高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 复数的运算法则素材 新人教A版选修2-2.doc

复数的运算法则
加法法则
复数的加法法则:设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和,它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
即
乘法法则
复数的乘法法则:把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,结果中i^2 = -1,把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即
除法法则
复数除法定义:满足
的复数
叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法:将分子和分母同时乘以分母的共轭复数,再用乘法法则运算,
即
开方法则
若z^n=r(cosθ+isinθ),则
z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0,1,2,3……n-1)
运算律
加法交换律:z1+z2=z2+z1
乘法交换律:z1*z2=z2*z1
加法结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法结合律:(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)
分配律:z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3
i的乘方法则
i^(4n+1)=i, i^(4n+2)=-1, i^(4n+3)=-i, i^4n=1(其中n∈Z)
棣莫佛定理
对于复数z=r(cosθ+isinθ),有z的n次幂
z^n=(r^n)*[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中n是正整数)
复数三角形式
设复数z1、z2的三角形式分别为r1(cosθ1+isinθ1)和r2(cosθ2+isinθ2),那么z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)](在复数平面内为模相乘,角相加。)
z1÷z2=(r1÷r2)[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)](在复数平面内为模相除,角相减。)
复数集不同于实数集的几个特点是:开方运算永远可行(不包括纯虚数集)
一元n次复系数方程总有n个根(重根按重数计);复数不能建立大小顺序。