数学竞赛集合专题.doc

第一讲集合问题
教材疑难解析
(一)、元素特征问题
例1、若集合,则集合A,B的关系式?
例2、集合,,,且,则有( )
A B
C D 不属于P、Q、R中的任意一个
例3、集合,,且,求实数a的值.


变式:若?
(二)、关系类问题
例4、若,
例5、已知,,则的值是( )

(三)韦恩图应用
例5、如图,I是全集,M、P、S是I的3个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
(A) (M∩P)∩S
(B) (M∩P)∪S
(C) (M∩P)∩I S
(D) (M∩P)∪I S
例7、设全集U ={x|0<x≤10,x∈N*},若A∩B={3},A∩UB={1,5,7},UA∩UB={9},求A,B.
教材拓展
问题1、容斥原理


例8、某班统计考试成绩,数学得90分上的有25人;语文得90分以上的有21人;两科中至少有一科在90以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人?
例9、某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表:


求这个班的学生人数。
变式、求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数。
问题2、对偶思想
例10、求集合的所有子集中的元素和。
练****对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如的“交替和”是,集合的“交替和”是10-7=3,集合的“交替和”“交替和”的总和..
问题3、设={|=,},求证:(1)∈();
(2)
链接高考:(2012上海)对于数集,其中,,定义集合. 若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P. 例如具有性质P.
(1)若x>2,且X=,求x的值;
(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1;
竞赛链接:(2012全国联赛B卷)
对于集合,我们把叫做集合的长度。设集合,
集合,且A、B都是集合的子集,则集合
的长度的最小值是_________.