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解读IEEE标准754:浮点数表示
一、背景
在IEEE标准754之前,业界并没有一个统一的浮点数标准,相反,很多计算机制造商都设计自己的浮点数规则,以及运算细节。那时,实现的速度和简易性比数字的精确性更受重视。
直到1985年Intel打算为其的8086微处理器引进一种浮点数协处理器的时候,聪明地意识到,作为设计芯片者的电子工程师和固体物理学家们,也许并不能通过数值分析来选择最合理的浮点数二进制格式。于是Intel在请加州大学伯克利分校的 WilliamKahan教授──最优秀的数值分析家之一来为8087 FPU设计浮点数格式;而这个家伙又找来两个专家来协助他,于是就有了KCS组合(Kahn, Coonan, andStone)。他们共同完成了Intel的浮点数格式设计,而且完成地如此出色,以致于IEEE组织决定采用一个非常接近KCS的方案作为IEEE的标准浮点格式。目前,几乎所有计算机都支持该标准,大大改善了科学应用程序的可移植性。
二、表示形式
从表面上看,浮点数也是一串0和1构成的位序列(bit sequence),并不是三头六臂的怪物,更不会咬人。然而IEEE标准从逻辑上用三元组{S,E,M}表示一个数N,如下图所示:
N的实际值n由下列式子表示:
其中:
★ n,s,e,m分别为N,S,E,M对应的实际数值,而N,S,E,M仅仅是一串二进制位。
★ S(sign)表示N的符号位。对应值s满足:n>0时,s=0; n<0时,s=1。
★ E(exponent)表示N的指数位,位于S和M之间的若干位。对应值e值也可正可负。
★ M(mantissa)表示N的尾数位,恰好,它位于N末尾。M也叫有效数字位(sinificand)、系数位(coefficient), 甚至被称作“小数”。
三、浮点数格式
IEEE标准754规定了三种浮点数格式:单精度、双精度、扩展精度。前两者正好对应C语言里头的float、double或者FORTRAN里头的real、double精度类型。限于篇幅,本文仅介绍单精度、双精度浮点格式。
★单精度:N共32位,其中S占1位,E占8位,M占23位。
★双精度:N共64位,其中S占1位,E占11位,M占52位。
      值得注意的是,M虽然是23位或者52位,但它们只是表示小数点之后的二进制位数,也就是说,假定M为“010110011...”,在二进制数值上其实是“.010110011...”。而事实上,标准规定小数点左边还有一个隐含位,这个隐含位通常,哦不,应该说绝大多数情况下是1,那什么情况下是0呢?答案是N对应的n非常小的时候,比如小于2^(-126)(32位单精度浮点数)。不要困惑怎么计算出来的,看到后面你就会明白。总之,隐含位算是赚来了一位精度,于是M对应的m最后结果可能是"m=...”或者“m=...”
四、计算e、m
首先将提到令初学者头疼的“规格化(normalized)”、“非规格化(denormalized)”。噢,其实并没有这么难的,跟我来!掌握它以后你会发现一切都很优雅,更美妙的是,规格化、非规格化本身的概念几乎不怎么重要。请牢记这句话:规格化与否全看指数E!
下面分三种情况讨论E,并分别