2024年黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校高三数学第一学期期末达标检测.pdf

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】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。:..2024年黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校高三数学第一学期期末达标检测模拟试题注意事项:,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。。,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。:??1(a?0,b?0)的左、右顶点分别为A、A,点P是双曲线C上与A、A不重合的动点,a2b21212若kk?3,则双曲线的离心率为(),()1?.?.?15x?(x)?(x?[??,0)(0,?])的大致图象为3x?3?:??1的右顶点为A,右焦点为F,过点F作平行C的一条渐近线的直线与C交于点B,则916△AFB的面积为():..,则该几何体的体积是()??i,则z?()z?.-??i?A??,集合A={x|x2+2x-8>0},B={x|logx<1},则等于()2RA.[-4,2]B.[-4,2)C.(-4,2)D.(0,2)lmx?y?1?0l?3m?2?x?my?2?0l//,直线:,:,则“m?1”是“”的()??xx?1?B??x?1?x?2??A?B??R,集合,,则()U?????????x??x??1?x???“五行”中,有“金、木、水、火、土”五个物质类别,在五者之间,有一种“相生”的关系,具体是:金生水、水生木、木生火、火生土、,这二者具有相生关系的概率是():??1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、|PQ|=|OF|,:..二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。a0?{a}的前n项和为S,且对任意正整数n,都有011?0,则a?___nn11?2nSn?x2?5x?4,x?0?(x)??,若函数y?f(x)?ax恰有4个零点,则实数a的取值范围是________.?2x?2,x?0?a?a?nS?2n?1?ma,a,a?2b?n?b?,且成等差数列,n????,数列的前nn145a?1a?1nnn?12017项和为T,则满足T??E(?)?D?2??1??,则______,______.?-1011Paa24三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。f?x??ex?2ax?eg?x???lnx?ax?a17.(12分)设函数,.f?x?(1)求函数的极值;x?1f?x??g?x?(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.?x?2cos??x?xxOyC?C?118.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为?(为参数,将曲线经过伸缩变换?y?sin??y?,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为?cos???sin??5?(1)说明曲线C是哪一种曲线,并将曲线C的方程化为极坐标方程;11?(2)已知点M是曲线C上的任意一点,又直线l上有两点E和F,且|EF|?5,又点E的极角为,:①点F的极角;②?.(12分)百年大计,,不断加大拔尖人才的培养力度,为清华、.(其中x表示通过自主招生获得降分资格的学生人数,y表示被清华、北大等名校录取的学生人数):..年份(届)20142015201620172018x4149555763y8296108106123xyyx(1)通过画散点图发现与之间具有线性相关关系,求关于的线性回归方程;(保留两位有效数字)(2)若已知该校2019年通过自主招生获得降分资格的学生人数为61人,预测2019年高考该校考人名校的人数;(3)若从2014年和2018年考人名校的学生中采用分层抽样的方式抽取出5个人回校宣传,在选取的5个人中再选取2人进行演讲,?xy?nx?yii?i?1?参考公式:b?,a??y?bxn2?x2?nxii?155?xy?27797?x2?14325参考数据:x?53,y?103,,iiii?1i?120.(12分)已知{a}是一个公差大于0的等差数列,且满足aa=45,a+a=(I)求{a}的通项公式;nbbb(Ⅱ)若数列{b}满足:1?2?…?n?a?1(n?N?),求{b}?x??a?x?lnx??x2?2x21.(12分)??2eef?x?(1)当(为自然对数的底数)时,求函数的极值;?x?x??x?x?f??x?y?f?x?a?0x?x?0f?x??f?12x?f?x??f?12x(2)为的导函数,当,时,求证:????.121?2?12?2?211S?a?na?S?n?n222.(10分)是数列的前项和,?a?(1)求数列的通项公式;nb?2a?5a?b?(2)若n,:..一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】x2y2P?x,y?A??a,0?A?a,0?kk?3y2?3x2?3a200设,,,根据可得①,再根据又??1②,由①②可0012PA1PA20022ab?22?22?22?得b?3ax?ab?3a,化简可得c?2a,【题目详解】P?x,y?A??a,0?A?a,0?解:设,,,0012∵kk?3,PA1PA2yy∴0·0?3,即y2?3x2?3a2,①x?ax?a0000x2y2又0?0?1,②,a2b2????由①②可得b2?3a2x2?a2b2?3a2,0∵x??a,0∴b2?3a2?0,∴b2?3a2?c2?a2,∴c?2a,即e?2,故选:D.【题目点拨】本题考查双曲线的方程和性质,考查了斜率的计算,离心率的求法,、A:..【解题分析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,:因为渐近线方程为,所以渐近线方程为,:已知双曲线方程求渐近线方程:.3、C【解题分析】5i?1?2i?5i10?5i5i因为???2?i,所以的虚部是1,?2i?1?2i??1?2i?51?2i4、A【解题分析】5(?x)?2sin(?x)5x?2sinx因为f(?x)???f(x),所以函数f(x)是偶函数,排除B、D,3?x?3x3x?3?x5?又f(?)??0,排除C,??3??5、A【解题分析】根据双曲线的标准方程求出右顶点A、右焦点F的坐标,再求出过点F与C的一条渐近线的平行的直线方程,通过解方程组求出点B的坐标,最后利用三角形的面积公式进行求解即可.【题目详解】由双曲线的标准方程可知中:a?3,b?4?c?a2?b2?5,因此右顶点A的坐标为(3,0),右焦点F的坐标为44(5,0),双曲线的渐近线方程为:y??x,根据双曲线和渐近线的对称性不妨设点F作平行C的一条渐近线y?x3344的直线与C交于点B,所以直线FB的斜率为,因此直线FB方程为:y?(x?5),因此点B的坐标是方程组:33?4?17y?(x?5)x????3?51732?的解,解得方程组的解为:?,即B(,?),所以△AFB的面积为:x2y232515??y????1????916????1513232?(5?3)???.21515故选:A【题目点拨】:..本题考查了双曲线的渐近线方程的应用,考查了两直线平行的性质,、A【解题分析】根据三视图,还原空间几何体,即可得该几何体的体积.【题目详解】由该几何体的三视图,还原空间几何体如下图所示:可知该几何体是底面在左侧的四棱锥,其底面是边长为4的正方形,高为4,164V???4?4??4?:A【题目点拨】本题考查了三视图的简单应用,由三视图还原空间几何体,棱锥体积的求法,、B【解题分析】利用复数的四则运算即可求解.【题目详解】z?i由?i?z?i?i(z?i)?(1?i)z?i?1?z???i故选:B【题目点拨】本题考查了复数的四则运算,需掌握复数的运算法则,、D【解题分析】求解一元二次不等式化简A,求解对数不等式化简B,然后利用补集与交集的运算得答案.【题目详解】:..解:由x2+2x-8>0,得x<-4或x>2,∴A={x|x2+2x-8>0}={x|x<-4或x>2},由logx<1,x>0,得0<x<2,2∴B={x|logx<1}={x|0<x<2},2A??x|?4?x?2?则,R?A?B??0,2?∴.R故选:D.【题目点拨】本题考查了交、并、补集的混合运算,考查了对数不等式,二次不等式的求法,、A【解题分析】根据直线平行的等价条件,求出m的值,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【题目详解】当m=1时,两直线方程分别为直线l:x+y﹣1=0,l:x+y﹣2=0满足l∥l,即充分性成立,1212当m=0时,两直线方程分别为y﹣1=0,和﹣2x﹣2=0,?2m?2当m≠0时,则l∥l???,12m1?13m?2m由?得m2﹣3m+2=0得m=1或m=2,m1m?2由?得m≠2,则m=1,1?1即“m=1”是“l∥l”的充要条件,12故答案为:A【题目点拨】(1)本题主要考查充要条件的判断,考查两直线平行的等价条件,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)本题也可以利用下面的结论解答,直线ax?by?c?0和直线ax?by?c?0平行,则ab?ab?0且两1112221221直线不重合,、B【解题分析】直接利用集合的基本运算求解即可.【题目详解】????解:全集U?R,集合A?xx?1,B?x?1?x?2,:..?A??x|x?1?U?A?B??x|x1??x|?1x2???x|1x2?则,U故选:B.【题目点拨】本题考查集合的基本运算,、B【解题分析】利用列举法,结合古典概型概率计算公式,计算出所求概率.【题目详解】从五行中任取两个,所有可能的方法为:金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土,共10种,51其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土,共5种,所以所求的概率为??:B【题目点拨】本小题主要考查古典概型的计算,、A【解题分析】准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a关系,可求双曲线的离心率.【题目详解】设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ?x轴,c又PQ?|OF|?c,?|PA|?,?PA为以OF为直径的圆的半径,2c?A为圆心|OA|?.2?cc??P?,?,又P点在圆x2?y2?a2上,?22?c2c2c2c2???a2,即?a2,?e2???e?2,故选A.:..【题目点拨】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练****才能在解决此类问题时事半功倍,、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、?1【解题分析】利用行列式定义,得到a与S的关系,赋值n?1,即可求出结果。nn【题目详解】a0?1n1101由011?a??a(S?2n)?1?0,令n?1,n?2nS1?2nnn1?2nSnn得a(a?2)?1?0,解得a??1。111【题目点拨】本题主要考查行列式定义的应用。14、(1,3)【解题分析】函数y?f(x)?ax恰有4个零点,等价于函数f(x)与函数y?ax的图象有四个不同的交点,画出函数图象,利用数形结合思想进行求解即可.【题目详解】函数y?f(x)?ax恰有4个零点,等价于函数f(x)与函数y?ax的图象有四个不同的交点,画出函数图象如下图:..所示:由图象可知:实数a的取值范围是1?a?:(1,3)【题目点拨】本题考查了已知函数零点个数求参数取值范围问题,、1【解题分析】?S,n?1a??1{a}m本题先根据公式初步找到数列的通项公式,然后根据等差中项的性质可解得的值,即可nS?S,n2n?nn?1确定数列{a}的通项公式,代入数列{b}的表达式计算出数列{b}的通项公式,然后运用裂项相消法计算出前项和T,nnnn2017再代入不等式T?【题目详解】由题意,当n?1时,a?S?21?1?m?4?,a?S?S?2n?1?m?2n?m??1则a?24?16,a?2?25?2?,a,a?2成等差数列,145?a?a?2?2a,即4?m?30?2?16,154:..解得m??2.?a??a?2n,n?N*.na2n11?b?n???.n(a?1)(a?1)(2n?1)(2n?1?1)2n?12n?1?1nn?1?T?b?b???bn12n111111????????21?122?122?123?12n?12n?1?11?1?.2n?1?1201712017T?,?1??.n20182n?1?1201811即?,2n?1?12018?2n?1?1?2018,即2n?1?2019,210?1024?2019,211?2048?2019,?n?111,?满足T?:1.【题目点拨】本题主要考查数列求通项公式、裂项相消法求前n项和,考查了转化思想、方程思想,考查了不等式的计算、、?44【解题分析】D???D?2??1?首先求得a的值,然后利用均值的性质计算均值,最后求得的值,由方差的性质计算的值即可.【题目详解】131由题意可知a??a2?1,解得a??(舍去)或a?.4221111E?????1??0??1???则,2444?1?21?1?21?1?2111则D?????1???0???1???,???????4?2?4?4?4?416:..11D?2??1??4D????【题目点拨】本题主要考查分布列的性质,均值的计算公式,方差的计算公式,方差的性质等知识,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。a?0f?x?f?x??2a?2aln??2a??e??e?1,???17、(1)当时,无极值;当a?0时,极小值为;(2).【解题分析】(1)求导,对参数a进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;h?x??f?x??g?x?(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求参数范围即可.【题目详解】f??x??ex?2a(1)依题,a?0f??x??0f?x?f?x?当时,,函数在R上单调递增,此时函数无极值;f??x??ex?2a?0x?ln??2a?当a?0时,令,得,f??x??ex?2a?0x?ln??2a?令,得??????所以函数fx在ln?2a,??上单调递增,????在??,ln??x?此时函数有极小值,f?ln??2a????2a?2aln??2a???x?综上:当a?0时,函数无极值;f?x?当a?0时,函数有极小值,??????极小值为fln?2a??2a?2aln?2a??x??f?x??g?x??ex?ax?lnx?a?e?x?1?(2)令1h?1??0h??x??ex??a?x?1?易得且,x1令t?x??h??x??ex??a?x?1?x:..1t??x??ex??x?1?所以,x21x0??1t??x??0因为e?e,,从而,x2t?x??1,???所以,?1??a?e?1又a??e?1t?x??h??x??t?1??a?e?1?0若,则h?x??1,???h?x??h?1??0所以在上单调递增,从而,所以a??e???e?1,1t?x??t?1??a?e?1?0t??a??e?a?a?所以,,mina1f?x?a??在中,令,由(1)的单调性可知,2f?x??ex?x?ef?0??1?ex有最小值,从而e?x???a??e?a?a???a?1?a??1??0所以aaat?1??t??a??0所以,由零点存在性定理:?x?(1,?a),使t(x)?0且00h(x)?1,x??x,???在上单调递减,??1,x?h?x??h?1??0所以当时,.0a??e?1f?x??g?x?故当,??e?1,???综上所述:的取值范围为.【题目点拨】本题考查利用导数研究含参函数的极值,涉及由恒成立问题求参数范围的问题,属压轴题.??252252?18、(1)曲线C为圆心在原点,??2(2)①②??5,?5?11844??【解题分析】(1)求得曲线C伸缩变换后所得C的参数方程,消参后求得C的普通方程,判断出C对应的曲线,并将C的普通1111方程转化为极坐标方程.:..(2)①将E的极角代入直线l的极坐标方程,由此求得点E的极径,判断出?EOF为等腰三角形,求得直线l的普通方程,?3?由此求得?FEO?,进而求得?FOE?,②解法一:利用曲线C的参数方程,求得曲线C上的点M到直线l的距离d的表达式,结合三角函数的知识求得d的11最小值和最大值,由此求得?:根据曲线C表示的曲线,利用圆的几何性质求得圆C上的点到直线l的距离的最大值和最小值,进而求得11?EMF面积的取值范围.【题目详解】?x?2cos?,(1)因为曲线C的参数方程为?(?为参数),?y?sin??x?x,?x?2cos?,因为?1则曲线C的参数方程?1y?2y1y?2sin???11所以C的普通方程为x2?y2?,?2?4,即???(2)①点E的极角为,代入直线l的极坐标方程?cos???sin??5?0得点E2极径为??5,且|EF|?5,所以?EOF为等腰三角形,又直线l的普通方程为x?y?5?0,?3?又点F的极角为锐角,所以?FEO?,所以?FOE?,48?3??所以点F的极角为??.288②解法1:直线l的普通方程为x?y?5????22sin???5??|2cos??2sin??5|?4?.d??22:..????当sin?????1,即??2k??(k?Z)时,?4?4|22?5|52d取到最小值为?????3?当sin????1,即??2k??(k?Z)时,???4?4|?22?5|52d取到最大值为???52?252所以?EMF面积的最大值为?5???2???5;2?2?4??1?52?252所以?EMF面积的最小值为?5???2???5;??224???252252?故?EMF面积的取值范围??5,?5?.44??解法2:直线l的普通方程为x?y?5?0.|0?0?5|52因为圆C的半径为2,且圆心到直线l的距离d??,12252因为?2,?r??2,1252最小值为d?r???52?252所以?EMF面积的最大值为?5???2???5;??224??1?52?252所以?EMF面积的最小值为?5???2???5;??224???252252?故?EMF面积的取值范围??5,?5?.44??【题目点拨】本小题考查坐标变换,极径与极角;直线,圆的极坐标方程,圆的参数方程,直线的极坐标方程与普通方程,点到直:..,包括运算原理的理解与应用、运算方法的选择与优化、、逻辑推理、数学运算、、(1)y???;(2)117人;(3)分布列见解析,E??5【解题分析】(1)首先求得和y,再代入公式即可列方程,由此求得y关于x的线性回归方程;x(2)根据回归直线方程计算公式,计算可得人数;(3)和被选中的人数分别为2和3,利用超几何分布分布列的计算公式,计算出?的分布列,并求得数学期望.【题目详解】n?xy?nx?yii7797?5?53?103251?i?1(1)由题b????,n214325?5?532140?x2?nxii?1a??103??53????(若第一问求出a??103??53????.)(2)当x?61时,y??61??117所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人(3)由题知和被选中的人数分别为2和3,进行演讲的两人是2018年毕业的人数?的所有可能取值为0,1,2C21C1C13C23P???0??2?,P???1??23?,P???2??3?C210C25C210555?的分布列为?012133P10510136E??0??1??2??105105【题目点拨】本小题主要考查平均数有关计算,考查回归直线方程的计算,考查期望的计算,考查超几何分布和数据处理能力,、(I)a?2n?1;(Ⅱ)2n?2?4n:..【解题分析】(Ⅰ)设等差数列的公差为4,则依题设d?,可得c?,得,.(Ⅱ)设,,可得c?2,,,所以数列是首项为4,:等差数列通项公式、、(1)极大值?2e?1,极小值?e2;(2)详见解析.【解题分析】f??x?首先确定函数的定义域和;a??2ef??x?f?x?(1)当时,根据的正负可确定单调性,进而确定极值点,代入可求得极值;?x?2?1?1?xx2?t?1?x??(2)通过分析法可将问题转化为证明ln1?2,设t?1?1,令h?t??lnt?,利用导数可证得xxxt?121?12x2h?t??0,进而得到结论.【题目详解】1?x?1??2x?a???f?x??0,???f??x??a1??2x?2?由题意得:定义域为,??,?x?x:..2?x?1??x?e?(1)当a??2e时,f??x??,x?x??0,1??e,???f??x??0x??1,e?f??x??0当和时,;当时,,?f?x??0,1??e,????1,e?在,上单调递增,在上单调递减,?f?x?f?1???2e?1?2??2e?1f?e???2e?e?1??e2?2e??e2极大值为,极小值为.?x?x??x?x?f?x??f?12x?f?x??f?12x(2)要证:????,1?2?12?2?2?x?x?f?x??f?x??f?12?x?x?即证:??,12?2?12?2a?a?x?lnx??x2?2x?a?x?lnx??x2?2x?x?x?a?2??x?x?即证:??,1111222212x?x12??12x2a?x?x?化简可得:aln1??x212?x?2?1?1?x2?x?x?x?x?a?0,?ln1?12,即证:ln1?2,xx?xxx21221?1x2???t?1?2x2t?1t?1?1??h??t???0设,令ht?lnt?,则,xt?1t?t?1?22?x?2?1?1?x?x??h?t??1,????h?t??h?1??02在上单调递增,,则由ln1?,xx21?1x2?x?x??x?x?f?x??f?12x?f?x??f?12x从而有:????.1?2?12?2?2【题目点拨】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到函数极值的求解、利用导数证明不等式的问题;本题不等式证明的关键是能够将多个变量的问题转化为一个变量的问题,、(1)a?n;(2)?【解题分析】:..1111a?S?n?n2a?S??n?1???n?1?2?a?(1)由可得出,两式作差可求得数列的通项公式;nn22n?1n?122nb?2n?5n?b??b?(2)求得,利用数列的单调性的定义判断数列的单调性,【题目详解】1111?a?S?n?n2a?S??n?1???n?1?2(1)对任意的n?N,由得,nn22n?1n?122两式相减得a?n,n?a?a?n因此,数列的通项公式为;nn????(2)由(1)得b?2n?5n,则b?b??2n?1?5n?1??2n?5n?2n??1n??当n?2时,bb0,即b?b,?b?b?b;n1nn?1n123当n?3时,b?b?0,即b?b,?b?b?b?.n?1nn?1n345?b?b?23?5?3??7所以,【题目点拨】Sa本题考查利用n与n的关系求通项,同时也考查了利用数列的单调性求数列中的最小项,考查推理能力与计算能力,属于中等题.