数分选讲讲稿第10讲.doc

讲授内容
备注
第十讲
4、用递推公式求高阶导数
当高阶导数无法直接求出时,:先求出前阶的导数关系然后设法将等式作适当处理,使两端同时求导时,能得到一般的递推公式.
例15 设,求.
解由
两边平方整理得(1)
再求一次导数
整理得(2)
应用Leibniz公式,对(2)两端同时求阶导数


整理得(3)
在(1)、(2)、(3)中,令,得
,
从而

3学时

.
例16 证明:Legendre多项式

满足方程.
证令,则,所以
(1)
两端同时求阶导数


整理得(2)
由
得
代入(2),整理即得所证的等式.
5、用Taylor展开式求高阶导数
按的幂展开的幂级数,必是的Taylor展开式
.
因此,若得到展开式
由唯一性,知.
例17 求在处的各阶导数.
解
两端从到积分,得

所以,
.
§ 微分中值定理
一、Rolle中值定理
1、关于零值点(根)的存在性
Rolle中值定理是说:在函数的等值点之间,有导函数的零点(根).因此,证明导函数有根,只要证明函数有本身有等值点.
另外,Fermet定理指出:函数在其极值点处,如果导函数存在,,如果知道可导函数有极值点,便知导函数有零点.
例1 设为有限或无穷区间,在内可微,且
(有限值,或)
Rolle中值定理的内容、几何意义
试证:,使.
证若(有限值),.
若,,使.
不妨设(,类似可证).
因为,且在内连续,
所以对任意取定的数:,
有介值定理,,使得
.
从而由Rolle中值定理知,,使得
.
若(或),则在内任取一点,有
(或)
对任取的数:(或),
进行上面的推导.
例2 若
为实系数多项式,:导数,,
也仅有实根.
证设,
(其中分别为的重根,
)
由Rolle中值定理,在相邻二异根之间,存在的一个根.
因此,在的个根之间有个根.
因为当是的重根时,则必是的重根.
共有个根.
因为为次多项式,所以只有个根,且在
.
反复上述步骤,作次知,,,得跟全是实数.
例3 证明:Legendre多项式
的一切根在内.
证为次多项式
分别为的重根.
所以以为重根.(共有个)
由Rolle中值定理知,为的单根.
以为重根.(共有个)
由Rolle中值定理知,为的单根.
重复上述步骤次,知不再以为根,
为次多项式,只有个根,故的一切根在内.
例4 设函数在上连续,在内可微,
.试证:,,使得.
分析要,

.
所以只要对函数验证Rolle中值定理的条件既可.
证设,,.则
在上连续,在内可微,且.
由Rolle中值定理知,,使得.

.
必有.
例5 设实数满足
.
证明方程:
在内至少有一个根.
证设
则
.
在上存在,且,.
由Rolle中值定理知,至少存在一点,使
.
即方程:
在内至少有一个根.
例6 设函数在上连续,在内可微.
若,:必,使得
.
证不妨设.(类似可证)
令.
对:.
由连续函数的介值性定理,,使得
.
从而由Rolle中值定理知,,使得
.
例7 设函数在上可导,,且
.证明:方程在内至少有两个根.
证不妨设.(类似可证)
,必,使得.
,必,使得.
由连续函数的介值性定理,使得.
在,应用Rolle中值定理
,,使得
.
即方程在内至少有两个根.
例8 设函数在上连续,且,
.证明:在内至少存在两个不同的点
,使得.
证令,
则在上连续,可导(微积分基本定理).且
.



因为,,所以,使得.
(事实上,若不然,则在内,或,均与
矛盾).
在,上应用Rolle中值定理得
复****行列式的求导性质
,,使得
.
即.
2、证明中值公式
构造不同的辅助函数,应用Rolle中值定理,可以导出不同的中值公式.
例9 设函数,,在上连续,:必,使得.
证明设
则在上连续,在内可导,.
由Rolle中值定理得
,使得.
由行列式的求导性质知
.
注本例中,令,,得Lagrange中值定理.
,得Cauchy中值定理.
例10 设函数,在上连续,在内可导.
,.证明:,使得
.
证明作辅助函数
则在上连续,在内可导,.
由Rolle中值定理得
,使得.
而
所以.