襄阳市四中、五中2024年自主招生考试数学试题(word版附答案).pdf

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=09.④把两组根分别代入方程①和②,均可得;4?+2?+?
=-3≤x≤-2时,y=x2-x-3=(x-1)2-13,当x=-3时,有最大值9,当x=-2时,有最小值243;当-2≤x≤-1时,y=x2+x+1=(x+1)2+3,当x=-2时,有最大值3,当x=-1时,有最小值1;24当-1≤x≤0时,y=-x2+x+3=-(x-1)2+13,当x=-1时,有最小值1,当x=0时,有最小值3;24综上可知:(共计30分)11.-2≤x≤2且x≠-1,x≠0;;=1±5,∴a=1,b=5?1,∴=2;;15.①②③④;,边长为2的正方形(第①圈)上共有格点4×〔(2×①+1)-1〕=8=8×1个,b(1,1),8以O为中心,边长为4的正方形(第②圈)上共有格点4×〔(2×②+1)-1〕=16=8×2个,b(2,2),24即b(2,2),以O为中心,边长为6的正方形(第③圈)上共有格点4×〔(2×③+1)-1〕=24=8×38+16个,b(3,3),即b(3,3),??,以O为中心,边长为2n的正方形(第n圈)上共有格点4×〔(2488+16+24×n+1)-1〕=8个,nb(n,n),前n个正方形上的格点的总数为S=8+16+24+??+8+16+24+??+8nn8n=8(1+2+3+??+n)=4n(n+1),当n=22时,S=2024,∴b(22,22),∴b(16,22)(共70分):∵?+=4,∴(??)2=(?+)2-4?·=42-4=12,∴??=±23,?????∴??1=(?+1)(??1)=4×(±23)=±83???18.⑴这批树共8+12+14+10+6=50(棵);⑵其中位数在第3组;⑶概率为:12=;50⑷其平均数为:45×8+55×12+65×14+75×10+85×6=(cm).5019.⑴∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=∠C=∠D=90°.∵AD沿AE折叠,点D落在BC边的点F处,∴∠AFE=∠D=90°,FE=DE,∴∠AFB+∠CFE=90°.∵∠AFB+∠BAF=90°,∴∠CFE=∠BAF,又∵∠B=∠C=90°,∴△ABF∽△(2)在Rt△EFC中,∵tan∠EFC=EC=,∴设EC=3x,则FC=4x,EF=EC2+FC2=5x,∴DE=EF=5x,FC4AB=DC=DE+EC=8x.∵△ABF∽△FCE,∴AF=AB,即AF=8x,∴AF=:AD=AF,∴AD=△ADE中,AD=10x,DE=5x,AE=55,由勾股定理得AD2+DE2=AE2,即(10x)2+(5x)2=(55)2,解这个方程得x=1,x=-1(负数不合题意,舍去).∴AD=10,AB=8,∴AB=8,BC=AD=.⑴⑵1000×(1π?2??2)÷?2=(粒)⊥AC于E点、OF⊥BD于F点,则四边形OEMF为矩形,连接OC、OD,∴MF=EO=,FO=,∴2+?
2=OM2=36,?
1?
2?
12∴S=1AC·BD=1×2100?d2×2100?d2四边形ABCD2212=22×2≤(2)2+(2)2100?d1100?d2100?d1100?d2=(2)+(2)=200-(2+?
2)=200-36=?d1100?d2?
:⑴由函数图象可知:当5≤x≤7时,y=-2x+20;当7<x≤12时,y=-x+13;⑵由题意得,月利润?=(x-5)·?-10,由⑴可知,当5≤x≤7时,=(x-5)(-2x+20)-10=-2(x-)2+;?1当7≤x≤12时,=(x-5)(-x+13)-10=-(x-9)2+6,?2综上可知:该商品每吨定价为9万元时,销售该商品的月利润最大,?b2?c21a2?b2?:S?[a2b2?()2]=(ab)2?()242241a2?b2?c21a2?b2?c22ab?a2?b2?c22ab?a2?b2?c2=(ab?)(ab?)=?242444(a?b)2?c2c2?(a?b)2a?b?ca?b?ca?c?bb?c?a=?=???=p(p?a)(p?b)(p?c).442222附:①海伦公式的证明证明:如图,在△ABC中,过A作高AD交BC于D,设BD=,那么xDCa=-x,由于AD是△ABD、△ACD的公共边,则h2=c2-x2=b2-(a-x)2,c2-b2+a2c2-b2+a2解得x=,于是h=c2-()2,2a2a11c2-b2+a21c2+a2-b21S=ah=a·c2-()2,即S=c2a2-()2,令p=(a+b+c),△ABC的面积222a222对被开方数分解因式,并整理得到S=p(p?a)(p?b)(p?c).?b2?c2②由海伦公式推导秦九韶公式:S?[a2b2?()2].421推导过程:p(p?a)(p?b)(p?c)=(2p?2a)(2p?2b)?2p?(2p?2c)1611=(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)=[c2?(a?b)2][(a?b)2?c2]161614a2b2(a2?b2)?2(a2?b2)?c2?(c2)21a2?b2?c2=[?]=[a2b2?()2].444421a2?b2?c2故p(p?a)(p?b)(p?c)=[a2b2?()2].:(1)设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)2+4,∵点B的坐标为(3,0).∴4a+4=0,∴a=﹣1,∴此抛物线的解析式为:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3;(2):x=1,∵点E的横坐标为2,∴y=﹣4+4+3=3,∴点E(2,3),??+?=0?=1∴设直线AE的解析式为:y=kx+b,∴,∴,2?+?=3?=1∴直线AE的解析式为:y=x+1,∴点F(0,1),∵D(0,3),∴D与E关于x=1对称,作F关于x轴的对称点F′(0,﹣1),连接EF′交x轴于H,交对称轴x=1于G,四边形DFHG的周长即为最小,?=?1?=2设直线EF′的解析式为:y=mx+n,∴,解得:,2?+?=3?=?1∴直线EF′的解析式为:y=2x﹣1,∴当y=0时,2x﹣1=0,得x=1,即H(1,0),22当x=1时,y=1,∴G(1,1);∴DF=2,FH=F′H=(1)2+12=5,DG=22+12=5,22∴使D、G,H、F四点所围成的四边形周长最小值为:DF+FH+GH+DG=2+5+5+5=2+25;22+(3)存在.∵BD=32+32=32,设M(c,0),∵MN∥BD,∴?
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=??
,即?
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=1?
,????324∴MN=32(1+c),DM=32+?
2,要使△DNM∽△BMD,需??
=?
?
,即DM2=BD?MN,4????
可得:9+c2=32×32(1+c),解得:c=3或c=3(舍去).当x=3时,y=﹣(3?1)2+4=∴存在,点T的坐标为(3,15).22