江西省九江市彭泽一中2024届高考考前信息卷高考数学试题.pdf

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与椭圆相交于、两点,1122?x?x12?1?????x?x?2212由于点P为弦的中点,则?,得?,y?y?y?y?2?12?112????2?x2y21?1?1??????????42x?xx?xy?yy?y由题意得?,两式相减得1212?1212?0,?x2y2422?2?1????42y?y2?x?x?2?21AB12??12????所以,直线的斜率为,x?x4?y?y?4?2212121y?1???x?1?x?2y?3?0所以,弦所在的直线方程为,:x?2y?3?0.【题目点拨】本题考查利用弦的中点求弦所在直线的方程,一般利用点差法,也可以利用韦达定理设而不求法来解答,考查计算能力,?【解题分析】设?ABE的中心为O,矩形BCDE的中心为O,过O作垂直于平面ABE的直线l,过O作垂直于平面BCDE的12112直线l,得到直线l与l的交点O为几何体ABCDE外接球的球心,结合三角形的性质,求得球的半径,利用表面积公212式,即可求解.【题目详解】设?ABE的中心为O,矩形BCDE的中心为O,12过O作垂直于平面ABE的直线l,过O作垂直于平面BCDE的直线l,1122则由球的性质可知,直线l与l的交点O为几何体ABCDE外接球的球心,12取BE的中点F,连接OF,OF,12由条件得OF?OF?3,?OFO?120?,连接OF,1212因为?OFO??OFO,从而OO?33,121连接OA,则OA为所得几何体外接球的半径,:..在直角?AOO中,由OA?6,OO?33,可得OA2?OO2?OA2?27?36?63,11111即外接球的半径为R?OA?63,故所得几何体外接球的表面积为S?4?R2?252?.故答案为:252?.【题目点拨】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及多面体的外接球的表面积的计算,其中解答中熟记空间几何体的结构特征,求得外接球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力与运算求解能力,.②③【解题分析】根据局部频率和整体频率的关系,依次判断每个选项得到答案.【题目详解】不能确定甲乙两校的男女比例,故①不正确;因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率,故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率,故②正确;因为不能确定甲乙两校的男女比例,故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系,故③:②③.【题目点拨】本题考查局部频率和整体频率的关系,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。??2,0?17.(1)①极小值为1,无极大值.②实数k的值为1.(2)【解题分析】k?1f?x?f?x??x2?2lnxf?x?(1)①将代入可得,求导讨论函数单调性,即得极值;②设x是函数的一个“F0:..??2kx2?11x?0f??x???k?0f??x??0点”(),即是的零点,那么由导数f?x?可知,且,可得x?,根000kxf?x??xx?2lnx?1?0??x??x?2lnx?1??x?k据可得,设,由的单调性可得x,即得.(2)方法一:先00000g?x?g?x?xxg??x??0xx求的导数,存在两个不相等的“F点”,,可以由和韦达定理表示出,的关系,再由1212g?x??g?x??x?xa,b,cg?x??g?x??x?x?1g?x?,可得的关系式,:由函数12121212?3ax2?2bx?c?0存在不相等的两个“F点”x和x,可知x,x是关于x的方程组?的两个相异实数根,由1212ax3?bx2?cx?x?32x?0x?0g?x?x?0g?x?ax?bx?cx?x得,分两种情况:是函数一个“F点”,不是函数一个“F点”,进行讨论即得.【题目详解】k?1f?x??x2?2lnxk?R解:(1)①当时,(),2?x?1??x?1?f??x??x?0f??x??0x?1则有(),令得,x列表如下:?0,1??1,???x1f??x???0f?x?极小值f?x?x?1故函数在处取得极小值,极小值为1,?x?x?0②设是函数的一个“F点”().00?2?2kx?1??x?0?xf??x?f?x?(),?k?0f??x??0kx2?1x?,由,得,,000kf?x??xkx2?2lnx?xx?2lnx?1?0由,得,??x??x?2lnx?1???x??1??0设,则,x:..??x??x?2lnx?1?0,?????1??0所以函数在上单调增,注意到,1所以方程x?2lnx?1?0存在唯一实根1,所以x??1,得k?1,000kk?1x?1f?x?根据①知,时,是函数的极小值点,f?x?所以1是函数的“F点”.综上,?x??ax3?bx2?cxc?Ra?0(2)由(a,b,,),g??x??3ax2?2bx?ca?0可得().g?x?xx又函数存在不相等的两个“F点”和,12?x,x是关于x的方程3ax2?2bx?c?0(a?0)????4b2?12ac?0??2b??x?x??123a??cxx??12?3ag?x??ax3?bx2?cx?xg?x??ax3?bx2?cx?x又,,1111122222?????32??32??gx?gx?x?x,即ax?bx?cx?ax?bx?cx?x?x,121211122212????22????从而x?xax?xx?x?bx?x?c?x?x12?112212?12x?x?a??x?x?2?xx??b?x?x??c?1,,12?1212?12?2b2c?2b??????即a?????b??c?1.?23ac?b2?9a.??????3a?3a??3a???g?x??g?x??1,122b2c????2???gx?gx?x?x??x?x??4xx???41212??1212?3a?3a?2?4b?3ac2????1,9a2a??2,0?解得?2?a?,实数a的取值范围为.:..g?x??ax3?bx2?cxc?Ra?0(2)(解法2)因为(a,b,,)g??x??3ax2?2bx?ca?0所以().g?x?xx又因为函数存在不相等的两个“F点”和,12?3ax2?2bx?c?0所以x,x是关于x的方程组??bx2?cx?x?由ax3?bx2?cx?x得x?0,ax2?bx?c?1??0g?x?c0x??()当是函数一个“F点”时,?2b?2?2b?所以a??b??1?0,即9a??2b2.?????3a??3a?2bg?x??g?x??x?x???0?1又,12123a229a2?2??9a?a?0?2?a?0所以4b?9a,,?0g?x?()当不是函数一个“F点”时,?3ax2?2bx?c?0则x,x是关于x的方程??bx?c?1?0??2b?b?b?0??3?11又a?0,所以?得?3所以ax2??,得x???.cc?21,22a??c?1??2????31所以g?x??g?x??x?x?2??1,得?2?a???2,0?综合()(),实数a的取值范围为.【题目点拨】本题考查利用导数求函数极值,以及由函数的极值求参数值等,是一道关于函数导数的综合性题目,考查学生的分析和数学运算能力,.(1)(2)(3)见解析,5200【解题分析】(1)根据频数计算频率,得出概率;(2)根据优惠标准计算平均利润;:..(3)求出各种情况对应的X的值和概率,得出分布列,从而计算出数学期望.【题目详解】25?10?52解:(1)估计1位会员至少消费两次的概率p??;1005(2)第1次消费利润60??30?27;第2次消费利润60??30?24;第3次消费利润60??30?21;第4次消费利润60??30?18;27?24?21?18这4次消费获得的平均利润:??24127?24?21(3)1次消费利润是27,概率是;2次消费利润是?,概率是;3次消费利润是?24,524311概率是;,概率是;102039由题意:X?0,,3,223311111187P(X?0)?????????55441010202020033111119P(X?)?2(?????)?254410102025311129P(X?3)?2(???)?5104202009313P(X?)?2???252050故分布列为:39X0322879293P200252005087392993249期望为:E(X)?0????3????200225200250200【题目点拨】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,.(1)(2)见解析,88【解题分析】(1)根据题意设出事件,列出概率,运用公式求解;(2)由题得,X的所有可能取值为0,1,2,根据(1)和变量对应:..的事件,可得变量对应的概率,即可得分布列和期望值.【题目详解】(1)记2家小店分别为A,B,A店有i人休假记为事件A(i?0,1,2),B店有i人,休假记为事件B(i?0,ii1,2),发生调剂现象的概率为P.?1?21则P?A??P?B??C0?,??002?2?4121??P?A??P?B??C1?,??112?2?2121??P?A??P?B??C2?.??222?2?411111P?P?AB??P?AB??????:(2)依题意,X的所有可能取值为0,1,?X?0??P?AB????,22441611111P?X?1??P?AB??P?AB??????,1221422441111P?X?2??1?P?X?0??P?X?1??1???.16416所以X的分布表为:X0121111P**********E?X??2??1??0??【题目点拨】:?x?1?2?y2?1,?y?0?l:x?3y?6?020.(1),(2)最大值,最小值12【解题分析】?x?1?cos?(1)由曲线C的参数方程?,得cos??x?1,y?sin?两式平方相加求解,根据直线l的极坐标方程y?sin??:..???31?sin?????3,展开有?sin???cos??3,再根据y??sin?,x??cos?求解.?6?22(2)因为曲线C是一个半圆,利用数形结合,圆心到直线的距离减半径即为最小值,最大值点由图可知.【题目详解】?x?1?cos?(1)因为曲线C的参数方程为?y?sin??所以cos??x?1,y?sin??x?1?2?y2?1,?y?0?两式平方相加得:???因为直线l的极坐标方程为?sin?????3.?6?31所以?sin???cos??32231所以y?x?322即x?3y?6?0(2)如图所示:1?3圆心C到直线的距离为:d???22所以圆上的点到直线的最小值为:d?d??r?1min2?35则点M(2,0)到直线的距离为最大值:d??max22【题目点拨】本题主要考查参数方程,普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.:..23021.(1).(2)【解题分析】(1)以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,则BE?(﹣1,0,2),CP?(﹣2,﹣1,1),?(2)设FP??FD,0≤λ≤1,计算P(0,2λ,2﹣2λ),计算平面APC的法向量n?(1,﹣1,),平面ADF2?2?的法向量m?(1,0,0),根据夹角公式计算得到答案.【题目详解】(1)∵BAF=90°,∴AF⊥AB,又∵平面ABEF⊥平面ABCD,且平面ABEF∩平面ABCD=AB,∴AF⊥平面ABCD,又四边形ABCD为矩形,∴以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,AF为z轴,建立空间直角坐标系,∵AD=2,AB=AF=2EF=2,P是DF的中点,∴