2023-2024学年江苏省无锡市高一下学期第一次学情调研数学质量检测模拟试.pdf

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?????????,b是两个不共线的向量,若m??a?kb?k?R?与n?3a?2b共线,【正确答案】3???【分析】根据题意得到m??n,列出方程组,即可求解.???????【详解】由题意,向量m??a?kb与n?3a?2b共线,????????3???12可得m??n,即?a?kb??(3a?2b),可得?,解得k?.k??2?3??b2?c214.?ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若?ABC的面积为,则C?_________4?【正确答案】4【分析】由余弦定理可得a2?b2?c2?2abcosC,根据条件结合三角形的面积公式可得sinC?cosC,?b2?c2【详解】由余弦定理可得cosC?,所以a2?b2?c2?2abcosC2ab1a2?b2?c22abcosC?ABC的面积为S?absinC??244所以sinC?cosC,即tanC?1,由0?C???所以C?4:..?,半径为2的扇形AOB的圆心角为120?,点C在?AB上,且?COB?30?,若????????????OC??OA??OB,则???等于__________.【正确答案】3【分析】建立直角坐标系,求出点的坐标,结合平面向量的基本定理建立方程求解即可.【详解】如图所示,以O为原点,OB为x轴,OB的垂线为y轴,建立直角坐标系,B?2,0??C?2cos30,2sin30?C?3,1???BOC?30?,OC?2,??,即,??????BOA?120?,OA?2,?A2cos120?,2sin120?,即A?1,3,??????????????????又OC??OA??OB,?3,1???1,3??2,0,?3???????3????2?3???,解得?,?????3,?1?3?23?????????????????ABCAB??m,m?4?,AC??cos?,sin??,?m?R,??R?,若对任意的实数????????????????t,AB?tAC?AB?AC恒成立,则?【正确答案】##722????????????????????????????【分析】根据AB?tAC?AB?AC恒成立,可得AC?BC,即可求得CB?AB|2?AC|2,从而求解面积的最小值.????????????????????????????【详解】解:如图,设AD?tAC,则AB?tAC?AB?AD?DB????????????????若对任意的实数t,AB?tAC?AB?AC恒成立,:..????????即DB?CB恒成立,则AC?BC,????????????CB?AB|2?AC|2?m2?(m?4)2?1?2m2?8m?151????????11?S?ACCB?2m2?8m?15?2(m?2)2?7?ABC2227当m??2时,?、解答题??????,,c是同一平面内的三个向量,其中a?1,????(1)若c?9,且c//a,求c的坐标;????5???????(2)若b?1,且a?b?a?b,求a与的夹角?.??b?2???993???993?【正确答案】(1)c??,?或c???,???22??22??????(2)??3?【分析】(1)根据向量共线,可设出c的坐标,再利用向量模长可得解;(2)根据向量垂直的关系,结合向量数量积公式可得解.??????c//a?c??a??,3?【详解】(1)由已知,则存在实数,使,?2c?9?2??3???9,又,则9解得???,2??993???993?所以c??,?或c???,??;?22??22?????????a?1,3??2(2)由,得a?12?3?2,:..???5?????又a?b?a?b,???2????5??3??5?????所以a?b?a?b?a2?a?b?b2?0,?2?22??35即4??2?1?cos???0,221cos?????0,??解得,,2?所以??.?ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,且a?2c?2bcosA.(1)求角B的大小;(2)若b?23,a?c?4,求??【正确答案】(1)B?;(2)S??ABC【详解】试题分析:(1)由正弦定理将边角关系转化为角的关系,再根据三角形内角关系以及两1角和正弦公式化简得cosB??,解得角B的大小;(2)由余弦定理得a2?c2+ac?12,再根据2a?c?4,解得ac?4,最后根据三角形面积公式得结果试题解析:(1)因为a?2c?2bcosA,由正弦定理,得sinA+2sinC?????A?B?,所以sinA+2sin?A?B??+2sinAcosB?2cosAsinB?2sinBcosA,所以sinA??1+2cosB???0,所以cosB??22?又因为0?B??,所以B?.3(2)由余弦定理a2?c2?osB?b2及b?23得,a2?c2+ac?12,?a?c?2?ac??c=4,所以ac?4,113所以S=acsinB??4??3.?ABC222??????????,已知向量OA?a,OB?b,点A,B分别是SM,SN的中点.:..???????(1)试用向量a,b表示向量MN;?????????(2)设a?1,b?2,MN??23,27?,试求a与b的夹角?的取值范围.?????????2??????【正确答案】(1)MN?2b?a;(2)??,.?33????????????【分析】(1)由AB是?SNM的中位线得出MN?2AB,进而得出结果;??11??(2)先求出a?b???1,1?,进而求得cos???,,由此确定出?的取值范围.?22??????????????????????MN?2AB?2?OB?OA??2?b?a?【详解】(1)依题意知AB是?SNM的中位线,所以,;???????MN?2?b?a?(2)由(1)得,平方得:???????????2??2??MN?4b?a?4b2?2a?b?a2?????????22??22??4b|?2a?b?a|?42?2a?b?1?20?8a?b??????????????所以8a?b?20?|MN|2,由MN??23,27?可得a?b???1,1?,????a?b1??11????2??cos????a?b??,??[0,?]所以???,又,所以??,.a?b2?22??33???????2??故a与b夹角?的取值范围是,.?33???△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,?3,c?2,B?45?(1)求sinC的值;4(2)在边BC上取一点D,使得cos?ADC??,:..52【正确答案】(1)sinC?;(2)CD?.53【分析】(1)先由余弦定理求出b?5,再由正弦定理求出sinC;2(2)先由和差角公式求出sin?CAD,再由正弦定理求出CD?.3【详解】(1)在△ABC中,因为a?3,c?2,B?45?,由余弦定理b2?a2?c2?osB,得b2?9?2?2?3?2cos45??5,所以b?△ABC中,由正弦定理?得:?,?sinBsinCsin45?sinC54(2)在△ADC中,因为cos?ADC??,所以∠ADC为钝角,又∠ADC+C+∠CAD=180°,所以C为5?5?25锐角,故cosC?1?sin2C?1????.?5?5??43因为cos?ADC??,所以sin?ADC?1?cos2?ADC?.55325?4?525所以sin?CAD?sin??ADC?C???????.??55?5?525CD5CDAC?2由正弦定理得:?,即253,?sin?CADsin??ABC是边长为1的正三角形,点P,P,P四等分线段BC(如图所示).123????????????????(1)求AB?AP?AP?AP的值;112????????1????QAPAQ?mAB?ACm(2)为线段上一点,若,求实数的值;112????????(3)P为边BC上一动点,当PA?PC取最小值时,求cos?PAB的值.:..1315【正确答案】(1);(2);(3)????2AP2【分析】(1)利用线段的中点向量公式将所求化为,再结合余弦定理求解;1(2)利用平面向量的线性运算进行化简求解;????????????????????(3)先讨论的位置,研究PA?PC的符号,再设PC?x,将PA?PC表示为关于x的函数,利P用二次函数的最值判定P的位置,再利用余弦定理进行求解.?????????????????AP?(AB?AP)?2AP2【详解】(1)原式,121在△ABP中,由余弦定理,得11113AP2?1??2?1??cos60??,116416????????????????13所以AB?AP?AP?AP?1128????1????????????1????????(2)易知BP?BC,即AP?AB?(AC?AB),1414????3????1????即AP?AB?AC,144因为Q为线段AP上一点,1????????3????1????????1????设AQ??AP??AB??AC?mAB?AC,14412?3?1??m??????4????3所以?,解得?111????m?????412????41所以m?;4????????(3)①当在线段BP上时,PA?PC?0;P2????????????????②当在线段PC上时,PA?PC?0;要使PA?PC最小,则必在线段PC上,P2P2????????????????????设PC?x,则PA?PC?PA?PCcos?APC????????????????1121????os?APB??PCPP?x2?x?x??,2??2?4?161????????当x?时,即当P为P时,PA?PC最小,4313则由(1)可知AP?,4:..1391??AB2?AP2?BP216165cos?BAP???13则由余弦定理得,2AB?AP13262?1?,灯柱AB与地面垂直(满足?BAD?90?),灯杆BC与灯柱AB所在平面与道路垂直,且?ABC?120?,路灯C采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知AB?h?m??ACB???30????45???ACD?60?,路宽AD?,.(1)当??30?时,求四边形ABCD的面积;(2)求灯柱的高h(用?表示);(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同,记此用料长度和为S,求S关于?的函数表达式,并求出S的最小值.【正确答案】(1)483m2h?8sin2??30????45??(2)S?8sin?2??60???43?30????45??(3),S最小值为4?43m2【分析】(1)由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长,再由S?S?S可得解;四边形ABCD△ABC△ACD(2)分别在?ACD与?ABC中由正弦定理化简即可得解;(3)根据正弦定理分别表示各边长及S,再根据三角函数求值域的方法可得最值.【详解】(1)当??30?时,?BAC?180??120??30??30?,所以AB?BC,又?CAD?90???BAC?60?所以?ACD是等边三角形,所以AC?AD?12,ABBCAC所以在?ABC中,??,即AB?BC?43,sin?ACBsin?BACsin?ABC11所以S?S?S??43?43?sin120???12?12?sin60??483;四边形ABCD?ABC?ACD22(2)?BAC?180??120????60???,?CAD?90???BAC???30?,:..?ADC?180??60?????30???90???,ADAC在?ACD中,由正弦定理得?,sin?ACDsin?ADC12AC所以?sin60?sin?90????所以AC?83cos?ACAB在?ABC中,由正弦定理得?,sin?ABCsin?ACBACh所以?,sin120?sin?3h所以AC83cos?,所以h?8sin2??30????45??;??2sin?ACBC(3)在?ABC中,由正弦定理得?,sin?ABCsin?BAC83cos?BC所以?,sin120?sin?60????所以BC?16cos?sin?60?????16cos??sin60?cos??cos60?sin???83cos2??8sincos??1?cos2??83??4sin2??43?43cos2??4sin2?2S?AB?BC?8sin2???43?43cos2??4sin2???43?43cos2??4sin2?所以?13??43?8?sin2??cos2???8sin?2??60???43,?22???因为30????45?,所以120??2??60??150?,所以当2??60??150?,即??45?时,S取最小值4?43,故S关于?的函数表达式为S?8sin?2??60???43?30????45??,S最小值为4?43m2.