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第六章鞅方法定价
在上一章的二项树模型下,我们证明了,当完备市场中不成在套利机会时,市场存在唯一概率——等价鞅测度——可以用来给期权和期货定价。在这一章,我们先在二项树模型下详细解释等价鞅测度的含义。接着,我们讨论一般结果。我们将证明,这个结果在比二项树模型更复杂的经济系统中也成立。在许多背景下,我们并不需要利用市场均衡来给衍生资产定价,而是利用套利定价原理来进行定价——如果证券市场不存在套利机会,则衍生证券的价格完全由别的长期证券的价格过程来决定。在这个定价的过程中,我们通常把一个长期证券集的价格过程视为给定而来进行定价。这样就自然产生一个问题:如何确定被我们视为给定的价格过程不存在套利机会?
价格过程不存在套利机会的充分必要条件是,通过变换概率测度和对价格过程进行某种正规化之后,这些价格过程是鞅过程。无套利和鞅过程之间的这种特殊关系也可以直接用来对衍生证券进行定价。作为一个应用,我们将用这种方法来对期权进行定价,得到期权定价的一种新的方法。

在二项树模型中模型
图1一期二项式生成过程
这里
=股票在时间的价格
=股票价格上涨的概率
=一期的无风险利率
=股票价格上涨的乘子
=股票价格下跌的乘子
在每一期末,股票价格或者以概率涨为,或者以概率跌为。
每期的无风险利率为。对的限制为,这是无套利条件。直观地可以看出,无论是(这时,无风险利率总比股票的风险回报率高)还是(这时,无风险利率总比股票的风险回报率低),都存在套利机会。
等价鞅测度的含义:
等价的含义:当实际的概率为正时,也为正。
条件期望直观解释:在某种条件下的期望值。
例子:用密度函数来刻画
例子:在二项树下的条件期望
鞅的含义:
即,和均是鞅过程。
等价鞅测度存在性:
定义
,
则

从的定义可以看出,无套利条件成立当且仅当大于0而小于1(即,是概率)。
等价鞅测度唯一性:上面定义的是使得下式成立(即股票和期权价格的折现值是鞅)的唯一概率。
(Martingales are associated with “fair” gambles because expected values always equal current values. In finance, this sense of fairness translates into prices and a pricing system with no arbitrage opportunities.)
性质:在一个二项树模型中,股票和无风险证券之间不存在套利机会的充分必要条件是存在唯一的等价鞅测度。
证明:
注:由上面的证明我们可以得到,即由证券形成的任何证券组合(自融资策略)的价值的现值也是鞅。这个式子仅仅在等价鞅测度下成立。当市场是完备的时候,任何交易的(无现金流支付)衍生证券都可以通过自融资策略来复制,由无套利条件,衍生证券的价值等于自融资策略的价值,从而衍生证券价格的现值也是鞅,所以,新的价格系统也无套利。这给出了衍生证券等价鞅测度定价的方法:
由原有价格系统求出等价鞅测度
在该测度下求衍生证券的价格
注:(1) The importance of this proportion to option pricing cannot be overstated. It takes an economic notion of no arbitrage opportunities and transforms it into a mathematical notion of a martingale. As a mathematical notion, theorems can be proven, formulas derived, putations performed, which would be impossible using the economic notion alone.
(2) The proposition can be generalized to economies plex than the binomial model, which , in turn, implies that the risk neutral valuation procedure may also be generalized .
推广:(1) 利率是随机的;(2) 别的衍生证券:利率衍生产品,以商品为标的物的衍生产品,外汇衍生产品。
例子:无套利验证
例子:期货合约的无套利定价
例子:求等价鞅测度
例子:不完备市场的等价鞅测度不唯一。
例子:随机利率下的期货定价
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