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初中数学竞赛辅导
十进制的记数法
甲内容提要
十进制的记数法就是用0,1,2…9十个数码记数的方法,位率是逢十进一。底数为10的各整数次幂,恰好是十进制数的各个位数:
100=1(个位数—第1位), 101=10(十位上的数---第2位),
102=100(百位上的数---第3位),…10n(第n+1位上的数)
例如54307记作5×104+4×103+3×102+0×101+7×100
十进制的n位数(n为正整数), 记作:
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0,即0<a1≤9,其它是0≤a1,a2,a3…an≤9
各位上的数字相同的正整数记法:
例如∵999=1000-1=103-1,9999=104-1,∴=10n-1
=,=,=
4 解答有关十进制数的问题,常遇到所列方程,少于未知数的个数,这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数,这一性质进行讨论。
乙例题
一个六位数的最高位是1,若把1移作个位数,其余各数的大小和顺序都不变,则所得的新六位数恰好是原数的3倍,求原六位数。
解:设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×105+x ,新六位数为10x+1,
根据题意,得 10x+1=3(1×105+x) 7x=299999 x=42857
∴原六位数是142857
设n为正整数,计算×+1
解:原数=(10 n –1)×(10 n –1)+1×10n+10n-1
=102n-2×10n+1+10n+10n-1
=102n
试证明12,1122,111222,……,这些数都是两个相邻的正整数的积
证明:12=3×4, 1122=33×34,111222=333×334
注意到333×334=333×(333+1)=×(+1)
由经验归纳法,得
=×10n+
=(+)
=(
上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积
试证明:任何一个四位正整数,如果四个数字和是9的倍数,那么这个四位数必能被9整除。并把它推广到n位正整数,也有同样的结论。
证明:设一个四位数为103a+102b+10c+d, 根据题意得
a+b+c+d=9k (k为正整数),∴d=9k-a -b-c,代入原四位数,得
103a+102b+10c+9k-a -b-c=(103-1)a+(102-1)b+9c+9k
=9(111a+11b+c+k)
∵111a+11b+c+k是整数,
∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除
推广到n位正整数: n位正整数记作10n-1a1+10n-2a2+…+10an-1+an(1)
∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)
∴an=9k-a1-a2-…-an-1 代入(1)得
原数=10n-1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k-a1-a2-…-an-1
=(10n-1-1)a1+(10n-2-1)a2+…+9an-1+9k
∵10n-1-1,10n-2-1,…10-1分别表示,,…9
∴原数=9(a1+a2+…+an+k)
∴这个n位正整数必能被9整除
已知:有一个三位数除以11,其商是这个三位数的三个数字和。
求:这个三