下载此文档

第七章-矩阵函数.doc


文档分类:高等教育 | 页数:约36页 举报非法文档有奖
1/36
下载提示
  • 1.该资料是网友上传的,本站提供全文预览,预览什么样,下载就什么样。
  • 2.下载该文档所得收入归上传者、原创者。
  • 3.下载的文档,不会出现我们的网址水印。
1/36 下载此文档
文档列表 文档介绍
该【第七章-矩阵函数 】是由【吴老师】上传分享,文档一共【36】页,该文档可以免费在线阅读,需要了解更多关于【第七章-矩阵函数 】的内容,可以使用淘豆网的站内搜索功能,选择自己适合的文档,以下文字是截取该文章内的部分文字,如需要获得完整电子版,请下载此文档到您的设备,方便您编辑和打印。6第七章矩阵函数在定义了矩阵范数之后,便可以度量线性空间中矩阵的大小和矩阵间的接近程度,进而引入极限的概念,并基于此建立矩阵分析理论。本章将介绍矩阵序列和矩阵级数的定义和收敛性判断,并给出矩阵函数的定义和计算方法。§(或),所讨论矩阵均为方阵,非方阵的情况按照相应的范数也可类似定义。我们把阶矩阵序列,简记为,其中,显然,一个阶矩阵序列中各矩阵的所有对应位置构成个数列,其中。定义1设矩阵序列(),其中,假设个数列都收敛,即存在数,使得那么称矩阵序列是收敛的,并把矩阵称为的极限,或称矩阵序列收敛于,简记为或假设这个数列中至少有一个不收敛,那么称矩阵序列是发散的。例1讨论阶矩阵序列和的敛散性,其中,。6解因为,,,故有,即矩阵序列是收敛的。又因为数列的极限不存在,故矩阵序列是发散的。假设把向量看做是特殊的矩阵序列,那么向量序列收敛的定义类似可得。由定义1可知,一个矩阵序列的收敛等价于个数列的收敛,但用初等分析的方法来研究未免有些繁琐,因此可以借助矩阵范数将矩阵序列的敛散性与一个数列的敛散问题等价。定理1阶矩阵序列收敛于矩阵的充要条件是,其中范数为任一种矩阵范数。证明由矩阵范数的等价性可知,必存在实数,使得对于任意的矩阵都有故有即可通过矩阵的范数来进行定理证明。必要性。设,由定义1可知,对于每一个都有,即于是即故有对于矩阵的任意范数都有充分性。因为,那么有。因此,对于每一个都有6此即于是根据矩阵范数的等价性可知,定理1对于任何一种矩阵范数都成立。定理2假设矩阵序列收敛,那么其极限是唯一的。证明假设矩阵序列收敛极限不唯一。不妨设阶矩阵序列收敛于矩阵,同时收敛于矩阵,且。那么至少存在一组,使得,其中。即对于数列来说有且这与收敛数列极限的唯一性相悖,故假设不成立,得证矩阵序列收敛极限唯一。由于矩阵序列收敛的充分必要条件是各元素组成的数列收敛,而数列的极限是唯一的,因此矩阵序列的极限也是唯一的。定理3假设矩阵序列收敛,那么此矩阵序列有界。即存在正数,使得对一切都有。证明设序列收敛于,即,亦即对,存在,使得时,有从而其中,。取,即有利用数列收敛的概念和定理1,容易得到矩阵序列如下的性质。(1)设,,其中,那么6(2)设,,其中,那么(3)设,且,那么(4)设,且均可逆,那么矩阵序列也收敛,且证明(1)因为故(2)由于又由条件可知,,再由有界,故知即(3)由(2),令,那么,故有。再将看成,看成,那么有。(4)因为此时,,(),设为的伴随矩阵,那么有6故注:性质(4)中的的可逆性是不可少的,因为的可逆不能保证一定可逆。例2讨论矩阵序列的收敛性及其极限的可逆性。解答显然每个都是可逆的,且。而的极限为它是不可逆的。定理4设且,那么矩阵序列收敛。证明先证对角线上元素序列收敛。由条件有,对任意的,有取,即第个位置为1,其余位置均为,代入上式得(设),故的极限存在。再证一般的元素序列收敛()。将上面的换成,得6故收敛。再由和都收敛知收敛,因此存在。现在考虑由矩阵的幂所构成的矩阵序列的收敛性。定理5设矩阵,那么的充要条件是。证明设的标准形为且存在可逆变换,使得。其中特征值所对应的块具有如下形式且表示矩阵的互异特征值的个数,表示特征值所对应的代数重复度,且有,表示特征值所对应的子块的个数,表示特征值所对应的第个子块的维数。于是显然,的充要条件是。又因为6我们把子块分解成两项〔7-1〕其中,这个矩阵有一个很好的性质,即的幂次每增加1次,主对角线上方这排1就向右上方平移一次,特别有于是由二项式定理有〔7-2〕其中于是的充要条件是,,,而的充要条件是。因此的充要条件是。6推论设矩阵,假设存在矩阵范数,使得,那么。例3判别矩阵序列的敛散性。(1),(2),(3)解(1)因为矩阵的特征值为,故有,因此由定理5有序列收敛,且。(2)有时也不必求出矩阵的所有特征值才能确定与1的大小关系。由于,由定理5的推论知序列收敛,且。(3)简单求解得矩阵的特征值分别为,因此有。所以序列发散。由定理5的证明过程,不难得出当时,矩阵序列发散。因为,那么至少存在一个,那么由的具体形式可知其对角线元素构成的数列发散,故矩阵序列发散,从而发散。例4设矩阵,试判断序列的敛散性。解简单求解得矩阵的特征值分别为,那么有矩阵的谱半径,此时利用定理5及其推论无法判断序列的敛散性,但可按照定理5的证明思路来分析。首先求得矩阵的标准形为即存在可逆阵,使得,从而有6因此有所以发散。例5设矩阵,那么讨论取何值时序列收敛于。解求得矩阵的特征值分别为,故有的谱半径。由本节定理5有,当时,矩阵序列收敛于。§,并利用矩阵序列极限的概念讨论级数收敛及其相应的性质。这些内容会给矩阵函数的研究,微分方程的求解等问题带来方便。(或)是一个矩阵序列,那么称其无穷和为矩阵级数,常简记为。对于任意正整数,定义矩阵级数的前项局部和为假设由构成的矩阵序列收敛,且有,那么称矩阵级数6收敛,且有。假设矩阵序列发散,称矩阵级数发散。定义2设为(或)中的矩阵级数,假设对某矩阵范数,正项数项级数收敛,那么称矩阵级数绝对收敛。根据矩阵范数的等价性可知,这里的矩阵范数是任意的。定理1矩阵级数,()收敛的充分必要条件是对任意的,数项级数收敛,其中。证明必要性。设收敛,即其局部和序列收敛。根据矩阵序列收敛的充要条件可知,各分量序列收敛,即级数收敛。充分性。设对任意的,级数收敛,即数列收敛,其中。由矩阵序列收敛的充要条件可知局部和序列收敛,即收敛。注:定理给出了矩阵级数收敛的另一种定义。即设是(或)空间中的矩阵级数,那么假设个数项级数都收敛,那么称矩阵级数收敛。定理2矩阵级数绝对收敛的充分必要条件是对任意的,正项数项级数

第七章-矩阵函数 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.

相关文档 更多>>
非法内容举报中心
文档信息
  • 页数36
  • 收藏数0 收藏
  • 顶次数0
  • 上传人吴老师
  • 文件大小3.19 MB
  • 时间2024-04-21