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期权定价理论介绍(1)
期权是一种独特的衍生金融产品,它使买方能够避免坏的结果,同时,又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代,并在80年代得到了广泛的应用。今天,期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此,了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价,具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克(Black)和斯科尔斯(Scholes)于1971年完成其论文,并于1973年发表时,世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所(CBOE)才刚刚成立一个月(1973年4月26日成立),定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。
期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型(以下记为B—S定价模型)。在此之前,许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易·巴舍利耶(Lowis Bachelier)于1900年提出的模型。随后,卡苏夫(Kassouf,1969年)、斯普里克尔(Sprekle,1961年)、博内斯(Boness,1964年)、萨缪尔森(Samuelson,1965年)等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B—S定价理论。
一、预备知识
(一)连续复利
我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率,但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中,连续复利得到广泛的应用。因而,熟悉连续复利的计算是十分必要的。
假设数额为A的资金,以年利率r投资了n年,如果利率按一年计一次算,则该笔投资的终值为。如果每年计m次利息,则终值为:。
当m趋于无穷大时,以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下,金额A以利率r投资n年后,将达到:。
对一笔以利率r连续复利n年的资金,其终值为现值乘以,而对一笔以利率r连续复利贴现n年的资金,其现值为终值是乘上。
在股票投资中,我们一般都以连续复利计息。也就是说,现在金额为S投资股票,期望以复利μ计息,经过T时期后(T一般以年为单位),股票的期望价格为:,从而可得:。也就是说,股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。
(二)股票价格的行为过程
众所周知,股价运动一般没有规律可循,但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。随机过程是指:如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化,则称该变量遵循某种随机过程。特别地,当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关,而与该变量的过去值无关时,我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。
1、基本的维纳过程
要理解遵循维纳过程的变量z的行为,可以考虑在短时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间隔长度为Δt,定义Δz为在Δt时间内z的变化。如果满足:
(1)Δz ()
其中,是服从标准正态分布N(0,1)的一个随机变量;
(2)对于任何两个不同的时间间隔Δt,Δz的值相互独立。
则称变量z遵循基本维纳过程。
由(1)知,Δz也服从正态分布,且其均值为0,方差为Δt,标准差为。
由(2)知,z遵循马尔科夫过程。
设z值在时间T后的增量为,这可以被看作在N个长度为Δt的小时间间隔后z的变化的总量