2017-2018学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案.docx

2017-2018学年人教B版高中数学选修4-1全册教学案
目录
第一章 相似三角形判定定理
第一章 相似三角形的性质
第一章 平行截割定理
第一章 锐角三角函数与射影定理
第一章 圆的切线
第一章 圆周角定理
第一章 弦切角定理
第一章 圆幂定理
第一章 圆内接四边形的性质与判定
第一章章末小结
第二章 平行投影与圆柱面的平面截线
第二章 用内切球探索圆锥曲线的性质
第二章章末小结

相似三角形判定定理
[读教材·填要点]

如果在两个三角形中,对应角相等、对应边成比例,,则k叫做相似比(或相似系数).

(1)判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似.
(2)判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似.
(3)判定定理3:两边对应成比例,并且夹角相等的两个三角形相似.
[小问题·大思维]
“相似”与两个三角形“全等”之间有什么关系?
提示:“具有相同形状”,它们的大小不一定相等,当两个相似三角形的相似比为1时,两个三角形全等.
,且有一角相等,那么这两个三角形相似吗?
提示:,这两个三角形才相似.
相似三角形的判定
[例1] 如图,若O是△ABC内任一点,D,E,F分别是OA,OB,OC的靠近O的三等分点.
求证:△DEF∽△ABC.
[思路点拨] ,.
[精解详析] ∵D,E,F分别是OA,OB,OC靠近点O的三等分点,∴DE=AB,EF=BC,FD=CA.
∴===.
由三角形相似的判定定理得△DEF∽△ABC.
在相似三角形的判定中,应用最多的是判定定理1,因为它的条件最容易寻求,实际证明当中,、3则常见于连续两次证明相似时,在第二次使用的情况较多.
△ABC中,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE相交于点P,求证:
(1)△BPE∽△CPF;
(2)△EFP∽△BCP.
证明:(1)∵BF⊥AC于点F,
CE⊥AB于点E,
∴∠BFC=∠CEB.
又∵∠CPF=∠BPE,
∴△CPF∽△BPE.
(2)由(1)得△CPF∽△BPE,
∴=.
又∵∠EPF=∠BPC,∴△EFP∽△BCP.
[例2] 如图所示,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,求当BD与a,b之间满足怎样的关系时,△ABC与△CDB相似?
[思路点拨] 由于△ABC与△CDB相似且都是直角三角形,因此,,所以AC一定与BC对应,这里要注意分类讨论的运用.
[精解详析] ∵∠ABC=∠CDB=90°,斜边AC与BC为对应边,以下分两种情况讨论.
①当=时,△ABC∽△CDB,即=.
∴BD=时,△ABC∽△CDB.
②当=时,△ABC∽△BDC,即=.
∴当BD=时,△ABC∽△BDC.
故当BD=或BD=时,
△ABC与△CDB相似.
(1)在证明直角三角形相似时,要特别注意直角这一隐含条件的应用.
(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似.
,BD、CE是△ABC的高.
求证:△ADE∽△ABC.
证明:∵BD、CE是△ABC的高,
∴∠AEC=∠ADB=90°.
又∵∠A=∠A,
∴△AEC∽△ADB.
∴=.
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
相似三角形的应用
[例3] 如图,已知在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CF∥BA,BF交AD于点P,交AC于点E.
求证:BP2=PE·PF.
[思路点拨] 本题考查相似三角形的判定及其应用,解答本题需要注意AD是等腰△ABC
底边上的高,所以PB=PC,从而将所求证的结论转化为PC2=PE·△PCE∽△PFC来解决问题.
[精解详析] 连接PC,在△ABC中,
因为AB=AC,D为BC中点,
所以AD垂直平分BC.
所以PB=PC,∠1=∠2.
因为AB=AC,