高数3函数极限定义性质及无穷大小.ppt

函数极限定义性质及无穷大小
前面讨论了数列xn=f (n)的极限, 它是函数极限中的特殊情形, 特殊性在于: n只取自然数, 且n趋于无穷大.
现在讨论y=f (x)的极限, 自变量x大致有两种变化形式. (1) x, (2) xx0 (有限数).
并且, x不是离散变化的, 而是连续变化的.
第一节函数的极限
一、x时, f(x)的极限
定义1. 设f (x)在(M, +) 内有定义,
也可记为 f (x)a, (x+)
若>0, X >0, 当x>X (或x<X)时, 相应的函数值f (x)满足| f (x)a |<.
则称常数a为f (x)当x+时的极限,
记作
(或())
(或x)
也可记为 f (x)a, (x))
注1.
将这个定义和数列极限定义相比较,
就是将xn=f (n)换成了f (x). 将“正整数N”换成“实数X >0”.但是, 数列极限中n是离散变化的, 而这里x是连续变化的.
定义2. 设f (x)在(, M)(M, +)内有定义. 若>0, X >0, 当|x|>X时, 相应的函数值满足
| f (x) a |< 
则称a为 f (x)当x时的极限,
由定义1, 2可知
记作
按定义,作直线 y = a. (> 0), 存在X > 0. 当| x | > X 时, y = f (x)的图形夹在两直线y = a之间.
如图
a
x
y
o
a+
a
 X
X
比如, 由 y = arctan x 的图象
x
y
o
y = arctg x
二、当x x0时, f (x)的极限
若当x x0时, 对应的函数值f (x)a, 则称a是f (x)当x x0时的极限,
f (x)a可用| f (x) a |<刻划,
如何用精确的数学
而x x0则
可用|x x0 |<刻划.
语言刻划这一事实?
(x)在x0的某个去心邻域Û(x0)内有定义,
若>0, >0, 当0<|xx0|<时,相应的函数值f (x)满足| f (x) a |< ,
则称常数a为f (x) 的当xx0时的极限,
记作
此时也称当xa时, f (x)的极限存在,
否则, 称当xa时, f (x)的极限不存在.