x∈R,n>1,且n∈N+),那么x叫做a的n次方根。当n是奇数时,a的n次方根用符号na表示;当n是偶数时,正数a的正的n次方根用符号na表示,负的n次方根用符号na表示。负数a没有n次方根。根式的概念指的是na,其中n叫做根指数,a叫做被开方数。当n为奇数时,a可以是任意实数;当n为偶数时,a≥0.:..;当n为奇数时,nan=a;当n为偶数时,,a=-a(a<0)。正数的正分数指数幂的意义是:a=na^m(a>0,m,nN+,且n>1)。正数的负分数指数幂的意义是:a^(-m/n)=1/(a^(m/n))(a>0,m,n∈N+,且n>1)。指数幂没有意义。可以记住口诀:底数取倒数,指数取相反数。分数指数幂的运算性质:①ar×as=ar+s(a>0,r,s∈R);②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);③(ab)^r=a^r×b^r(a>0,b>0,r∈R)。=ax(a>0且a≠1)。其图像在第一象限内,当a越大时,图像越高;在第二象限内,当a越大时,图像越低。指数函数的定义域为R,值域为(0,+∞)。其图像过定点(0,1),即当x=0时,y=,在R上减函数,既不是奇函数也不是偶函数。:..,如果ax=N(a>0且,那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做底数,N叫做真数。负数和零没有对数。对数与指数是互相转化的,即$x=log_aN$等价于$ax=N$,其中$a>0,a≠1,N>0$。同时,对数有几个重要的恒等式,即$log_a1=0$,$log_aa=1$,$log_ab=log_am+log_an$,其中$a>0,a≠1,b>0,m>0,n>0$。常用的对数是以10为底的对数,记作$lgN$,自然对数是以$e$为底的对数,记作$lnN$,其中$e=2..$。对数有加法、减法、数乘、换底公式等运算性质,满足$a>0,a≠1,M>0,N>0$的条件。对数函数是指$y=log_ax$,其中$a>0,a≠1$。其定义域为,值域为。对数函数的图象在第一、四象限内,随着$a$的增大而下降,反之则上升。对数函数是非奇非偶函数,在上是增函数,在上是减函数。对数函数的图象过定点$(1,0)$。:..的反函数$y=f^{-1}(x)$,满足对于$f(x)$的值域中的任何一个值,都能通过$x=f^{-1}(y)$唯一确定$x$的值。反函数的求法是确定反函数的定义域,从原函数式中反解出$x=f^{-1}(y)$,再将其改写成$y=f^{-1}(x)$并注明反函数的定义域。=f(x)与反函数y=f^-1(x)的图像关于直线y=x对称。=f(x)的定义域和值域分别是其反函数y=f^-1(x)的值域和定义域。(a,b)在原函数y=f(x)的图像上,则点P'(b,a)在反函数y=f^-1(x)的图像上。,函数y=f(x)必须是单调函数才有反函数。,其中x为自变量,α为常数。幂函数的性质包括:、二、三象限,当其为偶函数时,还分布在第一、二象限,当其为奇函数时,还分布在第一、三象限,当其为非奇非偶函数时,只分布在第一象限。:..(1,1)处经过。,幂函数在[0,∞)上为增函数;当α<0时,幂函数在(0,∞)上为减函数,并且在第一象限内,其图像无限接近于x轴和y轴。,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函数为偶函数。若α=p/q(p、q互质,p和q为整数),则当p为奇数q为奇数时,幂函数为奇函数;当p为奇数q为偶数时,幂函数为偶函数;当p为偶数q为奇数时,幂函数为非奇非偶函数。=x^α(x(0,∞))的图像特征为,当α>1时,若01,其图像在直线y=x上方;当α1,其图像在直线y=x下方。补充:二次函数二次函数可以有三种形式的解析式:一般式、顶点式和两根式。选择哪种形式取决于已知条件。二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)的图像是一条抛物线,对称轴方程为x=-b/2a,顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。求二次函数解析式的方法包括:,宜用一般式。:..值有关时,常使用顶点式。,且横坐标已知时,选用两根式求f(x)更方便。当$a>0$时,抛物线开口向上,函数在rac{b}{2a})$上递减,在上递增,当$x=-rac{b}{2a}$时,$f_{min}(x)=rac{4ac-b^2}{4a}$;当$a<0$时,抛物线开口向下,函数在上递增,在上递减,当$x=-rac{b}{2a}$时,$f_{max}(x)=rac{4ac-b^2}{4a}$。二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(aeq0)$当4ac>0$时,图象与$x$轴有两个交点$M_1(x_1,0),M_2(x_2,0),|M_1M_2|=|x_1-。一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达:..一元二次方程实根的分布。设一元二次方程$ax^2+bx+c=0(aeq0)$的两实根为$x_1,x_2$,且。令$f(x)=ax^2+bx+c$,从以下四个方面来分析此类问题:开口方向:$a>0$时,抛物线开口向上;$a<0$时,抛物线开口向下。②对称轴位置:对称轴的方程为$x=-rac{b}{2a}$。③判别式:。④端点函数值符号:。分别考虑如下情况:①$k0$。:..③。④$k_10$且$f(k_2)>0$。⑤有且仅有一个根$x_1$(或$x_2$)满足$k_1<x_1$(或$x_2$),并同时考虑$f(k_1)=0$或$f(k_2)=0$这两种情况是否也符合。函数的应用方程的根与函数的零点:函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,且f(a)0,证明方程f(x)=0在区间[a,b]上有且只有一个实根。证明:由题意得f(a)0,因为f(x)单调递增,所以f(x)在区间[a,b]上单调递增。:..在区间[a,b]上必有一个实根。假设f(x)=0在区间[a,b]上有两个实根x1和x2(x1<x2),则由介值定理可知,f(x)在区间(x1,x2)上必有一个零点,与假设矛盾,故f(x)=0在区间[a,b]上只有一个实根。函数零点的概念:对于函数y=f(x)(xD),使得f(x)=0成立的实数x称为函数y=f(x)的零点。函数零点的意义:函数y=f(x)的零点是方程f(x)=0的实根,也就是函数y=f(x)的图像与x轴交点的横坐标。函数零点的求法:求函数y=f(x)的零点,可以通过代数法求解方程f(x)=0的实数根。几何法是一种解决无法用求根公式求解的方程的方法,它将方程与函数y=f(x)的图像联系起来,并利用函数的性质来找出零点。对于二次函数,它的零点可以通过以下三种情况来判断::..>0时,方程ax^2+bx+c=0有两个不相等的实根,也就是说二次函数的图像与x轴有两个交点,因此二次函数有两个零点。2)当判别式△=0时,方程ax^2+bx+c=0有两个相等的实根,也就是说二次函数的图像与x轴有一个交点,因此二次函数有一个二重零点或二阶零点。3)当判别式△<0时,方程ax^2+bx+c=0无实根,也就是说二次函数的图像与x轴无交点,因此二次函数无零点。