结构力学图乘法.ppt

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§5-5 图乘法
积分方法:
1)解析方法(被积函数简单);
2)数值方法(被积函数复杂):高斯数值积分法;图乘法
在一定的条件下,图乘法可给出积分的数值解,而且是精确解。
ò
k
i
ds
EI
M
M
ò
Þ
=
k
i
C
EI
dx
M
M
EI
1
å
ò
å
=
=
D
P
EI
y
dx
EI
M
M
0
w
=
y
EI
0
1
w
×
=
x
tan
EI
0
1
w
a
ò
=
B
A
k
dx
xM
tan
EI
1
a
ò
Þ
B
A
k
M
dx
xtan
M
EI
i
1
a
是直线
ò
Þ
k
i
dx
EI
M
M
直杆
α
Mi
Mi=xtanα
y
x
Mk
dx
x
y0
x0
ω
注:
y0=x0tanα
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。
②图乘法的应用条件:a)EI=常数;b)直杆;c)两个弯矩图
至少有一个是直线。
③竖标y0取在直线图形中,对应另一图形的形心处。
④面积ω与竖标y0在杆的同侧, ω y0 取正号,否则取负号。
2
⑤几种常见图形的面积和形心的位置:
(a+l)/3
(b+l)/3
ω=hl/2
l
a
b
h
l/2
l/2
h
二次抛物线ω=2hl/3
h
3l/4
l/4
5l/8
3l/8
二次抛物线ω=hl/3
二次抛物线ω=2hl/3
4l/5
l/5
h
h
三次抛物线ω=hl/4
(n+1)l/(n+2)
l/(n+2)
h
n次抛物线ω=hl/(n+1)
顶点
顶点
顶点
顶点
顶点
3
⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理
方法:
a
)曲杆或
EI=EI
(
x
)时,只能用积
分法求位移;
b
)当
EI
分段为常数或
P
l/2
l/2
EI
A
B
m=1
1/2
Pl/4
ql2/2
MP
MP
P=1
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
l
q
A
B
例:求梁B点转角位移。
例:求梁B点竖向线位移。
3l/4
M
、
M
P
均非直线时,应分段图乘再叠加。
4
P
P
a
a
a
例:求图示梁中点的挠度。
Pa
Pa
MP
P=1
3a/4
a/2
a/2
P
l/2
l/2
C
例:求图示梁C点的挠度。
MP
Pl
C
P=1
l/2
l/6
l
6
EI
Pl
12
3
=
Pl
EI
C
2
1
2
=
D
EI
Pl
48
5
3
=
Pl
6
5
×
ø
ö
l
l
EI
y
C
2
2
2
1
0
ç
è
æ
×
×
=
=
D
w
5Pl/6
?
?
5
⑦非标准图形乘直线形
a)直线形乘直线形
a
b
d
c
l/3
l/3
l/3
ω1
ω2
y1
y2
(
)
bc
ad
bd
ac
l
+
+
+
=
2
2
6
ö
ø
d
c
ç
è
æ
+
3
2
3
bl
+
2
d
c
ø
ö
ç
è
æ
+
3
3
2
al
=
2
ò
y
y
dx
M
M
k
i
+
=
2
2
1
1
w
w
Mi
Mk
各种直线形乘直线形,都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正,否则取负。
S = 9/6
×
(
2
×
6
×2
+2
×
4
×3
+6
×
3+4
×
2
)
=111
(
1
)
3
2
6
4
9
6
S = 9/6
×
(-
2
×
6
×
2+2
×
0
×3
+6
×
3
-
0
×
2
)
=
-
9
S=9/6
×
(
2
×
6
×
2
-
2
×
4
×
3+6
×
3
-
4
×
2
)
=15
S = 9/6
×
(
2
×
6
×
2+2
×
4
×
3
-
6
×
3
-
4
×
2
)
= 33
2
3
6
4
(
3
)
9
(
2
)
3
2
6
4
9
(
4
)
2
3
6
9
7
=
l