第三章三角恒等变换
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
两角差的余弦公式
某城市的电视发射塔建在
,
小山高BC约为30米,在地平面
上有一点A,测得A、C两点间
距离约为67米,从A观测电视
发射塔的视角(∠CAD)约为
45°.求这座电视发射塔的高度.
A
B
C
D
30
67
45°
α
思考:
设电视发射塔高CD=x米, ∠CAB=α,
则sinα=30/67.
A
B
C
D
30
67
45°
α
在Rt△ABD中,
如果能由sinα=30/67,求得tan(450+α)的值
即可求出电视发射塔的高度x.
tan(450+α)=
一、新课引入
问题1:
cos15°=? sin75°= ?
问题2:
cos15°=cos(45°- 30°)
= cos45°- cos30° ?
sin75°=sin( 45° +30°)
=sin45°- sin30°?
cos(α-β) =
?
探究:如何用任意角α,β的正弦、余弦值表示?
思考1:设α,β为两个任意角, 你能判断cos(α-β)=cosα-cosβ恒成立吗?
例:cos(30°-30°)≠cos30°-cos30°
因此,对角α,β
cos(α-β)=cosα-cosβ
一般不成立.
〖探究1〗 cos(α-β)公式的结构形式应该与哪些量有关系?
发现: cos(α-β)公式的结构形式
应该与sinα,cosα,sinβ,cosβ均有关系
令
则
令
则
令
令
则
则
sin60°
sin120°
cos60°
cos120°
cos(120°- 60°)
sin30°
sin60°
cos30°
cos60°
cos(60°- 30°)
思考2:我们知道cos(α-β)的值与α,β的三角函数值有一定关系,观察下表中的数据,你有什么发现?
从表中,可以发现:
cos(60° - 30°)=cos60°cos30°+sin 60°sin30°
cos(120° - 60°) =cos120°cos60°+sin 120°sin60°
现在,我们猜想,对任意角α,β有:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
x
y
P
P1
M
B
O
A
C
+
1
1
〖探究2〗借助三角函数线来推导cos(α-β)公式
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
又 OM=OB+BM
OM= cos(α-β)
OB=cosαcosβ
BM=sinαsinβ
〖探究3〗
cos(α-β)公式我们能否用向量的知识来推导?
1、已知OP为角的终边,求终边与单位圆交点P的坐标
P
O
X
Y
P(cos,sin)
温
故
知
新
!
2、两个向量的数量积:
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
3.1.1两角差余弦公式 来自淘豆网www.taodocs.com转载请标明出处.