海南省东方市民族中学2024届全国卷Ⅲ数学试题高考模拟题解析(精编版.pdf

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目详解】????解:因为当x=时,sin?x???sinx,3?3?2?所以由周期函数的定义知不是函数y=sinx的周期,3故①正确;f?x?对于定义在R上的函数,f??2??f?2?f?x?若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故②正确;当M?1,N?0时不满足logM>logN,22则“M>N”不是“logM>logN,”成立的充分不必要条件,22故③错误;若实数a满足a2?4,则﹣2?a?2,所以a?2成立,故④正确.:..?正确命题的序号是①②④.故答案为:①②④.【题目点拨】本题主要考查了命题真假的判定,、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)模型的拟合程度更好;(2)(i);(ii)亿元.【解题分析】(1)由相关系数求出两个系数,比较大小可得;(2)(i)先建立关于的线性回归方程,从而得出关于的回归方程;(ii)把代入(i)中的回归方程可得值.【题目详解】本小题主要考查回归分析等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、抽象概括能力及应用意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,考查数学抽象、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养,体现基础性、:(1),,则,因此从相关系数的角度,模型的拟合程度更好(2)(i),得,,所以关于的线性回归方程为,所以,则(ii)下一年销售额需达到90亿元,即,代入得,,又,所以,所以,:..所以预测下一年的研发资金投入量约是亿元【题目点拨】本小题主要考查抛物线的定义、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系、导数几何意义等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等,考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养,体现基础性、综合性与应用性618.(1)y???;(2)117人;(3)分布列见解析,E??5【解题分析】(1)首先求得和y,再代入公式即可列方程,由此求得y关于x的线性回归方程;x(2)根据回归直线方程计算公式,计算可得人数;(3)和被选中的人数分别为2和3,利用超几何分布分布列的计算公式,计算出?的分布列,并求得数学期望.【题目详解】n?xy?nx?yii7797?5?53?103251?i?1(1)由题b????,n214325?5?532140?x2?nxii?1a??103??53????(若第一问求出a??103??53????.)(2)当x?61时,y??61??117所以预测2019年高考该校考入名校的人数约为117人(3)由题知和被选中的人数分别为2和3,进行演讲的两人是2018年毕业的人数?的所有可能取值为0,1,2C21C1C13C23P???0??2?,P???1??23?,P???2??3?C210C25C210555?的分布列为?012133P10510136E??0??1??2??105105:..【题目点拨】本小题主要考查平均数有关计算,考查回归直线方程的计算,考查期望的计算,考查超几何分布和数据处理能力,.(1)a?1,b??;(2)见解析2【解题分析】分析:第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上,从而建立关于a,b的等量关系式,从而求得结果;第二问可以有两种方法,一是将不等式转化,构造新函数,利用导数研究函数的最值,从而求得结果,二是利用中间量来完成,这样利用不等式的传递性来完成,再者这种方法可以简化运算.?f??0??1?a?2?3f??x???x?1?ex?2x?aa?1,b??详解:(1)解:,由题意有?3,解得f?0??b??2??23f?x??xex?x2?x?h?x??xex?x2?x?lnx(2)证明:(方法一)由(1)知,.设23h?x??则只需证明21?1?1h??x???x?1?ex?2x?1???x?1?ex?2?g?x??ex?2???,设x?x?x1g??x??ex??0?g?x??0,???则,在上单调递增x2?1?1?1?1g???e4?2?4?0,g???e3?2?3?0?4??3??11???x??,?,使得0?43?x??0,x?g?x??0x??x,???g?x??0且当时,,当时,00?x??0,x?h??x??0h?x?当时,,单调递减0x??x,???h??x??0h?x?当时,,单调递增011?h?x??h?x??xex?x2?x?lnxex?2??0ex??20,由0,得0,min00000xx00?1??h?x??x?2?x2?x?lnx?x2?x?1?lnx??,00x000000??0?11?1?2x?1??x?1???x??x2?x?1?lnxx?,???x??2x?1?设,??,??43?xx:..?11??11??x?,???x??0??x?,当??时,,在??单调递减,?43??43??1??1?21?1?733?h?x????x?????1?ln??ln3?h?x?????????,因此00333?3?922????33(方法二)先证当x?0时,f?x??xex?x2?x??2x?,即证xex?x2?x?022g?x??xex?x2?xx?0g??x???x?1?ex?2x?1g??0??0设,则,且g??x???x?2?ex?2?0?g??x??0,???g??x??g??0??0,在单调递增,?g??x??0,???g?x??xex?x2?x?g?0??0在单调递增,则当x?0时,33(也可直接分析xex?x2?x??2x??xex?x2?x?0?ex?x?1?0显然成立)223再证2x??lnx2312x?11h?x??2x??lnxh??x??2??h??x??0x?设,则,令,得2xx2?1?x?0,h??x??0h?x?且当??时,,单调递减;?2??1?x?,??h??x??0h?x?当??时,,单调递增.?2?3?1?13?h?x??2x??lnx?h???ln2?02x??lnx??,即2?2?2233f?x??xex?x2?x??2x??f?x??lnx又,22点睛:该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题,在求解的过程中,涉及到的知识点有导数的几何意义,有关切线的问题,还有就是应用导数证明不等式,可以构造新函数,转化为最值问题来解决,也可以借用不等式的传递性,??x?????1f??x??2sin4x?4cos2x20.(1);(2).【解题分析】(1)根据复合函数的求导法则可得结果.(2)同样根据复合函数的求导法则可得结果.【题目详解】u?x????1??u??euf?x????u?x??(1)令,,则??,:..u??x??????u??euf??x??e??1????????1而,,?x??sin2x?1??u??u2f?x????u?x??(2)令,,则??,u??x??2cos2x???u??2uf??x??2cos2x?2u?4cos2x?sin2x?1?而,,故,f??x??2sin4x?4cos2x化简得到.【题目点拨】本题考查复合函数的导数,此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合,再根据复合函数的求导法则可得所求的导数,?1111?21.(1)??1;(2)?,??.?54?45?【解题分析】(1)根据焦点坐标和离心率,结合椭圆中a,b,c的关系,即可求得a,b,c的值,进而得椭圆的标准方程.(2)设出直线AB的方程为y?kx?m,,由韦达定理表示出x?x,xx,由判别式???可得22;由平面向量的线性运算及数量积定义,化简可得5k?4?mOA?OB121212OA?OB?1?AB,代入弦长公式化简;由中点坐标公式可得点M的坐标,代入圆的方程x2?y2?1,化简可得4??22t?20t?8?5k?42,代入数量积公式并化简,由换元法令t?k2?1,代入可得OA?OB?1?20?,m??5t?1??25t?9?25k2?1616??1t20t?8再令s?及??5?2s,结合函数单调性即可确定25的取值范围,即确定的取值范围,t9???50?5t?1??25t?9??因而可得OA?OB的取值范围.【题目详解】x2y21F(?1,0),F(1,0)C:??1,(a?b?0)()12分别是椭圆的左焦点和右焦点,a2b25则c?1,椭圆C的离心率为,5c15则e???,解得a?5,aa5所以b2?a2?c2?5?1?4,:..x2y2所以C的方程为??(2)设直线AB的方程为y?kx?m,点M满足BM?BA,则M为AB中点,点M在圆x2?y2?1上,设2A?x,y?,B?x,y?,1122?y?kx?m???5k2?4x2?10kmx?5m2?20?0联立直线与椭圆方程?x2y2,化简可得,???1?54?10km5m2?20所以x?x?,xx?,1221225k?45k?42??????2222则??10km?4?5k?4?5m?20?0,化简可得5k?4?m,????而OA?OB?OM?MA?OM?MB2?OM?OM?MB?MA?OM?MA?MB22?OM?MB12?1?AB42121?2?由弦长公式代入可得OA?OB?1?AB?1?k2?1??x?x??4xx?1212?44??22?22?k?180?5k?4?m?1????4?2?5k?4??x?x?5kmk?x?x??2b4mAB1212M为中点,则x??,y??,M2M225k?425k?4??225k?4点M在圆x2?y2?1上,代入化简可得2,m?25k2?16k2?15k2?4?m2OA?OB?1??80?所以4??25k2?4????k2?120k2?12?1?20?????5k2?425k2?16:..t?20t?8?令t?k2?1,则OA?OB?1?20?,t?1,?5t?1??25t?9?8??20?1t20t?820?8st令s?,0?s?1,则???5t?1??25t?9??1??9??5?s??25?9s?t?5???25???t??t?4?5?2s???5?s??25?9s?5????5?2s,???3,5?s?令,则,24?5?2s?16?16??所以?5?s??25?9s??5????5?9??25,9???50?16?43?25??,f????9???50???3,5??因为在内单调递增,所以25?2516?,?9???50?t?20t?8?43??即??,?????5t?125t?9?2516?t?20t?8?1111??所以OA?OB?1?20???,???????5t?125t?9?45?【题目点拨】本题考查了椭圆的标准方程求法,直线与椭圆的位置关系综合应用,由韦达定理研究参数间的关系,平面向量的线性运算与数量积运算,弦长公式的应用及换元法在求取值范围问题中的综合应用,计算量大,.(1)3x?4y?17?0,(x?1)2?y2?9;(2)见解析【解题分析】(1)消去t,得直线l的普通方程,利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C的直角坐标方程;(2)判断l与圆A相离,连接AQ,AP,在Rt?APQ中,PQ|2?PA|2?|AQ|2?42?32?7,即可求解【题目详解】?x?3?4t(1)将l的参数方程?(t为参数)消去参数,得3x?4y?17?0.?y??2?3t?x??cos?因为?,?2?2?cos??8?0,?y??sin?:..C?x?1?2?y2???1,0?(2)由(1)知曲线是以为圆心,3为半径的圆,设圆心为A,?3?17则圆心A到直线l的距离d??4?3,5所以l与圆A相离,且PA?,AP,在Rt?APQ中,PQ|2?PA|2?|AQ|2?42?32?7,所以,PQ?7,即PQ的最小值为7.【题目点拨】本题考查参数方程化普通方程,极坐标与普通方程互化,直线与圆的位置关系,是中档题