GCT初等数学部分讲稿.doc

目录
第一章算术 P2
第二章初等代数 P6
第一节实数与复数 P6
第二节代数式及其运算 P8
第三节集合与函数 P10
第四节简单方程 P15
第五节不等式 P16
数列 P18
排列组合与简单概率 P20
第三章几何与三角 P23
第一节平面几何、立体几何 P23
三角 P28
解析几何 P31
Part1. 算术

1. 质数与合数
定义:除1以外的自然数,只能被1和它自身整除的数称为质数。其它的数称为合数。
注记:(1)质数和合数都是大于1的。
(2)质数只能被1和他自身整除,而合数可以被更多的数整除。
举例:13是质数,因为只有1和13能将13整除;14是合数,因为除了 ;1既不是质数,也不是合数。 
100以内的质数全体:
2, 3, 5, 7,11,
13, 17, 19,23,29,
31, 37, 41,43,47,
53, 59, 61,67,71,
73, 79, 83,89, 97.
,最大公约数
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数,所有公倍数中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。几个数公有的约数叫做这几个数的公约数,所有公约数中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。
:行程问题、时钟问题、工程与工作效率问题、浓度问题、植树问题、比例问题、打折问题、、年龄问题等。

(此类题每年必考)
例1. 的值是( )
A.; B.; C.; D.. (2005年真题,第1题)
【解析】选A。
分子=,分母=
那么,。所以,选A。
例2. 的值是( )
A. B. C. D. (2007年真题,第2题)
【解析】选B。
分子:二项一组得
分母:等比数列求和得
例3 ,则
A. B. C. D. (2008年真题,第1题)
【解析】选A。
例4
A. B. C. D. (2009年真题,第1题)
【解析】选C。

例5.
A. B. C. D. (2010年真题,第1题)
【解析】选A。
例6. 对任意两个实数,定义两种运算:
,
那么和分别等于( )
(2007年真题,第14题)
【解析】选B。
只要按照定义运算即可。由定义不难发现max{a,b},min{a,b}。
(每年都会有3道左右)
例7. 某项工程8个人共用35天完成了全工程量的,如果再增加6个人,那么完成剩余的工程还需要的天数是( )
(2005年真题,第4题)
【解析】选C。工作量=工作效率工作时间
这里,工作效率(每人每天的工作量)=,那么完成剩余的工程还需要的天数是
。所以,选C。
例8. 甲乙两人沿同一路线骑车(匀速)从A区到B区,甲需用30分钟,乙需用40分钟。如果乙比甲早出发5钟去B区,则甲出发后经( )分钟可以追上乙。
(2007年真题,第5题)
【解析】选B。
由题意可知甲乙的速度比是4:3,不妨就设甲的速度就是4,乙的速度就是3。那么,即甲出发后经15分钟可以追上乙。所以,选B。
另解:A、B距离为,甲出发T分钟后追上乙,则甲、乙的速度分别是、。
由题意得: , 解得。
例9. 甲、乙两车分别从A、B两地同时相向开出,甲车的速度是50千米/时,乙车的速度是40千米/时,当甲车驶到A、B两地路程的 ,再前行50千米时与乙车相遇。A、B两地的距离是【】千米。
A. B. C. D. (2009年真题,第8题)
【解析】选A。
相遇即两车行车时间相同,设A、B两地距离为,则
, 解得。
例10. 若某单位员工的平均年龄为45岁,男员工的平均年龄为55岁,女员工的平均年龄为40岁,则该单位男、女员工的人数之比为【】
A. B. C. D. (2010年真题,第3题)
【解析】选C。
设男、女员工数分别为, 则由条件可得
,解得。
例11. 在实验室密闭容器培育某种细菌,如果该细菌因每天的密度增长一倍,它在20天内密度增长到4百万株,那么该细菌密度增长到百万株时用了【】天。
A. B. C. D. (2010年真题,第5题)
【解析】选D。
假设第1天细菌密度是,则第天细菌密度是。由(百万株),及
(百万株),得。
例12. 在一条公路上,汽车A、B、C分别以80、70、50公里的速度匀速行驶,汽车A从甲站开向乙站,同时汽车B、C从乙站出发开往甲站,途中A与B相遇两小时后与C相遇,那么甲乙两