2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编(解析版).pdf

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若分式的值为正数,则x的取值范围是()?x?-<x<2或x<-<-2或x>2C.-2<x<1或x>2D.-2<x<2【答案】C【分析】根据题意列出不等式组,,解不等式组,-1【详解】解:∵分式的值为正数,?x?-2??x?-2>0??x?-2<0∴??或??,x-1>0x-1<0解得:-2<x<1或x>:(2024·全国·七年级竞赛)灰太狼在跑一段山路时,上山速度是80米/分,到达山顶后再下山,下山的速度是上山速度的3倍,如果上、下山的路程相同,那么灰太狼跑这段山路的平均速度是()//分【答案】D【分析】本题考查了分式乘除的应用,整式加减的应用,正确理解题中的数量关系是解答本题的关键,设上坡的路程为S,则上、下坡的总路程为2S,可逐步求得上下坡的总时间,最后利用平均速度等于上、下坡的总路程除以总时间,【详解】设上坡的路程为S,则上、下坡的总路程为2S,上坡时间为,下坡时间为=,总时间8080×3240SSSS为+=,所以平均速度为2S÷=120(米/分).(2024·全国·八年级竞赛)若=,则=()x2+x+15x4+x2+【答案】Bx11x2【分析】本题考查分式的化简求值和完全平方公式,根据=得出x+=4,再将变x2+x+15xx4+x2+111形为,将x+=?x+?-1xx11【详解】解:∵==,x2+x+1x+1+15x1∴x+=4,xx21111∴====,x4+x2+1x2+1+1x+12-142-115??x2x故选B.:..x222(2024·全国·八年级竞赛)若x2-3x+1=0,则的值是().x4+x2+【答案】C1【分析】本题考查了分式的混合运算,完全平方公式变形求值,换元法,由x2-3x+1=0得到x2+=7,x2x211设=A,得到=x2++1,代入即可求解,+x2+1Ax2【详解】解:由x2-3x+1=0知x≠0,1∴x+=3,x1∴x2+=7,x2x2设=A,x4+x2+111则=x2++1=8,Ax21∴A=,8x21即=,x4+x2+18故选:、解答题x-311123(2024·全国·九年级竞赛)若=,求?1-?÷?x-4+?-23+2+1x-2x-2【答案】3+2x-31【分析】本题考查了分式的化简求值,涉及整体代入法;先化简分式,再由=,得到x-23+2+1x-211=3+2+1,变形为1+=3+2+1,-3x-3x--311【详解】解:?1-?÷?x-4+?x-2x-2x-3x2-6x+9=÷x-2x-2x-3x-2=·x-2x-32??1=;x-3x-31∵=,x-23+2+1x-2∴=3+2+1,x-31∴1+=3+2+1,x-31∴=3+2,x-3:..即原式=3+-2a+1a+4124(2024·全国·九年级竞赛)已知实数a满足a2+2a-2016=0,求×-+5a+4a2-1a+12【答案】-.2017【分析】此题考查了分式的化简求值,先把要求的式子进行计算,先进行因式分解,再把除法转化成乘法,然后进行约分,得到一个最简分式,最后把a2+2a-2016=0进行配方,得到?a+1?2=2017的值,再把它整体代入即可求出答案,解题的关键是熟练掌握分式化简的步骤.【详解】解:由a2+2a-2016=0可得(a+1)2=2017,a2-2a+1a+41×-a2+5a+4a2-1a+1(a-1)2a+41=×-,?a+1??a+4??a-1??a+1?a+1a-11=-,(a+1)2a+1-2=,(a+1)22=-.2017x2-1125(2024·全国·八年级竞赛)先化简,再求值:÷?x+-2?,其中x=+xx1【答案】,2+1x-1【分析】本题考查了分式的混合运算以及分母有理化,解答时,先进行分式运算,-11【详解】解:÷?x+-2?x2+xx?x-1??x+1?x2+1-2x=÷xx+1x???x+1??x-1??x-1?2=÷xx+1x???x+1??x-1?x=?x?x+1??x-1?21=,x-11当x=2时,原式==2+-126(2024·全国·八年级竞赛)如图1,有一个高为hcm的瓶子,瓶中水面的高度为acm,盖好瓶盖后倒置,这时瓶中水面的高度为bcm,如图2,用代数式表示瓶中水的体积与瓶子容积之比;当a=9,b=15,h=21时,求出这个比值.:..a3【答案】,a+h-b5【分析】此题考查圆柱体体积的应用,解题的关键是理解掌握“转化”“瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积”,即可列式;瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积,即底面积×9+底面积×?21-15?,也就是底面积×15;水的体积为底面积×9,即可得到答案.【详解】解:瓶子容积等于正放时水的体积加倒放时空白的体积,设瓶子的底面积为S,即Sa+S?h-b?;水的体积为Sa,Saa∴瓶中水的体积与瓶子容积之比为=,Sa+S?h-b?a+h-b∵瓶子的容积=底面积×9+底面积×?21-15?=底面积×15,水的体积=底面积×9,3∴瓶中水的体积:瓶子容积=(底面积×9):(底面积×15)=,53答:(2024·全国·八年级竞赛)11?1?2(1)求证:1++=1+;n2(n+1)2n2+n111111(2)计算:1+++1+++?+1++.122222322016220172【答案】(1)证明见解析2016(2)20162017【分析】本题主要考查了分式的化简求值,数字规律的运算;对于(1),先将等式左边通分,再根据完全平方公式整理可得答案;11111对于(2),先根据(1)整理得1++=1+=1+-,再计算加减即可得出n2n+12nn+1nn+1????【详解】(1)解:1++n2?n+1?2n2?n+1?2+?n+1?2+n2=n2?n+1?2n2?n+1?2+2n?n+1?+1=n2?n+1?2?n?n+1?+1?2=?????n?n+1??:..?1?2=1+;n2+n11111(2)由(1)可知1++=1+=1+-,n2?n+1?2nn+1nn+1??11111111则原式=1+-+1+-+1+-+?+1+-122334201620171=1×2016+1-20172016=(2024·全国·八年级竞赛)(1)计算24×-4××(2015-2016)0;38?x2-y2x?y2(2)先化简,再求值:+÷,其中x、y满足x+1+(y-3)2=-2xy+y2y-xx2-xyx3【答案】(1)2(2)化简得:;原式=y3【分析】本题考查有理数的运算和分式的化简求值,熟练掌握二次根式的运算和正确化简分式是解题的关键,(1)根据二次根式的运算法则和零指数幂即可得到结果;(2)直接利用括号里面因式分解进行化简,再利用分式乘除运算法则化简,再根据二次根式、绝对值的性质得出x、y的值,【详解】解:(1)原式=26×-4××134=22-2=2;??x-y??x+y?x?x?x-y?(2)原式=?+?×?y-x???x-y?2?y2x+yxx?x-y?=?-?×x-yx-yy2yx?x-y?=×x-yy2x=.y∵x+1+(y-3)2=0,∴x-1=0,y-3=0,∴x=1,y=3,x13故原式===.y33111111129(2024·全国·七年级竞赛)已知a、b、c均为大于1的正整数,且<<,++-+b+c的值.【答案】101113【分析】本题考查异分母分式的加减,先得出1<++<,求出c=2,进而得出a=4或5,当a=**********,b=3,c=2时,++-=(舍).当a=5,b=3,c=2时,++-=1,【详解】解:因为++-为正整数,且a、b、c为大于1的正整数,<<,abcabcabc:..1113所以1<++<,得1<c<3,所以c=2,1111∴+>1-=,abc21112得<+<,2abb所以c<b<4,∴b=∴>1--=,abc6得b<a<6,所以a=4或5,111125当a=4,b=3,c=2时,++-=(舍).abcabc241111当a=5,b=3,c=2时,++-=1,abcabc所以a+b+c=5+3+2=(2024·全国·八年级竞赛)如果a、b、c是不同的实数,且a3+3a+15=b3+3b+15=c3+3c+15=1110,求++【答案】-5【分析】本题考查分式的求值,根据a3+3a+15=b3+3b+15=c3+3c+15=0,得到a、b、c都是方程x3+3x+15=0的根,进而得到x3+3x+15=?x-a??x-b??x-c?,推出abc=-15,ab+bc+ac=3,即可111得出+++3x+15=?x-a??x-b??x-c?.abc111ac+bc+ac【详解】解:++=,abcabc∵a、b、c是不同的实数,且a3+3a+15=b3+3b+15=c3+3c+15=0,∴a、b、c都是方程x3+3x+15=0的根.∴x3+3x+15=?x-a??x-b??x-c?,∴abc=-15,ab+bc+ac=∴++==-.abc-1551131(2024·全国·八年级竞赛)求值:+2+11+13+11+14+13+15+14+1?+200715+1?+【答案】11【分析】本题考查了繁分式的计算,设1+=x,+14+1?+120071【详解】解:设1+=x,3+14+1?+12007111x1+x则原式=+=+==+x1+11+xx+11+xx32(2024·全国·八年级竞赛)设a,b,c都是实数,若(a-2b+c)2+(a-2c+b)2+(b-2a+c)2=(a-:..?2ab2+7?(2ab+6)b)2+(b-c)2+(c-a)2,求分式的值.?2bc2+7?(bc+3)【答案】2【分析】本题主要考查了分式化简求值,-b=x,b-c=y,c-a=z,得出x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0①,?x+y+z?2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0②,由①+②得x2+y2+z2=0,求出x=y=z=0,则a=b=c,代入进行变形求值即可.【详解】解:设a-b=x,b-c=y,c-a=z,由已知得:(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=x2+y2+z2,故x2+y2+z2-2xy-2yz-2zx=0,①又x+y+z=a-b+b-c+c-a=0,故x+y+z2=x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=0,②??①+②得x2+y2+z2=0,故x=y=z=0,则a=b=c,2?2a3+7??a2+3?∴原式==2.?2a3+7??a2+3?