湖南省张家界市2023～2024学年高一数学下学期期末考试试题.pdf

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张家界市 2024 年高一第二学期期末联考
数学试题卷
本试卷共 4 页，19 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处” 。
2．作 答 选 择 题 时 ， 选 出 每 小 题 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 在 答 题 卡 上 对 应 题 目 选 项 的 答 案 信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不
准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．在复平面内，复数 z  3 4i 对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量 a  (1，m) ，向量b  (1，3) ，若a∥b ，则 m 等于 （ ）
3 3
A．  B． C．  3 D． 3
3 3
3．某 学校有高中学生 3 000 人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1
050，
1 000，950．为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用分层随机抽样的方
法
从中抽取一个容量为 300 的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为 （ ）
A．195 B．105 C．100 D．95
 
4．已知边长为 2 的正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，连接 BE ，则 BE  EA （ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
5．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人
平局的概率为 （ ）
1 2 1 2
A． B． C． D．
3 3 4 9
6．对于两个平面 ， 和两条直线m，n ，下列命题中为真命题是 （ ）
A．若 m   ，m  n ，则n∥
B．若 m∥ ，   ，则m  
C．若 m∥ ，n∥ ，   ，则m  n : .
D．若 m   ，n   ，   ，则m  n
7．科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极
目一号（如图 1）是中国科学院自主研发的系留浮空器．2022 年 5 月，“极目一号”
Ⅲ型浮空艇成功升至 9 032 米高空，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测
海
拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力． “极目一号”Ⅲ型浮空艇长 55 米，高 19
米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，如图 2 所示，是该
浮空艇的轴截面图，则它的体积约为 （ ）
（参考数据：  90，  857 ，3151005  316 600 ， π  ）

图 1 图 2
A．9 064 m 3 B．9 004 m 3 C．8 944 m 3 D．8 884 m 3
8．随着北京冬奥会的举办，中国冰雪运动的参与人数有了突飞猛进的提升．某校为提
升学生的综合素养、大力推广冰雪运动，号召青少年成为“三亿人参与冰雪运动的
主力军” ，开设了“陆地冰壶” “陆地冰球” “滑冰” “模拟滑雪”四类冰雪运动
体验课程．甲、乙两名同学各自从中任意挑选两门课程学习，设事件 A  “甲乙两
人所选课程恰有一门相同” ，事件 B  “甲乙两人所选课程完全不同” ，事件
C “甲乙两人均未选择陆地冰壶课程” ，则 （
）
A． A 与 B 为对立事件 B． A 与 C 互斥
C． B 与 C 相互独立 D． A 与 C 相互独立
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．某校 1 000 名学生在高一模拟测试中数学成绩的
频率分布直方图如图所示（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表） ，分数不低于 X 即为优
秀，已知优秀学生有 80 人，则 （ ）
A． a 
B． X 120
C．70 分以下的人数约为 6 人
D．本次考试的平均分约为
10．如图所示，为了测量 A，B 两岛的距离，小明在 D 处观测， A，B 分别在 D 处的北偏
西15、北偏东45方向，再往正东方向行驶 30 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正
北方向，A 在 C 处的北偏西60方向，则下列结论正确的是 （ ） : .
A． CAD  45
B． A，D 之间的距离为15 2 海里
C． B，D 之间的距离为30 3 海里
D． A，B 两岛间的距离为15 6 海里
11．正三棱柱 ABC  A1B1C1 的各棱长均相等，D 是 AA1 的中点， M ，N 是线段 BB1 ，CC1
上的动点（含端点），且 BM  C1N ，当 M ，N 运动时，下列结论正确的是（
）
A．平面 DMN  平面 BCC1B1
B．三棱锥 A1  DMN 的体积为定值
C．△ DMN 可能为直角三角形
π
D．平面 DMN 与平面 ABC 所成的锐二面角的范围是(0，]
4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．在 9，10，11，13，15，16 这六个数中，第 50 百分位数是__________．
13．已知复数 z  (2  ai)(1i3) (aR)为纯虚数，则 z  3  z __________．
14．已知三棱锥 P  ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上， PB  PC  2 5 ， AB  4 ，
AC  4 ， PA  BC  2 ，则球 O 的表面积为__________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． （13 分）
某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数．
2 i 4  3i 1i
① ； ② ； ③ （i 是虚数单位）.
1 2i 3 4i 1i
（1）从三个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据三个式子的结构特征及（1）的计算结果，将该同学的发现推广为一个复
数恒等式，并证明你的结论．
16． （15 分）
全国文明城市简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文
明程度较高的城市．全的最高荣誉称号．为普及相关知识，争创全国文明城市，张家界市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5 名职工的成绩（单位：分）如下表：
甲单位 87 88 91 91 93
乙单位 85 89 91 92 93
（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位 5 名职工的成绩的平均数和方
差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好； : .
（2）用简单随机抽样法从乙单位 5 名职工中抽取 2 人，求抽取的 2 名职工的成绩
差的绝对值不小于 4 的概率．
17． （15 分）
如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD
为平行四边形，ADC  45 ， AD  AC 1，
O 为 AC 中点， PO  平面 ABCD ， PO  2，
M 为 PD 的中点．
（1）求证： PB∥平面 ACM ；
（2）求 直线 AM 与平面 ABCD 所成角的
正切值.
18． （17 分）
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分. 如图，甲上有两个不相交的区域 A、B ，乙
被划分为两个不相交的区域C、D ．某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回
球，规定：回球一次，落点在C 上记 3 分，在 D 上记 1 分，其它情况记 0 分．对落点
1 1
在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上的概率为 ，在 D 上的概率为 ；对落点
2 3
1 3
在B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为 ，在 D 上的概率为 . 假设共有两
5 5
次来球且落在A、B 上各一次，小明的两次回球互不影响. 求：
（1）小明对落点在 A、B 上的来球回球的得分为 0 分的概率；
（2）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（3）两次回球结束后，小明得分之和  的所有可能取值及对应的概率.
A
D
C B

19． （17 分）
已知 G 点为△ABC 的重心，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c ．
   
（1）若 OG  OA (AB  AC) ，求实数 的值；
 
（2）若 AG  BG ，且 : .
（i） a2  b2  mc2 ，求实数 m 的值；
1 1 2
（ii）   ，求实数  的值.
tan A tan B tanC
张家界市 2024 年普通高中一年级第二学期期末联考
数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B B A D A D
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
题号 9 10 11
答案 AD ABD ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
316π
12．12 13． 5  4i 14．
15
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15． （13 分）
2 i (2 i)(1 2i) 2  4i i  2
解：（1）选①：    i ，
1 2i (1 2i)(1 2i) 5
4  3i (4  3i)(3 4i) 12 16