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曲线曲面拟合.ppt


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非线性回归分析 (曲线曲面拟合) 顾世梁 2011年11月
1 非线性回归分析的任务
非线性关系是最普遍的变数间量化关系,合适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系有重要作用。非线性回归分析的广泛应用,将促使试验研究从定性向定量发展,由粗放向精细发展。线性关系形式单一,而非线性关系多种多样,选择合适的非线性模型并非易事。多项式也是一种(简单的一种)非线性关系,先前已有论述,本章仅讨论多项式以外的纯非线性关系。对于纯非线性回归分析,非线性回归统计数的估计、假设测验等均有很大难度。
非线性回归分析的主要任务有下列4项:
1) 建立合适的非线性模型;
2) 估计非线性方程的统计数——曲线曲面拟合;
3) 合理的显著性测验;
4) 方程的进一步利用(插值与外推)。
2 非线性回归方程的选择
主要有3种方法:
1)解微分和偏微分方程组
dsolve(‘Dy+y+c’,’…’)
y=dsolve(‘Dy-b*y+c*y^2’,’y(0)=k/(1+a)’)
syms c b k; y=subs(y,c b/k); pretty(y)
2)根据机理或基本数量关系推导
每一种函数关系都有一些基本特点,可以根据这些基本要素确定不同的方程。这些基本要素如零点(初值点)、峰值点(极大、极小)、拐点、渐近点等,应符合数据事实。
3) 试算、比较与选择
当变数间的可能关系所知甚少,可对不同方程进行试拟合,比较分析后选出最佳关系模型。除了前述的关键点数据应与曲线、曲面有好的吻合外,也应保证数据在前、中、后段都能较好地拟合;另外也应保证较高的拟合度(决定系数)、较小的离回归平方和以及较好的插值和外推。
通常,较少参数的曲线刚性有余、柔性不足,而参数较多的方程有较大的柔性。但参数太多往往会过参数化(over-parameterization),拟合的难度大大增加。
3 参数估计
目标函数:
当给定Xi 与 Yi (i=1,2,…,n)时,Q 也是b的函数: Q=F(b)。
拟合即为寻找βopt=min(F(b))的过程。发展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非线性回归的关键,难度较大。
1)线性化法
对一些简单的方程,我们可以采用数据转换的方式将其化成线性方程,然后用一元或多元线性回归的方式进行分析。如:
其缺陷是该类方法仅适用于简单的方程,而绝大多数纯非线性方程较复杂,不能用线性化方法进行参数估计。
2)一些通用方法
梯度法(快速登山法, Gradient);

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