2021年华师大一附中自主招生数学试题含详解.pdf

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riangleABC$是等腰直角三角形,因此选B。,它们的外接圆直径最小。显然,这个圆是等腰梯形ABCD的外接圆O,其中CD$且$CD=40$,$AB=80$。设此等腰梯形对称轴交$AB$于$M$,交$CD$于$N$,则$MN=80$。因为$AB>CD$,所以$OM<ON$。设$OM=40-x$,$ON=40+x$,圆半径为$r$。:..中,$r=40+(40-x)^2/80$;在$ riangleDON$中,$r=20+(40+x)^2/80$。代入公式得:$1200-160x=0$,解得$x=15$。因此,$r^2=400+9025/4=625 imes17/4$,$r=17$。所求最小圆直径为$2r=34$,因此选C。,将$ riangleABC$内接圆$O$的圆心$O$连接到$D$点,$OD$的垂足为$E$,$BE$与$OD$垂直,$BE$与$AC$相交于$N$。在$BC$上取$B$,$D_1$,$D_2$,$D_3$,$C$五个点,其中,则相应动点依次为$B$,$E_1$,$E_2$,$E_3$,$N$。,因此点$E$的轨迹是以$OB$为直径的圆弧$BE_2N$。已知$BC=36$,因此$BE_2=18$。$ riangleBOE_2$是一个含有角的直角三角形,因此$OB=123$。:..为$OB$的中点,连接$MN$。则圆$M$的半径$MB=63$。根据圆的性质,$BE_2=18$,$BN=36$,因此。因此,。当$D$点到达$C$点时,$E$点的路线长为,化简得。因此选B。注意到BOC=120°,因此∠BON=60°,∠BMN=120°。优弧BEN之长为圆M的周长的1/22,因此。因此选B。解析:本题没有格式错误和明显有问题的段落,只需要改写一下每段话的表达即可。$x+16=4x(x+1)$,:将方程化为$-4x^2+16x+16=0$,根据广义韦达定理可知,方程的三个根的和为4,即$x_1+x_2+x_3=-rac{b}{a}$,其中$a=-4$,$b=16$。:..:根据原方程,得到$(x-4)(x+2)(x-2)=0$,因此方程的三个根为$x_1=4$,$x_2=-2$,$x_3=2$,,其中有2瓶已过保质期。取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为多少?解析:由于从5瓶饮料中任取2瓶,没有过期饮料的概率为$rac{3 imes2}{5 imes4}=rac{3}{10}$,因此取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为$1-rac{3}{10}=rac{7}{10}$。$x$的方程$rac{2a}{a-1}=x-1$无解,那么$a$的值为多少?解析:将方程化简得$2a=(a-1)(x-1)$。如果方程无解,则$a$$a=0$时,方程左边为0,右边不为0,因此方程无解;当$a=1$时,方程左边为0,右边也为0,因此方程无限解。因此$a$,分别以各自的速度匀速行驶。1小时后,快车司机发现忘记了一份重:..快车先到达了乙地,而慢车继续行驶到了甲地。设慢车的速度为,两车之间的距离为$y$,$y$与$x$的函数图像如下图所示。求$a$的值。解析:,因此$x =1000$,解得$x=80$。设快车的速度为$t$,则1小时后两车相距800km,即共行驶了200km,因此$t=120$。设两车相遇时的时间为$a$小时,则此时慢车走了$80a$km,快车走了$120(a-1)$km,因此有$80a+120(a-1)=1000$,解得$a=$。,当时,函数$y=2x-3ax+4$的最小值为$-23$,求$a$的值。解析:将函数$y=2x-3ax+4$配方得到$y=2(x-a)^2+(4-a)$,因此抛物线开口向上,对称轴为$x=a$。当$x=a$时,$y=4-a$,因此$4-a=-23$,解得$a=27$。但是由于,因此$a$+3x+1=0的两根为m和n。:..m+n=-3,mn=,得到:m+5-2(5-m)|/(3-m)=|m-5-2(5-m)|/(m-5)6-3m|/(3-m)=|4m-15|/(m-5)4(m-5)+5|/(m-5)=|4(5-m)-5|/(5-m)=|3-4m|/(5-m)因为m+n=-3,所以n=-3-m。将n代入式子中,同理可得:6+3n|/(3+n)=|4n-15|/(n+5)=|3-4n|/(5+n)所以:m+5-2(5-m)|/(3-m)*|6+3n|/(3+n)*|4n-15|/(n+5)*|3-4m|/(5-m)m-5-2(5-m)|/(m-5)*|4m-15|/(m-5)*|3-4n|/(5+n)*|4(n+5)+5|/(n+5)6-3m)/(3-m)*(6+3n)/(3+n)*(4n-15)/(n+5)*(3-4m)/(5-m)*(4m-15)/(m-5)*(3-4n)/(5+n)将n=-3-m代入上式,化简得到:1/2)*(m+3)/(m+1)*(2m-5)/(m-5)*(2m+1)/(m+3)*(4m-15)/(m-5)*(3-4m)/(m+2):..2m-5)^2*(4m-15)*(3-4m)=-32*(m+1)*(2m+1)*(m-5)^2*(m+2)化简后得到二次方程,解得m=1或m=5/,可得到对应的结果。因此,答案为1或-1/)根据题意,有:m^3*n^3/(nm)=m^2*n^2=(mn)^2=1因为mn=1,所以m^2*n^2=,)改写:对于三角形ABC,有AC=BC,内心为I,O为BC上一点,且满足XXXCBI=1/3,AB=。2)改写:对于三角形ABC,有AC=BC,内心为I,O为BC上一点,且满足tan∠CBI=1/3,AB=。1)解:首先,连接CI并延长交AB于E,由于CA=CB,因此CE⊥AB,并且AE=BE=,:..tanCBI=3×1/3=∠ABC,设∠ABI=∠,则BI=√(3^2+1^2)=√,由于BD为圆O的直径,因此∠BID=90°,于是DI=BI×tanα=10×1/3=10/,BD=10/3+5=35/)解:连接OI,由于OI=OB=5,因此OIB为等腰三角形,且∠OBI=∠CBI=α。又因为tanα=1/3,因此tan2α=2/,OC=5/3,因此CO/BC=5/3×3/5=1/△COI∽△CBE,因此CO/CE=5/3,于是CE=15/,BC=3+15/4=27/,删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。在三角形$ADH$中,,因此$AE=AH/2=105$。又有$BE=AB-AE=5-187/55=7/55$,因此$BT=BE/5=7/275$,$CT=3+BT=818/275$。由于$ riangle,因此$AF/AD=FC/CT$,即$AF/69=38/CT$,解得$CT=38 imes69/AF$。:..有$AB=BH=35$,$AE=/=66/5$,因此$EH=65/5=13$。由于,因此$ME/AE=EC/HE$,即$ME=AE imesEC/HE=651/5$。二次函数$y=4x^2-2mx+n$的图象与$x$轴交于$A(x_1,0)$,$B(x_2,0)$两点($x_1<x_2$),与$y$轴交于$C(0,n)$点。1)若$AB=2$,且抛物线顶点在直线$y=-x-2$上,则由韦达定理可得$n=4m^2/(4 imes4)=m^2/4$。将顶点坐标代入方程得$-4m+n=-2$,解得$m=8$,$n=12$。2)在(1)的条件下,抛物线方程为$y=4x^2-16x+12$,交$x$轴于$A(1,0)$,$B(3,0)$,交$y$轴于$C(0,12)$。直线$BC$的解析式为$y=-4x+12$。为使$ rianglePBC$面积最大,只需点$P$到直线$BC$距离最远。设过$P$且平行于$BC$直线解析式为$y=-4x+b$,代入抛物线方程得$4x^2-12x+12-b=0$。令,则,解得。此时点$P$为直线$y=-4x+3$与抛物线的交点,坐标为$P(3/2,-3)$。:..$m$,$n$,使得$1<x_1<x_2<2$。则$x_1+x_2<4$,$m<8$,$m$为整数,因此$m=5,6,7$。但是$n=m^2/4$,不可能是整数。因此假设不成立,不存在这样的整数$m$,$n$。根据给定条件,$40$,因此$n<rac{m^2}{4}$。方程的两个根为,化简后可得$x_{1,2}=rac{m+m^2-4n}{2(m-4)}$。根据$x_1+x_2=rac{m}{2}$,可得$x_1$和$x_2$的平均值为$rac{m^2-4n}{8-m}$。因此,当$m<4$时,$rac{m^2-4n}{8-m}<0$,无解。当时,根据$rac{m^2-4n}{8-,可得。又因为$rac{m^2-4n}{8-m}<2$,可得$n<4m-16$。当$m=5$时,根据上述条件,有$2m-4<n<4m-16$,即$6<n<12$,无整数解。当$m=6$时,有$8<n<8$,同样无整数解。当$m=7$时,有$12<n<24$,因此$n$的取值为$13,14,15$,对应的方程的解为$x_1=rac{m+m^2-4n}{2(m-4)}$,即$rac{49}{20},rac{29}{12},rac{37}{16}$。综上所述,不存在整数$m,n$使得$1<x_1<2$,$1<x_2<2$。