复变函数课件-第三章：复变函数的积分.ppt

暨南大学复变函数教学课件
Department of Mathematics
Jinan Univ. 2009
第三章复变函数的积分
第一节复积分的概念及其简单性质
第二节柯西积分定理
第三节柯西积分及其推论
暨南大学复变函数教学课件
Department of Mathematics
第一节复积分的概念及其简单性质
1、复变函数积分的的定义
2、积分的计算问题
3、基本性质
第三章复变函数的积分
同微积分一样,在复变函数中,积分
法也是研究复变函数性质十分重要的方法.
在解决实际问题中也是有力的工具.
本章先介绍复变函数积分的概念,性质和计
算方法然后介绍关于解析函数积分的柯西-
古萨基本定理及其推广,有了这些基础,我
们建立柯西积分公式,最后证明解析函数的
导数仍是解析函数,从而导出高阶导数公式
1、复变函数积分的定义
设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,y)是f(z)的实部及虚部。
把曲线C用分点
分成n个更小的弧,在这里分点
是在曲线C上按从到Z的次序排列的。
如果是到的弧上任意一点,那么考虑和式
复变函数的积分
复变函数的积分
分实部与虚部,有
或者
在这里分别表示的
实部与虚部。
复变函数的积分
按照关于实变函数的线积分的结果,当曲线C上的分点个数无穷增加,而且
时,上面的四个式子分别有极限:
这时,我们说原和式有极限
复变函数的积分
这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分,记为
因此,我们有
复变函数的积分
如果C是简单光滑曲线:
,并且,那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式,例如其中第一个可以写成
因此,我们有
复变函数的积分
我们可以看到,把dz形式地换成微分,就直接得到上式,因此有
当是分段光滑简单曲线时,我们仍然可以得到这些结论。