二次函数根的分布和最值.doc

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程根的分布情况
设方程的不等两根为且,相应的二次函数为,方程的根即为二次函数图象与轴的交点,它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)
表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况)
分布情况
两个负根即两根都小于0
两个正根即两根都大于0
一正根一负根即一个根小于0,一个大于0
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表二:(两根与的大小比较)
分布情况
两根都小于即
两根都大于即
一个根小于,一个大于即
大致图象()
得出的结论
大致图象()
得出的结论
综合结论(不讨论)
表三:(根在区间上的分布)
分布情况
两根都在内
两根有且仅有一根在内
(图象有两种情况,只画了一种)
一根在内,另一根在内,
大致图象()
得出的结论
或
大致图象()
得出的结论
或
综合结论(不讨论)
——————
根在区间上的分布还有一种情况:两根分别在区间外,即在区间两侧,(图形分别如下)需满足的条件是

(1)时,; (2)时,
对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明:
(1)两根有且仅有一根在内有以下特殊情况:
若或,则此时不成立,但对于这种情况是知道了方程有一根为或,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间内,从而可以求出参数的值。如方程在区间上有一根,因为,所以,另一根为,由得即为所求;
方程有且只有一根,且这个根在区间内,即,此时由可以求出参数的值,然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去相应的参数。如方程有且一根在区间内,求的取值范围。分析:①由即得出;②由即得出或,当时,根,即满足题意;当时,根,故不满足题意;综上分析,得出或
根的分布练****题
例1、已知二次方程有一正根和一负根,求实数的取值范围。
解:由即,从而得即为所求的范围。
例2、已知方程有两个不等正实根,求实数的取值范围。
解:由

或即为所求的范围。
例3、已知二次函数与轴有两个交点,一个大于1,一个小于1,求实数的取值范围。
解:由即即为所求的范围。
例4、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1,求实数的取值范围。
解:由题意有方程在区间上只有一个正根,则即为所求范围。
(注:本题对于可能出现的特殊情况方程有且只有一根且这个根在内,由计算检验,均不复合题意,计算量稍大)

设有一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),判别式Δ=b2-4ac,当Δ>0时y=f(x)与x轴有二交点;当Δ=0时,y=f(x)与x轴仅有一交点;当Δ<0时,y=f(x)与x轴无交点.
当Δ>0时,设y=f(x)图象与x轴两交点为x1<=f(x)与x轴交点x1,x2就是相应一元二次方程f(x)=0的两根.
观察图象不难知道.
图像为
观察图象不难知道△=0,a>0 , △=0,a<0
当△<0时,y=f(x)图象与x轴无公共点,其图象为
观察图象不难知道.
a>0时,绝对不等式f(x)>0解为x∈R.
a<0时,绝对不等式f(x)<0解为x∈R.
,往往归结为不等式(组)的求解问题,其方法有3种:
(1)应用求根公式;
(2)应用根与系数关系;
(3),应保证这种转化的等价性.
就这三种方法而言,应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法.
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+x=0的个根为α,β(α≤β),m,n为常数,且n<m,方程根的分布无外乎两种情况:
②α,β同居一区间时,不但要考虑端点函数值的符号,还要考虑
三、好题解给你
(1)  预****题
1. 设有一元二次函数y=2x2-8x+,
当x∈[3,4]时,随x变大,y的值变大还是变小?
由此y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值分别是什么?
解:经配方有y=2(x-2)2-7
∵对称轴x=2,区间[3,4]在对称轴右边,
∴y=f(x)在[3,4]上随x变大,y的值也变大,因此
ymax=f(4)=1.
ymin=f(3)=-5.
=2x2-4ax+2a2+,此函数对称轴是什么?
当x∈[3,4]时,随x变大,y的值是变大还是变小?与a取值有何关系?
由此,求y=f(x)在[3,4]上的最大值与最小值.
解:经配方有y=2(x-a)2+3.
对称轴为x=a.
当a≤3时,因为区间[3,4]在对称轴的右边,因此,当x∈[3,4]时,随x变大,y