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辅教导学
数学通讯( 2008 年第 14, 16 期) 1
从一道题看思维走向
丁益民
( 江苏省泰州市民兴实验中学, 225300)

我们先看下面一道题: 结合条件, 自然地将上述三式相加, 得到
已知
AB C 中, A, B, C 的对边分别为 c2 = ( AB ) 2 = AB
AC + BA
BC + CA
a, b, c, 且 2 2 2

CB = a + b + c ,
( AB ) 2 = AB
AC + BA
BC + CA
CB . 2
2 2 2
( 1) 判断
ABC 的形状, 并求 sinA + 即 a + b = c , 故
ABC 是直角三角形.
sinB 的取值范围; 思维走向 2: 那么, 如何把所给条件与联
( 2) 若不等式 a2 ( b + c) + b2 ( c + a) + 想 2 联系起来呢?这就要求我们充分认识已
c2 ( a + b)
kabc 对任意的满足题意的 a, b, c 知的对象, 是以什么角度去看它.
都成立, 求 k 的取值范围. 角度 1: 直接从条件走向目标, 将条件进
1
对于问题( 1) 的思考行有目标性的等价转化.
1. 1
思维的起点因为AB
AC + BA
BC + CA
CB =
拿到题后, 引起我们注意的是题中唯一 AB
AC + AB
CB + CA
CB = AB
( AC
2
的主要条件: ( AB ) 2 = AB
AC + BA
BC + + CB ) + CA
CB = AB + CA
CB , 结合已
CA
CB , 看到这个表达式有什么联想呢? 知条件可得CA
CB = 0
CA
CB , 故
联想 1
注意到是
ABC 中边的关系,
ABC 是直角三角形.
是否考虑运用到正( 余) 弦定理? 角度 2: 结合给出的条件和联想 2 的结
联想 2
是否与AB + BC + CA = 0 这论, 试图从二者中寻找衔接点.
个表达式有关? 注意到条件的右边是向量间的两两数量
1. 2
思维的衔接积, 故想到将联想 2 的式子平方, 得到
思维走向 1: 再看待求目标: 要判断三角 AB 2 + BC 2 + CA 2 + 2 AB
BC + 2 BC
形的形状, 立马在头脑中闪过的是用什么知 CA + 2 CA
AB = 0,
识来解决这一类问题
常用的是正( 余) AB 2 + BC 2 + CA 2 = 2 AB
AC + 2 BC
弦定理( 模式识别) , 这便与联想 1 形成了自
BA + 2 CA
CB = 2 AB 2 ,
然的衔接. 即得BC 2 + CA 2 = AB 2 , 故
ABC 是直
由于AB
AC = | AB |
| AC | cosA = bc 角三角形.
2 2 2 2 2 2 2
b + c - a = b + c - a , 当然, 我们还可以看条件的左边是AB ,
2bc 2
结合联想 2 的式子, 得到
BA
BC = | BA |
|