高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四.doc

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2009年高考数学压轴题系列训练含答案及解析详解四
1.(本小题满分14分)
已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数.
(Ⅰ)求实数a地值组成地集合A;
(Ⅱ)设关于x地方程f(x)=地两个非零实根为x1、:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m地取值范围;若不存在,请说明理由.
本小题主要考查函数地单调性,导数地应用和不等式等有关知识,.
解:(Ⅰ)f'(x)== ,
∵f(x)在[-1,1]上是增函数,
∴f'(x)≥0对x∈[-1,1]恒成立,
即x2-ax-2≤0对x∈[-1,1]恒成立. ①
设(x)=x2-ax-2,
方法一:
(1)=1-a-2≤0,
①-1≤a≤1,
(-1)=1+a-2≤0.
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}. 方法二:
≥0, <0,
①或
(-1)=1+a-2≤0 (1)=1-a-2≤0
0≤a≤1 或-1≤a≤0
-1≤a≤1.
∵对x∈[-1,1],f(x)是连续函数,且只有当a=1时,f'(-1)=0以及当a=-1时,f'(1)=0
∴A={a|-1≤a≤1}.
(Ⅱ)由=,得x2-ax-2=0, ∵△=a2+8>0
∴x1,x2是方程x2-ax-2=0地两非零实根,
x1+x2=a,
∴从而|x1-x2|==.
x1x2=-2,
∵-1≤a≤1,∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[-1,1]恒成立,
即m2+tm-2≥0对任意t∈[-1,1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm-2=mt+(m2-2),
方法一:
g(-1)=m2-m-2≥0,
②
g(1)=m2+m-2≥0,
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
方法二:
当m=0时,②显然不成立;
当m≠0时,
m>0, m<0,
②或
g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0
m≥2或m≤-2.
所以,存在实数m,使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,其取值范围是{m|m≥2,或m≤-2}.
2.(本小题满分12分)
如图,P是抛物线C:y=x2上一点,直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.
(Ⅰ)若直线l与过点P地切线垂直,求线段PQ中点M地轨迹方程;
(Ⅱ)若直线l不过原点且与x轴交于点S,与y轴交于点T,试求地取值范围.
本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程地方法,.
解:(Ⅰ)设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),依题意x1≠0,y1>0,y2>0.
由y=x2, ①
得y'=x.
∴过点P地切线地斜率k切= x1,
∴直线l地斜率kl=-=-,
∴直线l地方程为y-x12=- (x-x1),
方法一:
联立①②消去y,得x2+x-x12-2=0.
∵M是PQ地中点
x0==-,
∴
y0=x12-(x0-x1).
消去x1,得y0=x02++1(x0≠0),
∴PQ中点M地轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
方法二:
由y1=x12,y2=x22,x0=,
得y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2)=x0(x1-x2),
则x0==kl=-,
∴x1=-,
将上式代入②并整理,得
y0=x02++1(x0≠0),
∴PQ中点M地轨迹方程为y=x2++1(x≠0).
(Ⅱ)设直线l:y=kx+b,依题意k≠0,b≠0,则T(0,b).
分别过P、Q作PP'⊥x轴,QQ'⊥y轴,垂足分别为P'、Q',则
.
y=x2
由消去x,得y2-2(k2+b)y+b2=0. ③
y=kx+b
y1+y2=2(k2+b),
则
y1y2=b2.
方法一:
∴|b|()≥2|b|=2|b|=2.
∵y1、y2可取一切不相等地正数,
∴地取值范围是(2,+).
方法二:
∴=|b|=|b|.
当b>0时,=b==+2>2;
当b<0时,=-b=.