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数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数与三角问题:
1、证明恒等式:
例1 已知、、、均为正数,且
求证:
分析:由自然联想到勾股定理。由可以联想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形(如图)。对照图形,由直角三角形面积的两种算法,结论的正确性一目了然。
证明:(略)
小结:涉及到与平方有关的恒等式证明问题,可构造出与之对应的直角三角形或圆,然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式:
例2 已知:0<<1,0<<1. 求证
证明:如图,作边长为1的正方形ABCD,在AB上取点E,使AE=;在AD上取点G,使AG=,过E、G分别作EF//AD交CD于F;作GH//AB交BC于H。设EF与GH交于点O,连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.
由题设及作图知△、△、△、△均为直角三角形,因此

且
由于所以:
当且仅当时,等号成立。
小结:在求证条件不等式时,可根据题设条件作出对应的图形,然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
3、求参数的值或参数的取值范围:
例3 若方程(>0)的两根满足:<1,1<<3,求的取值范围。
解析:画出与方程对应的二次函数(>0)的草图:


由图可知:当=1时,<0; 当=3时,>0.
即<0 ; >0.
解得:<<1.
例4 若关于的不等式的解集仅有一个元素,求的值。
解:如图:在同一坐标系内,作出与的图象。题设条件等价于抛物线在直线与之间的带状区域仅有一个交点,且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知:这个交点只能在直线上,故方程组仅有一组解。
即
小结:对于含参方程(不等式),可将其与对应的函数(图象)联系起来,运用数形结合思想,去揭示问题中所蕴含的几何背景,往往能为解题提供清晰的思路。
4、求最值问题:
例5 已知、均为正数,且求的最小值。
解:如图,作线段AB=2,在AB上截取AE=,
EB=,过A作ACAB,且AC=2,过B作BDAB,且BD=1。由勾股定理:CE=,BD=,原题即求CE+ED的最小值。
又如图,延长CA至G,使AG=AC,连接GE,由三角形两边之和大于第三边,则G、E、D三点共线时,GE+ED=DG最短。作出图形,延长DB至F,使BF//AG且BF=AG,连接GF.
则在Rt△DGF中,DF=1+2=3,GF=AB=2
CE+DE的最小值是
即的最小值是
小结:此题由式子特点联想勾股定理,构造图形解决问题。
二、用代数与三角方法解决几何问题:
例6 如图,在△ABC中,AB>AC,CF、BE分别是AB、AC边上的高。试证:
证法一:(三角法)因为,



证法二:(代数法)由AB>AC>CF,AB>BE
及S△ABC

>
>
,=.
综上:
小结:以上两种证明方法,分别采用了三角法与代数法,较之纯几何证法来,易于想到。

例7 如图,在正△ABC的三边AB