全国初中数学联赛试题及解答.doc

该【全国初中数学联赛试题及解答 】是由【莫比乌斯】上传分享，文档一共【11】页，该文档可以免费在线阅读，需要了解更多关于【全国初中数学联赛试题及解答 】的内容，可以使用淘豆网的站内搜索功能，选择自己适合的文档，以下文字是截取该文章内的部分文字，如需要获得完整电子版，请下载此文档到您的设备，方便您编辑和打印。20XX年全国初中数学联赛试题及解答??20XX年全国初中数学联合竞赛试题??第一试??一、选择题??,y,z满足2355x?y==,则的值为()xy?zz+xy+2z??111(A)1.(B).(C)?.(D).332??,,,…,,1,2,…,2005,2006,20072007200620052??1?x2??时,计算代数式的值,将所得的结果相加,其和等于()1+x2??(A)-1.(B)1.(C)0.(D)2007.??,b,c是△ABC的三边长,二次函数y=(a?x2?cx?a?在x=1时取22??8最小值?b,则△ABC是()5??(A)等腰三角形.(B)锐角三角形.(C)钝角三角形.(D)直角三角形.??△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径,则∠A的度数是()??(A)30°.(B)45°.(C)60°.(D)75°.??△ABC内任意一点,△KAB、△KBC、△KCA的重心分别为D、E、F,则S△DEF:S△ABC的值为()??1224(A).(B).(C).(D).9993??、6个黑球、7个白球,从袋中摸出15个球,摸出的球中恰好有3个红球的概率是()??(A)1132.(B).(C).(D).105105??二、填空题??=1??2?1,a是x的小数部分,b是?x的小数部分,则??a3+b3+3ab=____1___.????,关于x的一元二次方程x2?(n+2)x?2n2=0的两个根记作an,bn(n≥2),则??111+L+=+(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)(a2007?2)(b2007?2)??=2,BC=CD=10,AD=6,过B、D两点作圆,与BA的延长线交于点E,与CB的延长线交于点F,则BE?BF的值为_________.????+64和201a+64均为四位数,且均为完全平方数,则整数a的值是__??第二试(A卷)??一、设m,n为正整数,且m≠2,如果对一切实数t,二次函数y=x2+(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离不小于2t+n,求m,n的值.??二、如图,四边形ABCD是梯形,点E是上底??边AD上一点,CE的延长线与BA的延长线交于点AFPMDF,过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M,??:∠AFN=∠DME.??BC??三、已知a是正整数,如果关于x的方程x3+(a+17)x2+(38?a)x?56=0的根都是整数,求a的值及方程的整数根.??????第二试(B卷)??一、设m,n为正整数,且m≠2,二次函数y=x2+(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为d1,二次函数y=?x2+(2t?n)x+≥d2对一切实数t恒成立,求m,n的值.??二、题目和解答与(A)卷第二题相同.??三、设a是正整数,二次函数y=x2+(a+17)x+38?a,反比例函数y=56,x如果两个函数的图象的交点都是整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求a的值.????第二试(C卷)??一、题目和解答与(B)卷第一题相同.??二、题目和解答与(A)卷第二题相同.??三、设a是正整数,如果二次函数y=2x2+(2a+23)x+10?7a和反比例函数y=11?3a的图象有公共整点(横坐标和纵坐标都是整数的点),求a的值和x??对应的公共整点????20XX年全国初中数学联合竞赛答案??第一试??一、选择题???y5x?3x1====,故选(B).得y=3x,z=x,所以xy?zz+xy+2z3x+3x32??注:本题也可用特殊值法来判断.?????(2??11?n2n2?11?n2=0x+因为,即当分别取值,n(n为正整+=2221nn+11+n1+n1+(2??n1?12??=,当x分数)时,计算所得的代数式的值之和为0;而当x=1时,1+12??别取值1111,,,…,,1,2,…,2005,2006,2007时,计2007200620052??(C).????.?c??=1,?b?b+c=2a,34a2(???c=ba=b,因此由题意可得?即所以,23?55c=b,??bb85?a??c?a?=?b,???225???a2+c2=b2,所以△(D).????.??锐角△ABC的垂心在三角形内部,如图,设△ABC的外??D为BC的中点,心为O,连CE、BO的延长线交⊙O于点E,AE,则CE//AH,AE//CH,则OB=AH=CE=2OD,????所以∠OBD=30°,∠BOD=60°,所以∠A=∠BOD=60°.故选(C).????.??分别延长KD、KE、KF,与△ABC的三边AB、BC、CA交于点M、N、P,由于D、E、F分别为△KAB、△KBC、△KCA的重心,易知M、N、P分别为AB、BC、CA的中点,所以S△MNP=1S△??易证△DEF∽△MNP,且相似比为2:3,所以??4112S△DEF=()2S△MNP=?S△ABC=S△??1所以S△DEF:S△ABC=.故选(A).9????.??设摸出的15个球中有x个红球、y个黑球、z个白球,则x,y,z都是正整数,且x≤5,y≤6,z≤7,x+y+z=+z≤13,所以x可取值2,3,4,5.??当x=2时,只有一种可能,即y=6,z=7;??当x=3时,y+z=12,有2种可能,y=5,z=7或y=6,z=6;当x=4时,y+z=11,有3种可能,y=4,z=7或y=5,z=6或y=6,z=5;当x=5时,y+z=10,有4种可能,y=3,z=7或y=4,z=6或y=5,z=5或y=6,z=4.??因此,共有1+2+3+4=10种可能的摸球结果,其中摸出的球中恰好有3个红球的结果有2种,所以所求的概率为21=.故选(B).105????二、填空题∵x=1??2?1=2+1,而2<2+1<3,∴a=x?2=2?1.??又∵?x=?2?1,而?3<?2?1<?2,∴b=?x?(?3)=2?2.∴a+b=1,??∴??a3+b3+3ab=(a+b)(a2?ab+b2)+3ab=a2?ab+b2+3ab=(a+b)2=.?1003由根与系数的关系得an+bn=n+2,an?bn=?2n2,所以(an?2)(bn?2)=anbn?2(an+bn)+4=?2n2?2(n+2)+4=?2n(n+1),则11111,=?=?(?(an?2)(bn?2)2n(n+1)2nn+1??111+L++(a2?2)(b2?2)(a3?2)(b3?2)(a2007?2)(b2007?2)??1?111111?1111003=??(?+(?)+L+(.?)?=?(?)=?2?233420072008?2220084016??⊙O于点G,设BE,DG的中点分别EN??GDC为点M,N,则易知AM==CD=10,由割线定理,易证BF=DG,所以??BE?BF=BE?DG=2(BM?DN)=2(BM?AM)=2AB=+64=m2,201a+64=n2,则32≤m,n<100,两式相减得101a=n2?m2=(n+m)(n?m),因为101是质数,且?101<n?m<101,所以n+m=101,故a=n?m=2n?+64=n2,??整理得n2?402n+20237=0,解得n=59,或n=343(舍去).所以a=2n?101=17.????第二试(A卷)??+(3?mt)x?3mt=0的两根分别为mt和?3,所以2??二次函数y=x+(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为mt+3.????由题意,mt+3≥2t+n,即(mt+3)≥(2t+n),即222??(m2?4)t2+(6m?4n)t+9?n2≥0.??由题意知,m?4≠0,且上式对一切实数t恒成立,所以??2??m?4>0,?222??Δ=(6m?4n)?4(m?4)(9?n)≤0,2???m>2,???2?4(mn?6)≤0,?m>2,?m=3,?m=6,所以或????mn=6,?n=2,?n=1.????,∵NE//BC,??∴△PNE∽△PBC,∴??∴PB?PE=PN?PC.??又∵ME//BF,∴△PME∽△PBF,∴??∴PB?PE=PM?PF.??∴PN?PC=PM?PF,故PNPE=,PBPCPMPE=,PBPFPMPC=PNPF??又∠FPN=∠MPE,∴△PNF∽△PMC,∴∠PNF=∠PMC,∴NF//MC∴∠ANF=∠EDM.??又∵ME//BF,∴∠FAN=∠MED.??∴∠ANF+∠FAN=∠EDM+∠MED,∴∠AFN=∠DME.????三解观察易知,方程有一个整数根x1=1,将方程的左边分解因式,得??(x?1)x2+(a+18)x+56=0??因为a是正整数,所以关于x的方程[]??x2+(a+18)x+56=0(1)??的判别式Δ=(a+18)?224>0,它一定有两个不同的实数根.??而原方程的根都是整数,所以方程(1)的根都是整数,因此它的判别式2Δ=(a+18)2?224应该是一个完全平方数.????设(a+18)?224=k(其中k为非负整数),则(a+18)?k=224,即2222??(a+18+k)(a+18?k)=224.??显然a+18+k与a+18?k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而224=112×2=56×4=28×8,所以???a+18+k=112,?a+18+k=56,?a+18+k=28,?a=39,或或解得或?????a+18?k=2,?a+18?k=4,?a+18?k=8,?k=55,?a=12,?a=0,或??k=26,k=10,????而a是正整数,所以只可能??a=39,?a=12,或????k=55,?k=26.??2当a=39时,方程(1)即x+57x+56=0,它的两根分别为?1和???程的三个根为1,?1和?56.??当a=12时,方程(1)即x+30x+56=0,它的两根分别为?2和?,?2和?28。??2????第二试(B卷)??+(3?mt)x?3mt=0的两根分别为mt和?3,所以2??d1=mt+3;??一元二次方程?x+(2t?n)x+2nt=0的两根分别为2t和?n,所以d2=2t+,d1≥d2?mt+3≥2t+n?(mt+3)≥(2t+n)222???(m2?4)t2+(6m?4n)t+9?n2≥0(1)??由题意知,m?4≠0,且(1)式对一切实数t恒成立,所以2??2??m?4>0,?222??Δ=(6m?4n)?4(m?4)(9?n)≤0,???m>2,???2?4(mn?6)≤0,???m=3,?m=6,?m>2,所以或???n=2,n==6,??????y=x2+(a+17)x+38?a,??消去y得56?y=,x???x2+(a+17)x+38?a=56,即x??x3+(a+17)x2+(38?a)x?56=0,分解因式得??(x?1)x2+(a+18)x+56=0(1)??显然x1=1是方程(1)的一个根,(1,56)是两个函数的图象的一个交点.??因为a是正整数,所以关于x的方程x+(a+18)x+56=0(2)????的判别式Δ=(a+18)?224>0,它一定有两个不同的实数根.??而两个函数的图象的交点都是整点,所以方程(2)的根都是整数,因此它的判别式22[]Δ=(a+18)2?224应该是一个完全平方数.??设(a+18)?224=k(其中k为非负整数),则(a+18)?k=224,即2222??(a+18+k)(a+18?k)=224.??显然a+18+k与a+18?k的奇偶性相同,且a+18+k≥18,而??224=112×2=56×4=28×8,所以???a+18+k=112,?a+18+k=56,?a+18+k=28,?a=39,?a=12,或或解得或?或?????a+18?k=2,?a+18?k=4,?a+18?k=8,?k=55,?k=26,?a=0,?k=10,???而a是正整数,所以只可能??a=39,?a=12,或????k=55,?k=26.??2当a=39时,方程(2)即x+57x+56=0,它的两根分别为?1和?56,此时两个??当a=12时,方程(2)即x+30x+56=0,它的两根分别为?2和?28,此时两个函数的图象还有两个交点(?2,?28)和(?28,?2).2????第二试(C)???y=2x2+(2a+23)x+10?7a,??消去y得11?3a,?y=x???2x2+(2a+23)x+10?7a=11?3a,即x??2x3+(2a+23)x2+(10?7a)x+3a?11=0,分解因式得??(2x?1)x2+(a+12)x+11?3a=0(1)??如果两个函数的图象有公共整点,则方程(1)必有整数根,从而关于x的一元二次方程[]??x2+(a+12)x+11?3a=0(2)必有整数根,所以一元二次方程(2)的判别式Δ应该是一个完全平方数,??而Δ=(a+12)?4(11?3a)=a+36a+100=(a+18)?224.