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高考数学构造法在解三角题中的应用例说.doc

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构造法在解三角题中的应用例说
在解题时按常规方法难以解决或无以下手时,就需要改变方向在更广阔的背景下,通过对条件或结论的分析与思考,构造出与问题有关的代数或几何模型,从而找到解决问题的方法与途径。巧妙应用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种知识相互渗透与交融,使学生的视野更开阔,创新思维得到发展与提高。下面例说构造法在解三角问题中的应用。
一. 构造方程
例1. 已知锐角满足,求证:。
证明:已知条件可视为关于的一元二次方程
因为是锐角,所以也均为锐角,由一元二次方程求根公式得:
又则,再由,则有,故
二. 构造函数
例2. 在斜△ABC中,证明sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2
证明:构造函数
因为
(因为sinA<1,sinB<1)
而f(x)在(0,1)上单调递减(因为sinAsinB-1<0)
所以f(x)在(0,1)上恒有f(x)>0
故f(sinC)>0
代入整理得:sinAsinBsinC>sinA+sinB+sinC-2
三. 构造不等式
例3. 设α、β是锐角,且满足,求证:
证明:因为α、β是锐角,则均大于0
所以 ①
同理②
由①+②结合已知得,于是①,②等号同时成立
即有且
有
故结论得证。
四. 构造数列
例4. 已知,求的值。
解:由条件,可知构成一个等差数列。
设其公差为d,则
由
可得
解得
又因为,所以,故应舍去。
所以,则
故
五. 构造向量
例5. 已知,求锐角α、β。
解:由已知得 ①
构造向量
由于
所以
又由,有
即
所以
将代入①并整理得:
则
六. 构造复数
例6. 已知,求
解:构造复数
则①
所以
又
所以,代入①式
则
所以
又
所以
七. 构造

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