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非线性方程的数值计算方法实验
实验描述:
在科学研究和工程实践中,经常需要求解大量的非线性方程。本实验正是通过计算机的程序设计,使用迭代法、波尔查诺二分法、试值法、牛顿-拉夫森法和割线法,来实现非线性方程的求解。
本实验中通过对各种方法的实践运用,可以比较出各种方法的优缺点。并且,通过完成实验,可加深对各种方法的原理的理解,熟悉掌握C语言在这些方法中的运用。
二、实验内容:
求函数的不动点(尽可能多)近似值,答案精确到小数点后12位;
如果在240个月内每月付款300美元,求解满足全部年金A为500000美元的利率I,的近似值(精确到小数点后10位)。
利用加速牛顿-拉夫森算法,用其求下列函数M阶根p的近似值。
(a)、f(x)=(x-2)5,M=5,p=2,初始值p0=1。
(b)、f(x)=sin(x3),M=3,p=0,初始值p0=1。
(c)、f(x)=(x-1)ln(x),M=2,p=1,初始值p0=2。
4、设投射体的运动方程为:
y=f(t)=9600(1-e-t/15)-480t
x=r(t)=2400(1-e-t/15)
(a)求当撞击地面时经过的时间,精确到小数点后10位。
(b)求水平飞行行程,精确到小数点后10位。
三、实验原理:
(1)、不动点迭代法:它是一种逐次逼近的方法,即用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的结果。它利用计算机运算速度快,适合做重复性操作的特点,让计算机对一个函数进行重复执行,在每次执行这个函数时,都从变量的原值推出它的一个新值,直至推出最终答案为止。
迭代法一般可用于寻找不动点,即:存在一个实数P,满足P=g(P),则称P为函数g(x)的一个不动点。且有定理:若g(x)是一个连续函数,且pnn=0∞是由不动点迭代生成的序列。如果limn→∞pn=P,则P是g(x)的不动点。所以,不动点的寻找多用迭代法。
(2)、波尔查诺二分法:
起始区间[a,b]必须满足f(a)与f(b)的符号相反的条件。由于连续函数y=f(x)的图形无间断,所以它会在零点x=r处跨过x轴,且r在区间内。通过二分法可将区间内的端点逐步逼近零点,直到得到一个任意小的包含零点的间隔。
二分法定理:设f∈C(a,b),且存在数r∈[a,b]满足f(r)=0。如果f(a)和f(b)的符号相反,且cnn=0∞为二分法生成的中点序列,则:
≤b-a2n+1 其中n=0,1,…(1)
这样,n=0∞收敛到零点x=r即可表示为:
limn→∞cn=r (2)
(3)、试值法:
假设一个函数中,有f(a)和f(b)符号相反。二分法使用区间[a,b]的中点进行下一次迭代。如果找到经过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L与x轴的交点(c,0),则可得到一个更好的近似值。为了寻找值c,定义了线L的斜率m的两种表示方法,一种表示方法为:
m=fb-f(a)b-a (3)
这里使用了点(a,f(a))和(b,f(b))。另一种表示方法为:
m=0-f(b)c-b (4)
这里使用了点(c,0)和(b,f(b))。
使式(3)和式(4)的斜率相等,则有:
fb-f(a)b-a=0-f(b)c-b (5)
为了更容易求解c,可进一步表示为:
c=b-fb(b-a)fb-f(a) (6)
这样会出现3种可能性:
如果f(a)和f(c)的符号相反,则在[a,c]内有一个零点。
如果f(c)和f(b)的符号相反,则在[c,b]内有一个零点。
如果f(c)=0,则c是零点。
然后,可按二分法的方法进行下一步运算。
(4)、牛顿-拉夫森法:
此法根据,牛顿-拉夫森定理:设f∈C2[a,b],且存在数p∈[a,b],
满足f(p)=0。如果f(p)≠0,则存在一个数δ>0,对任意初始近似值p0∈[p-δ,p+δ],使得由如下迭代定义的序列pkk=0∞收敛到p:
pk=g(pk-1)= pk-1-f(pk-1)f(pk-1) 其中k=1,2,…(7)
其中,函数g(x)由如下定义:
g(x)=x--f(x)f(x) (8)
且被称为牛顿-拉夫森迭代函数。由于f(p)=0,显然g(p)=p。这样,通过寻找函数的不动点,可以实现寻找方程f(x)=0的根的牛顿-拉夫森迭代。
附:定理(牛顿-拉夫森迭代的加速收敛):
设牛顿-拉夫森算法产生的序列线性收敛到M阶根x=p,其中M>1,则牛顿-拉夫森迭代公式:
pk=pk-1-M f(pk-1)f(pk-1) (9)
(5)、割线法:
割线法包含的公式与试值法的公式一样,只是在关于如何定义每个后续项的逻辑判定上不一样。需要两个靠近点(p,0)的初始