2020年江苏高考数学试题及答案.pdf

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为0,当时,2:..33当m?时,PA?PB,B,D重合,此时PA?12,不合题意,:【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力,解答本题的关键是设出PA??PD???0?.31在平面直角坐标系xOy中,已知P(,0),A,B是圆C:x2?(y?)2?36上的两个动点,满足PA?PB,△PAB面积的最大值是.【答案】105【解析】【分析】根据条件得PC?AB,再用圆心到直线距离表示三角形PAB面积,最后利用导数求最大值.【详解】QPA?PB?PC?AB31设圆心C到直线AB距离为d,则|AB|=236?d2,|PC|???1441??236?d2(d?1)??22所以S(36?d)(d?1)VPAB2令y?(36?d2)(d?1)2(0?d?6)?y??2(d?1)(?2d2?d?36)?0?d?4(负值舍去)当0?d?4时,y??0;当4?d?6时,y??0,因此当d?4时,y取最大值,即S取最大值为105,PAB故答案为:105【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值,考查综合分析求解能力,、解答题:本大题共6小题,共计90分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字.......说明、-ABC中,AB⊥AC,BC⊥平面ABC,E,F分别是AC,:..(1)求证:EF∥平面ABC;11(2)求证:平面ABC⊥【答案】(1)证明详见解析;(2)证明详见解析.【解析】【分析】(1)通过证明EF//AB,来证得EF//?平面ABC,来证得平面ABC?平面ABB.(2)111【详解】(1)由于E,F分别是AC,BC的中点,所以EF//??平面ABC,AB?平面ABC,所以EF//(2)由于BC?平面ABC,ABì平面ABC,所以BC??AC,AC?BC?C,所以AB?平面ABC,11由于ABì平面ABB,所以平面ABC?【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a?3,c?2,B?45?.:..(1)求sinC的值;4(2)在边BC上取一点D,使得cos?ADC??,求tan?;(2)tan?DAC?.【答案】(1)sinC??511【解析】【分析】(1)利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinC.(2)根据cos?ADC的值,求得sin?ADC的值,由(1)求得cosC的值,从而求得sin?DAC,cos?DAC的值,进而求得tan??a2?c2?osB?9?2?2?3??2??5,所以b?.【详解】()由余弦定理得52cbcsinB5由正弦定理得??sinC??.sinCsinBb53(2)由于cos?ADC??,?ADC??,?,所以sin?ADC???.4?????1?cos2?ADC525?????????2由于?ADC?,?,所以C?0,,所以cosC???????5221?sin2C????5sin?DAC?sin????DAC??sin??ADC??C??所以325?4??sin?ADC?cosC?cos?ADC?sinC????????5255555?25.??????由于?DAC?0,,所以cos?DAC??11?????sin2?DAC???25sin?DAC2所以tan?DAC??.cos?DAC11:..【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等变换,,桥址位置的竖直截面图如图所示:谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行,OO?为铅垂线(O?在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h(米)与D到OO??1?1的距离a(米)之间满足关系式h?a2;右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h(米)与F到OO?的距离14021b(米)之间满足关系式h??b3??(1)求桥AB的长度;(2)计划在谷底两侧建造平行于OO?的桥墩CD和EF,且CE为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).3桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价k(万元)(k>0).问O?E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价2最低【答案】(1)120米(2)O?E?20米【解析】【分析】(1)根据A,B高度一致列方程求得结果;(2)根据题意列总造价的函数关系式,利用导数求最值,【详解】(1)由题意得|O?A|2???403?6?40?|O?A|?8040800?|AB|?|O?A|?|O?B|?80?40?120米1?802?160,设|O?E|?x,(2)设总造价为f(x)万元,|O?O|??40131f(x)?k(160?x3?6x)?k[160?(80?x)2],(0?x?40)800240:..1336?f(x)?k(160?x3?x2),?f?(x)?k(x2?x)?0?x?20(0舍去)8008080080当0?x?20时,f?(x)?0;当20?x?40时,f?(x)?0,因此当x=20时,f(x)取最小值,答:当O?E?20米时,桥墩CD与EF的总造价最低.【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值,考查基本分析求解能力,,已知椭圆E:??1的左、右焦点分别为F,F,点A在椭圆E上且1243在第一象限内,AF⊥FF,(1)求△AFF的周长;12(2)在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求OP?QP的最小值;(3)设点M在椭圆E上,记△OAB与△MAB的面积分别为S,S,若S=3S,?212?M?2,0??,?【答案】(1)6;(2)-4;(3)或.???77????【解析】【分析】(1)根据椭圆定义可得AF?AF?4,从而可求出△AFF的周长;1212?3?P?x,0?AAF?FFA1,(2)设,根据点在椭圆E上,且在第一象限,,求出,根据准线方程得???02122???Q点坐标,再根据向量坐标公式,结合二次函数性质即可出最小值;M?x,y?dOS?3S(3)设出设,点M到直线AB的距离为,由点到直线AB的距离与,可推出11219d?M?x,y?,根据点到直线的距离公式,以及满足椭圆方程,【详解】(1)∵椭圆E的方程为???143:..F??1,0?F?1,0??∴1,2由椭圆定义可得:AF?AF?∴△AFF的周长为4?2?612P?x,0?x?1.(2)设0,根据题意可得0∵点A在椭圆E上,且在第一象限,AF?FF212?3?∴A1,????2???∵准线方程为x?4???∴Q4,yQ????????2x?2∴OP?QP?x,0?x?4,?y?x?4x?x?2?4??4,∴OP?QP的最小值为??x,y?Md.(3)设,点到直线AB的距离为11?3?A1,F??1,0??∵,??21???3∴直线AF的方程为y??x?1??143∵点O到直线AB的距离为,S?3S21513?∴S?3S?3??AB???1AB?d212529∴d?5∴3x?4y?3?9①11x2y2∵1?1?1②43?2x???x?2?171,?.∴联立①②解得??012?y?1y????17:..?212?M?2,0??,?.∴或???77????【点睛】本题考查了椭圆的定义,直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用,熟悉运用公式以及根9S?3S推出d???f(x),y?g(x)与h(x)?kx?b(k,b?R)在区间D上恒有f(x)?h(x)?g(x).(1)若f?x??x2?2x,g?x???x2?2x,D?(??,??),求h(x)的表达式;(2)若f(x)??x2?x?1,g(x)??klnx,h(x)??kx?k,D??(0,??),求k的取值范围;?????(3)若f(x)??x4?2x2,g(x)??4x2?8,h(x)??4t2?tx?3t4??2t2(0??t≤2)D??m,n???2,2?求????证:n?m??x??2xk??0,3?【答案】(1);(2);(3)证明详见解析【解析】【分析】f?x?g?x?h?x?(1)求得与的公共点,并求得过该点的公切线方程,?x??g?x??0kf?x??h?x??0k(2)先由,求得的一个取值范围,再由,求得的另一个取值范围,?x??h?x?tg?x??h?x??0n?m(3)先由,求得的取值范围,由方程的两个根,求得的表达式,利用导数证得不等式成立.【详解】(1)由题设有?x2?2x?kx?b?x2?2x对任意的x??0,则0?b?0,所以b???2?k?x?0x?R因此kx?x?2x即对任意的恒成立,???2?k?2?0k?2所以,?x???x??h?x??g?x??k?x?1?lnx??x?0?F?1??0(2)令,.x?1F??x??k?.又x:..k?0F?x?(0,1)(1,+?)F?x??F?1??0h?x??g?x??0若,则在上递增,在上递减,则,即,?0F?x??h?x??g?x??0,h?x??g?x?.当时,,符合题意F?x?(0,1)(1,+?)F?x??F?1??0当k?0时,在上递减,在上递增,则,h?x??g?x??,符合题意综上所述,k??x??h?x??x2?x?1??kx?k??x2??k?1?x??k?1??0由k?1x??0k??1y?x2??k?1?x?k?1(0,+?)当,即时,在为增函数,2f?0??h?0??k?1?0因为,x??0,???f?x??h?x??0故存在0,使,?1x??0k??1f?x??h?x??x2?0当,即时,,?1当x??0,即k??1时,则需???k?1?2?4?k?1??0,解得?1?k???0,3?综上所述,的取值范围是.???(3)因为x4?2x2?4t3?tx?3t4?2t2?4x2?8对任意x?[m,n]?[??2,2]恒成立,???x4?2x2?4t3?tx?3t4?2t2对任意x?[m,n]?[??2,2]恒成立,?2?22?等价于(x?t)x?2tx?3t?2?0对任意x?[m,n]?[??2,2]?2tx?3t2?2?0对任意x?[m,n]?[??2,2]恒成立令M(x)?x2?2tx?3t2?2,当0?t2?1,???8t2?8?0,?1??t?1,此时n?m?2?t?2?1?7,?当1?t2?2,???8t2?8?0,?2?3?42但4x?8?4t?tx?3t?2t对任意的x?[m,n]?[??2,2]恒成立.?2?3??2??2?等价于4x?4t?tx?3t?4t?2?0对任意的x?[m,n]?[??2,2]恒成立.:..??????4x2?4t3?tx?3t2?4t2?2?0的两根为x,x,123t4?2t2?8则x?x?t3?t,x?x??,12124所以n?m=x?x??????2?.x?x?4xxt6?5t4?3t2?8121212t2??,???1,2??3?2?令n?m??5?3?8.,则????3?2??????????2???????构造函数P??5?3?8?1,2,P??3?10?3??33?1,???1,2?P?????0P???P????P?1??7所以时,,递减,.max所以?n?m??7,即.